多自由度系统的复模态理论基础

1、第七章 多自由度系统的复模态理论基础§7.1概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且 满足下列条件之一：MCK =KCMCMK=KMC(7-1)MKC =CKM则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全 解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时， 可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程 进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对丁一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解 耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用

2、 所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的 复模态理论。§7.2复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：mx'+cxj+kx=0(7-2)设其解为：x=平e'J(7-3)代入方程(7 2)得到：(Xm+Mc+k)9=D0)平=0(7 4)矩阵D(Q称为系统的特征矩阵。方程(7-4)是一个“二次特征值”问题，要(7-4)式有非零解的充要条件为：|D0) =|烂啊 顼c+k|=0(7-5)上方程是一个关丁舄的2n次代数方程，有2n个特征根% (i =1,2，2n),通常揭都是复数，由丁阻尼矩阵的正定性，而且由丁质量矩阵、刚度矩阵、阻

3、 尼矩阵都是实数矩阵，篮一定具有负的实部，且共钥成对出现。与复特征值对 应的特征欠量也都是共轴复数形式。每一对共轴复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为：x（t）r=平re引（r=1,2，2n）（7 6）系统的2n个复模态一一复特征欠量 V* ,可以构成一个在系统位形空间的n><2n阶的矩阵，称为复模态矩阵：凹=彦1 平2 甲2n（7- 7）由丁系统在位形空间中的物理坐标只有 n个，而复模态却有2n个，所以不能用（7-7）的复模态矩阵平对（71）中的x进行坐标变换，来对方程（7-1）进行解耦。为了解决这个困

4、难，我们将（7-1）式转换到状态空间:其中:M( y) K( y) =F(t)x)XLF(t)=0、f(t)0 mM = |jm c 一K-m一一 001J y）称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为:My) Ky) =0设其特征解为：y(t) =0*代入方程(711),得到：(M K)甲) =0(7-8)(7-9)(710)(7- 11)(712)(713)M K| =0(714)其特征方程为:将M,K的定义式代入:sMffs Kffs =0(7-24)0 m十一-m 0 = -m*m c!0kJ = HmHmHc+k=0(715)即:m*2m +Hc+k =0(716)由丁 m

5、正定，所以有:(717)E2m +珂c+k =0与（7 4）比较可知:(718)故（712）式可以写为:乂因为:所以有:(719)y"(7-20)时(7-21)即在状态空间中，对应丁复特征根7%的特征向量为:RrW" fr :(7-22)它被定义为系统在状态空间中的第r阶复模态。§7.3复模态的正交性及其归一化对应丁复特征对（人，），（妃性,），系统的特征方程分别为:rM'】r K甲=0(7-23)用仔;左乘（7 23）式，并用 性:左乘（7 24）式并转置得到:U】，；MEE；K3* = 0(7-25)、甲；M""E；K"r

6、 =0(7-26)上两式相减得到: - 心性;M性=0(7-27)由此得到复模态 性对M和K的加权正交关系如下:(7-28)仔TM叩r= 0当'】亦宇=0(7-29)且有% r = 一 r-'l r(7-30)而:令:rf r0LJ Jm:0 m仍也, J cHr :=2"：问'- "' ：”' "M3r=(7-31)"Mm =1(7-32)并将（7 31）式做为复模态的归一化条件，中吊为第r阶归一化复模态。显然，对丁 K阵有:"；*%=，r(7-33)§7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态

7、分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵:】，=】 】广(7-34)对状态向量y进行模态坐标变换;(7-35)将（7 35）代入（7 8）,并前乘T得到2n个完全解耦的方程: diag(n)z diag(K)z =F(t)其中，Tdiag：.ItM TdiagKr =】TK(F(t) =】TF(t)或写成：F rZr KrZr = R (t) (r =1,2,2n)因为：Kr =r-T r所以：1 Zr - rZr - Fr(t)'I r而：|(t)=爬TF(t)=丸平T 平T0 = NTf(t):r 3 V r V V) r r r f (t) r v-)在零初始条件下，(7-40)的解为：(".+"*()"-%.-盘r因为：/ I Jx：幻甲 y = "Tz(t) = % z(t)(7-36)(7 37)(7-38)(7-39)(7-40)(7-41)(7-42)(7-43)其中,=diag所以:2n2n1 t(7-44)=、'- r or Jf