数值分析QR方法求矩阵特征值和特征向量4页

1、四.实验代码： function H,B=Hessenberg(A)n=length(A);B=eye(n);for k=1:n-2 X=zeros(n-k,1); H=eye(n); for i=1:n-k X(i)=A(i+k,k); end a=max(abs(X); if a=0.0 break end X=X/a;c=X(1); b1=sqrt(sum(X.2); if X(1)>=0 b1=-b1;end X(1)=X(1)-b1; b=b12-b1*c; H0=eye(n-k)-X*X'/b; for i=1:n-k for j=1:n-k H(i+k,j+k)=H

2、0(i,j); end end A=H*A*H; B=B*H;endH=A;一. 实验题目： QR 方法求矩阵的特征和特征向量二.设计目的： 学会利用镜面变换进行矩阵的QR分解及利用将幂法求 特征值和特征向量，熟悉Matlab编程环境。 三.设计原理： 利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。记录变换矩阵。 运用Householder矩阵进行QR分解，QR方法为：B1=BB1=Q1R1B2=R1Q1.Bm=QmRm Bm+1=RmQmBm+1与Bm相似，从而特征值相等。再利用原点位移的反幂法求B（或A）的特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对

3、应与一个给定近似特征值的特征向量。设ARn×n 为非奇异矩阵，A的特征值依次记为 |1 |2 |3 |n |,相应的特征向量为x1 ,x2 ,xn , 则A-1 的特征值为|1/n |1/n-1 |1/1 | ,相应的特征向量为xn ,x n-1 ,x1 . 所以计算A的按模最小的特征值n的问题就是计算A-1 的按模最大的特征值问题。对于A-1 应用幂法迭代(称为反幂法)，可求得矩阵A-1 的主特征值1/n ，从而求得A的按模最小的特征值n 。 反幂法迭代公式任取初始向量0 =0 0，构造向量序列 (2.10)迭代向量k 可以通过解方程组 Ak =k-1 求得.在反幂法中也可以用原点

4、平移法来加速迭代过程或求其他特征值及特征向量。 如果矩阵(A-pI)-1 存在, 对其应用幂法，得反幂法的迭代公式 反幂法迭代公式中的k 是通过解方程组 (A - pI)k = k-1 求得的。为节省工作量，可先将A - pI进行三角分解 (A - pI) = LU ,其中P为某个排列阵，于是求k 相当于解两个三角形方程组 (2.12)实验表明，按下述方法选择0 较好：选0 使 U1 = L-1 0 = (1,1,1)T 用回代求解(2.12)即得1 ，然后再按公式(2.11)进行迭代。迭代公式：1. 分解计算 (A - pI) = LU , 且保存L,U信息。 2. 反幂法迭代 (1) 解 U1 =(1,1,1)T 求1 1 =1 / (1 )r , (2) k=2,3, a) 解 Lyk =k-1 ，求得yk 解 Uk = yk ，求得k b) k =k /(k)r 步骤与实现：（1）利用镜像变换将A相似