谈胜利从平面几何的发展看现代数学实用教案

1、第1页/共27页第一页，共27页。坐标(zubio)几何微 积 分 解析几何射影几何代数几何第2页/共27页第二页，共27页。Pappus 定理(dngl) （公元 300 350）第3页/共27页第三页，共27页。Pascal 定理(dngl) （公元 1640）第4页/共27页第四页，共27页。Brianchon 定理(dngl) （ 1800s）PQR第5页/共27页第五页，共27页。PQR第6页/共27页第六页，共27页。欧氏平面(pngmin)上的二次曲线椭圆: 与无限(wxin)远直线 L不相交的二次曲线抛物线: 与 L 相切的二次曲线双曲线: 与 L 相交两个点的二次曲线圆: 与

2、 L 相交于下述两个固定虚点的二次曲线 1, i, 0, 1, -i, 0 平行线: 相交于无限(wxin)远处的两直线第7页/共27页第七页，共27页。将P和Q的连线(lin xin)移至无穷远第8页/共27页第八页，共27页。将过P的切线(qixin)线移至无穷远第9页/共27页第九页，共27页。关于(guny)圆的定理第10页/共27页第十页，共27页。y2=x3+ax2+bx+c第11页/共27页第十一页，共27页。曲线的相交（17 世纪开始）牛顿 1665 年断言：如果虚点包含在内，m 次曲线 和 n 次曲线有 mn 个交点. f(x,y)=0, g(x,y)=0.消元法（我国数学家

3、于12世纪发现，Bezout 和欧拉 于 1764 发现明显的算法）： r(x)=f(x,y) u(x,y) + g(x,y) v(x,y).Bezout 定理：牛顿的断言正确。 完整的证明(zhngmng)在十九世纪末才找到。第12页/共27页第十二页，共27页。圆锥曲线的定理的推广Chasles定理：设两三次曲线交9个点，如果第三条三次曲线过其中(qzhng)8个点，那么它一定过第九个点。这是 Pappus 定理和 Pascal 定理的推广。欧拉给克莱姆的一封信中提到过此结果。第13页/共27页第十三页，共27页。几何中著名的Fujita猜想第14页/共27页第十四页，共27页。圆锥曲线(

4、yun zhu q xin)和三次曲线的差异第15页/共27页第十五页，共27页。第16页/共27页第十六页，共27页。第17页/共27页第十七页，共27页。第18页/共27页第十八页，共27页。椭圆曲线上的群结构(jigu)（点之间可定义加法） P + 0 = P; P + V = 0; P + Q = Q + P; ( P + Q ) + R = P + ( Q + R ) .第19页/共27页第十九页，共27页。椭圆曲线(qxin)与现代数论二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的方法完全求出。Mordell (1950): 椭圆曲线上的有理点组成一个有限生成的交换子群。即从有

5、限个有理点出发，通过 +，- 运算(yn sun)可求出所有的有理点。Faltings (1986): 亏格 g1 的曲线上最多只有有限个有理点。费尔马大定理：不存在非零整数 a, b, c 使得 (n2) an + bn = cn第20页/共27页第二十页，共27页。关于费尔马定理(dngl)的证明可归结为 n=p4 为素数的情形。设 a, b, c 是其解.G. Frey (1985) 构造了一条椭圆曲线 (Frey 曲线): y2 =x ( x + ap ) ( x bp ).他证明此椭圆曲线不是“模曲线” (即不能用“模函数”参数化).Taniyama-Shimura猜测：任何(rnh

6、)椭圆曲线都是模曲线。1995 年， Wiles (Taylor) 证明了上述猜测。第21页/共27页第二十一页，共27页。代数不变量(binling)的研究十九世纪, 代数几何的一个很重要的研究内容就是代数不变量理论(lln)。 f(x, y) = a0 xn + a1 x n-1 y + + an yn判别式 D(a0, , an )、结式 R(f, g)、 不变量理论(lln)就是研究在坐标变换下“不变”的多项式。 D(a0, , an )=det()p D(a0, , an )第22页/共27页第二十二页，共27页。现代几何(j h)的研究现代几何就是研究流形(li xn)。 M =

7、U1 U2 Un 我们希望通过那些在坐标变换下“不变”的几何量来研究流形(li xn) M, 例如：微分形式。实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。第23页/共27页第二十三页，共27页。研究(ynji)现状几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究。 不变量理论 = 向量丛理论Mumford (1960): 研究了部分代数不变量发现了几何现象“向量丛的稳定性”。造成原因：代数不变量理论被人为地划分为代数的一个(y )分支。第24页/共27页第二十四页，共27页。Weyl 的数学(shxu)哲学 任何几何(j h)事实都来自不变量为零； 任何不变量都是张量的不变量。 后者来自有限对称群的表示（1900）。第25