2020年浙江省中考数学二轮复习专题：《几何探究题类型三折叠问题》含答案

1、第二部分题型研究题型五几何探究题类型三折叠问题针对演练1.如图，已知一个直角三角形纸片 ACB其中/ ACB= 90° , AC= 4, BG= 3, E、F分 别是AC AB边上的点，连接 EF(1)如图，若将纸片ACB勺一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBI= 3Saedf,求 AE 的长；(2)如图，若将纸片ACB勺一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF/ CA试判断四边形AEMF勺形状，并证明你的结论；求EF的长.第1题图2.(2019 山西)背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于

2、三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中.为了方便，在本题中，我们把三边的比为3： 4： 5的三角形称为(3,4, 5)型三角形.例如：三边长分别为9, 12,15 或 3V2,4丑5，2的三角形就是(3, 4, 5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.实践操作 如图，在矩形纸片 ABCW, AD= 8 cmj AB= 12 cm第一步：如图，将图中的矩形纸片ABCDg过点A的直线折叠，使点 D落在AB上的点E处，折痕为AF,再沿EF折叠，然后把纸片展平.第二步：如图，将图中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折

3、痕为GH然后展平，隐去AF.第三步：如图，将图中的矩形纸片沿AH折叠，得到 AD H,再沿AD折叠，折痕为AM AM与折痕EF交于点N,然后展平.第2题图问题解决(1)请在图中证明四边形 AEFD是正方形；(2)请在图中判断 NF与ND的数量关系，并加以证明；(3)请在图中证明 AEN (3, 4, 5)型三角形；探索发现(4)在不添加字母的情况下，图中还有哪些三角形是(3, 4, 5)型三角形？请找出并直接写出它们的名称.3.问题探究(1)如图，边长为4的等边 OAB&于平面直角坐标系中，将 OA斯叠，使点B落 在OA勺中点处，则折痕长为;(2)如图，矩形OAB于平面直角坐标系中，

4、其中OA= 8, AB= 6,将矩形沿线段 MN一， 1，一 ，一折叠，点B落在x轴上，其中AN=石AB求折痕MN的长；3问题解决：(3)如图，四边形 OABC：于平面直角坐标系中，其中OA= AB= 6, CB= 4, BC/ OAABI OA于点A,点Q4, 3)为四边形内部一点，将四边形折叠，使点 B落在x轴上，问是 否存在过点Q的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由.第3题图答案1.解：(1)如解图，二折叠后点 A落在AB边上的点D处,第1题解图EF，AR AEg DEFSx AEF= Sa defS 四边形 ECB= 3S EDF)S 四边形 ECBF= 3Sx AEF.S

5、ACB= S AEF+ S 四边形ECB5SACB= Sa aef+ 3SxAEF= 4S AEF.Sa AEF 1Sa acb 4 / EAF= / BAC / AFE= / ACB= 90 . AEW ABC.S AEF AE 2 'sL=(丽.AE2 15 (T) =4，, AE= 25(2)四边形AEM尾菱形.证明：如解图，二折叠后点 A落在BC边上的点M处， ./ CAB= / EMF AE= ME又. MF/ CA ./ CEM= / EMF / CAB= / CEMEM/ AF, 四边形AEM屋平平四边形，而 AE= ME 四边形AEMF1菱形，连接AM与EF交于点O,如

6、解图，设 AE= x,则AE= ME= x, EC= 4-x,第1题解图 / CE附 / CAB / EC附 / ACB= 90° ,RtAECIVh RtAACBEC EMACT AB. AB= 5,4x x 曰-=5,解得20 x=32016AE= ME=EC=-.在 RtECW,EC附90 ,，CM= EM EC.即CM=四边形AEM屋菱形,. OE= OF OA= OM AML EF,二. S 菱形 aemf= 48oe= 2OE, AO在 RtAAOffl RtAACM,tan / EAO= tan / CAMOE_CMAoT Ac. CM= 4, AC= 4,3. AO=

7、 3OES 菱形 AEM尸 6OE,又, S 菱形AEMF=AE- CM2 20 4-6OE=X-, 93解得o& "12 94 .'10 .EF= =2OE= 9 .2. (1)证明：四边形 ABCO 矩形，4 Z DAE= 90由折叠知：AE= AQ /AEF= Z D= 90。，.D= / DAE= / AEF= 90° ,，四边形AEF况矩形，. AE= AD .矩形AEF端正方形；(2)解：NF= ND ;证明：如解图，连接 HN第2题解图由折叠知：/ AD H=/ D= 90° ,HF= H氏 HD . 四边形AEFM正方形， ./ E

8、FD= 90° ,. /AD H= 90 , .Z HD N= 90° ,在 RtAHNFH RtAHND 中，HNk HNHE HD 'RtAHNF RtAHND (HL),. NF ND ;(3)解：二四边形AEF况正方形， .AE= EF= AD= 8 cm由折叠知：AD' = AD= 8 cni设 N已x cm,则 ND =x cni在RtAEN中，由勾股定理得 AN=AU+EN,即(8+x)2= 82+(8-x)2,解得x=2,，AN= 10 cmEN= 6 cmEN： AE： AN= 6 : 8 ： 10=3 ： 4 ： 5, .AEN (3,

9、4, 5)型三角形；(4)解： MFN AMD H, MDA【解法提示】HD，AM，/D' HMF Z HMD =90 , / HML FN Z FNIM- Z HMD =90 ,ADL DMDAIM- / HMD =90 , .DAM： / FNM= / D' HM， MFNAMD HTAMDA . AW/ CDAB/ FMMFNAEN而AEN(3, 4, 5)型三角形， MFN AMDMDfB 是(3 , 4, 5)型三角形.3.解：(1)2 ;【解法提示】如解图， B的对称点B',折痕为MN连接BB' , B' N, MN BB于第3题解图.ABB

10、等边三角形， OB =B' A,BB LOA 又BB ±MINMN/ OA b BH= HB , .BM= OM BN= NA.MNM ABC的中位线，11MN= -OA= -X 4= 2;(2)如解图，B的对称点B',折痕为MN MN交BB于点H.第3题解图1. AN= -ABB= 2, 3. NB= NB =4,在 RtAANB 中，AB' ="42- 22 =2产, . OB =8-23",.旧（8 -23-, 0）, R8, 6）, .BB 中点 H（8后，3）, 点 N 坐标（8 , 2）,设直线NH解析式为y= kx+ b,代入

11、M H两点坐标得8k+b=2（8展）k+b= 3k=解得直线NH解析式为y=-38 33 x+2+ 3 ,.8 13 b=2+3 点 M坐标（0 , 2+833-）MN=、卜+ （呼）216 33；(3)存在.理由：如解图中，延长 BQ交OA于B ,连接AQ过点Q作MM/ OA交OCT M交AB于 N.第 3 题解图Q4, 3),，N6, 3),. BN= AN QB= QB ,作BB的垂直平分线 PF,交OC于P,交AB于F,此时R B'关于直线PF对称，满足条件，在 RtAABB 中，. / BAB =90 , BQ= QB ,AQ= QB，此时B、A关于直线MN对称，满足条件. Q2, 6),直线OC解析式为y=3x, . NM/ OA BN= NA.CM= OM，点 M(1 , 3), .MN= 5 B(6, 6) , B(2 , 0),直线3BB的解析式为y=2 x-3,，过点Q垂直BB'的直线217PF的解析式为y