专题训练蚂蚁爬行的最短路径

1、蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点 0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5, -3 , +10,-8 , -9 , +12,-10 回答下列问题：(1) 蚂蚁最后是否回到出发点0;(2) 在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0;(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10|)X 2=114 粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是AB即为最短路线.第6题解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短

2、”知，线段A呼.22 12 .一 5 3. (2006?茂名)如图，点 A B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是cm解：由题意得，从点 A沿其表面爬到点 B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4.4. 如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（A.A?P?B BA?Q?BC.A?R?B D.A?S? B解：根据两点之间线段最短可知选A.故选A.5. 如图，点 A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是（）2 2 解：如图，AB=1 2 12

3、 . 10 .故选C6. 正方体盒子的棱长为 2,BC的中点为M 一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点 M所在的面，/ BC的中点为M1所以MC丄BC=1,2在直角三角形中 AM=.7. 如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cmt解：将盒子展开，如图所示：111 1AB=CD=DF+FC=EF+ GF= x 20+ x 20=20cm2 2 2 2故选C.8. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为 M, 只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离为解：将正方体展开，连接 M D1,根据两点之间线

4、段最短，MDMCCD=1+2=3,MD= . MD2 DD, . 32 2213 .9. 如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3X3个小正方形.其边长都为1cm 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用 秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.(1) 展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm(2) 展开底面右面由勾股定理得 AB= =5 cm所以最短路径长为 5cm用时最少：5十2=秒.10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一

5、只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是 。解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，AB= =25 .11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短最短路线长为.解：正面和上面沿 AB展开如图，连接 AG,A ABC是直角三角形,-Ag”AB2 BG2 押 1 22 J42 32512. 如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解：由题意得，路径一：AB=；路径二：AB= =5 ；路径三：AB=; > 5,5

6、米为最短路径.13. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1 )蚂蚁经过的最短路程；(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为(cm>；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为(cm,或(cm所以蚂蚁经过的最短路程是cm(2)5cn+4cn+5cn+4cn+3cn+4cm+5cm=30cm最长路程是30cm.14. 如图，在一个长为 50cm宽为40cm高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁， 它要爬到顶点B处去

7、觅食，最短的路程是多少解：图1中，cm图2中，cm图3中，cm采用图3的爬法路程最短，为cm15. 如图，长方体的长、宽、高分别为6cm 8cm 4cm 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm则所走的最短线段是 =6 cm第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，所以走的最短线段是 =cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm所以走的最短线段是 =2 cm三种

8、情况比较而言，第二种情况最短.16. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 3cm 2cm A和B是这个台阶上两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm,宽为(2+3)X3 cm,则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程为xcm,2 2 2 2由勾股定理得：x =20 + ( 2+3)X 3 =25 ,解得x=25.故答案为25.5cm, 3cm 和 1cm A 和 B17如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽

9、和高分别等于是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物请你想一想,这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线路是 cm>解：将台阶展开，如下图，因为 AC=3X 3+1X 3=12, BC=5, 所以 AB=AC+BC=169,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13 cm答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm18. ( 2011?荆州)如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm解：/ PA=2X( 4+2) =12, QA=5 PC=13.故答案为：1

10、3.19. 如图，一块长方体砖宽 AN=5cm,长ND=10cm CD上的点B距地面的高 BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少解：如图1,在砖的侧面展开图 2上，连接AB则AB的长即为A处到B处的最短路程.解：在 RtAABD中,因为 AD=AN+ND=5+10=15, BD=8,2 2 2 2 2 2所以 AB=AD+BD=15 +8 =289=17 .所以 AB=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为17cm20. （2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 C处.（1）请你画出蚂蚁

11、能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB=4, B（=4, CG=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B到最短路径的距离.解：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D和ACCA.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC 1和AC.（ 2分）（2） 蚂蚁沿着木柜表面经线段AB到C,爬过的路径的长是 .（3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BB到C,爬过的路径的长是 .（4分）l 1> 12,故最短路径的长是.（5分）（3）作BE丄AC于E,则？为所求.（8分）21有一圆柱体如图，高 4cm底面半径5cm A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离解：AC的长就是蚂

12、蚁爬行的最短距离.C, D分别是BE, AF的中点.AF=2 n ? 5=10 n . AD=5 n .； 2 2AG= . AD CD - 16cm故答案为：16cm22. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m高为6m 一只老鼠从距底面 1m的 A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为第3题解：AB= .、5212213m23. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA的端点A到达A,若圆柱底面半径为 -， 高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为解：因为圆柱底面圆的周长为2n X =12,高为5,所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为=13 .故蚂蚁爬行的最短距离为13

13、.24. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm高AB为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 24cm1则 AD=24X =12cm2又因为CDAB=9cm所以 AC =15 cm故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm故答案为：15.25. （ 2006?荆州）有一圆柱体高为 10cm底面圆的半径为 4cm AA, BB为相对的两条母 线.在AA上有一个蜘蛛 Q QA3cm 在BB上有一只苍蝇 P, PB=2cm蜘蛛沿圆柱体侧面爬 到P点吃苍蝇，最短的路径是cm （结果用带 n

14、和根号的式子表示）解：QA=3, PB=2,即可把PQ放到一个直角边是 4n和5的直角三角形中,根据勾股定理得：Qf=26. 同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从 A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB即是这条最短路线图.如图，将正方体中面 ABCD面CBFG开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接

15、AM即是这条最短路线图.27如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程是.解：圆锥的底面周长是n 4180 n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180 在圆锥侧面展开图中 AF=2, AB=4,Z BAF=90°,在圆锥侧面展开图中BF= ,20 2.5 , 这只蚂蚁爬行的最短距离是 2 5 cm.故答案是：25 cm28.如图，圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm AB为底面直径，C为底面圆周上一点，/ COB150。，D为VB上一点，VD： 现有一只蚂蚁，沿

16、圆锥表面从点C爬到D.则蚂蚁爬行的最短路程是（）解：=,设弧BC所对的圆心角的度数为n,=解得n=90,/ CVD90。， CD= =4 ,29已知圆锥的母线长为 5cm,圆锥的侧面展开图如图所示，且/AOZ=120°, 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为 。解：连接AA ,作OCL AA'于C,圆锥的母线长为 5cm, / AOA=120°, AA =2AC=5 .3 .30. 如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是第4题解：由题意知，底面圆的

17、直径为2,故底面周长等于2n .设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2 4 °180解得n=90°,所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是：. 16 16 , 32 4、2 .A点出发,31. （ 2006?南充）如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 。解：由题意知底面圆的直径 =2,故底面周长等于2n .设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,4n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2 n =-180解得n=90

18、6;,所以展开图中的圆心角为90°,根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4 . 2 .32. （2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6, D为PB的中点.一只解：由题意知，底面圆的直径AB=4,故底面周长等于4 n .2n 6360设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得 n=120°,所以展开图中/ APt=120°- 2=60°, 根据勾股定理求得 AD= 3.3 , 所以蚂蚁爬行的最短距离为 3. 3 .33. 如图，圆锥底面半径为 r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出发 沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图所示扇形, 则蚂蚁运动的最短路程为 AA (线段).由此知：OAOA =3r,的长为2 nr.&