专题根与系数的关系含答案

1、专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1已知关于x的方程 mx2- (2m-1) x+ m-2=0 .(1 )当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；(2)若xi、X2为方程的两个不等实数根，且满足 xi2+X22-xiX2=2，求m 的值.例2.已知关于x的方程x2-4mx+4 m2-9=0 .(1) 求证：此方程有两个不相等的实数根；(2) 设此方程的两个根分别为xi, X2,其中xiv x2.若2xi=X2+1 ,求?m 的值.例 3.已知关于 x 的方程 mx2+ (4-3m) x+2 m-8=0 (m> 0).(1 )求证：方程有两个不相等的实数根；1(2)设方程的两个

2、根分别为X1、X2 (xy X2),若n=X2-xqm,且点B(m, n)在x轴上，求m的值.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2 (m+1 ) x+ m2+5=0有两个不相 等的实数根.(1 )求m的取值范围；(2)若原方程的两个实数根为X1、X2 ,且满足X12+ X22 = | X1| + | X2|+2 X1X2, 求m的值.例5.已知关于x的方程x2- (2k+1 ) x+4 (k-寸)=0 .(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根;(2) 能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到， 求出k的值；若不能，请说明理由.(3) 当等腰三角形ABC的边长a=

3、4 ,另两边的长b、c恰好是这个方程 的两根时，求 ABC的周长.训练1已知关于 x 的方程 mx2- ( m+2 ) x+2=0(mz 0).(1 )求证：方程总有两个实数根；1 1(2)已知方程有两个不相等的实数根 a, B,满足?<+?=1 ,求m的值.2. 已知一元二次方程 x2-2x+ m=0(1) 若方程有两个实数根，求 m的范围；(2) 若方程的两个实数根为 *和X2，且*+3x2=3，求m的值.(3) 若方程的两个实数根为 X1和X2，且X12-X22=0 ,求m的值.3. 已知关于 x 的方程 x2+ (m-3) x-m (2m-3) =0(1)证明：无论m为何值方程都

4、有两个实数根；(2)是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于 26?若存在, 求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由.4已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0 (k为常数).(1 )求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设Xi、X2为方程的两个实数根，且2xi + X2=14，试求出方程的两 个实数根和k的值.5已知关于x的方程x2- (2k-3) x+k2+1=0有两个不相等的实数根xi、x2 .(1 )求k的取值范围；(2)若 Xi、X2满足|xi|+| x2|=2| xiX2|-3，求 k 的值.i6已知关于x的一元二次方程x2- (m-2) x+-m-3=0(1)

5、求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；(2) 如果方程的两个实数根为 xi，X2,且2xi + x2=m+1，求m的值.7已知关于x的一元二次方程(a-1) x例4.当m>丄且mz 0时，方程有两个不相等的实数根； 4例5.(2)v X1、x2为方程的两个不等实数根，冶2?-1?-2例 6. X1+x2=亍,X1x2=齐,- X12+ X22-X1X2= ( X1+X2) 2-3X1X2= () 2-3(?；)=?,例 8. 解得：m1= V2+1 , m2= -v2+1 (舍去)； m= V2+1 . 例9.例 10. 解：(1) = (-4m) 2-4 (4m2-

6、9) =36 > 0,例11.此方程有两个不相等的实数根；-5x+4a-2=0的一个根为x=3 .(1 )求a的值及方程的另一个根;(2)如果一个等腰三角形(底和腰不相等)的三边长都是这个方程的 根，求这个三角形的周长.8.设xi, X2是关于x的一元二次方程x2+2 ax+ a2+4 a-2=0的两实根，当 a为何值时，xi2 + x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：(i)方程有两个不相等的实数根，例2. = b2-4ac= - ( 2m-1) 2-4m (m-2) =4 m+1 > 0 ,1例3. 解得：m> -,：二次项

7、系数工0 , m 0 ,例7.4,、4? ±736,例 12.(2) x=2一=2 m± 3,例 13. xi=2 m-3 , X2=2 m+3 ,例 14./ 2xi=x2+1 , 2 (2m-3) =2 m+3+1 ,例 15. m=5 .例16.例 17. 解：(1 ) = (4-3m) 2-4m (2m-8),例 18.= m2+8 m+16= ( m+4 ) 2例 19.又T m> 0( m+4 ) 2>0 即厶> 0例20. 方程有两个不相等的实数根；例21.( 2 )方程的两个根分别为X1、X2 ( X1V X2),4-3?小 2?-8例22

8、. X1+X2=-卡亍,X1 ?X2= ?,1例23.n= X2-X1-m，且点 B (m, n)在 x轴上，1 14 3?2? 81例24. X2-X1-2m=7 (?+ ?)2 - 4?-尹=7(牙)2 - 4 X -?-尹=0 ,例25. 解得：m=-2 , m=4 ,例26. m> 0 , m=4 .例27.解：(1) 方程x2-2 ( m+1 ) x+ m2+5=0有两个不相等的实数根，例28.= -2 ( m+1 ) 2-4 (m2+5 ) =8 m-16 > 0，解得：m>2.例29.(2)原方程的两个实数根为X1、X2,例 30. X1+ X2=2 ( m+1

9、 ), X1 ?X2= m2+5 .例31. m>2 ,例 32. X1+ x2=2 ( m+1 ) > 0 , x1?x2=m2+5 > 0 ,例 33. X1> 0、x2> 0.例34. X12 + x22=(?1 + ?)2-2x1 ?X2=| X1|+| X2|+2 X1 ?X2,例 35. 4 (m+1 ) 2-2 ( m2+5 ) =2 ( m+1 ) +2 ( m2+5 ),即 6m-18=0 ,例36. 解得：m=3 .例37.1例38. 证明：(1 ) = (2k+1 ) 2-16 ( k-2) = (2k-3) 2> 0,例39.方程总有

10、实根；例40. 解：(2 )两实数根互为相反数，例41. X1 + X2=2 k+ 仁0，解得 k= -0.5;例42.(3)当b=c时，则 =0 ,3例43. 即(2k-3) 2=0 , k=-,例44.方程可化为 x2-4x+4=0 , X1= X2=2，而b= c=2 , b+ c=4= a不适合题意舍去;1例45. 当 b=a=4 ,则 42-4 (2k+1 ) +4 (k-) =0 ,5例 46. k=2，例47. 方程化为 x2-6x+8=0，解得 X1=4 , X2=2 ,例48. c=2 ,6abc=10 ,例49. 当 c= a=4 时，同理得 b=2 , Cabc=10 ,

11、例50.综上所述， ABC的周长为10 .例51.训练1. (1)证明：方程 mx2- (m+2 ) x+2=0 ( m 0)是一元二次方程， = ( m+2)2-8m= m2+4 m+4 -8m= m2-4m+4= ( m-2)2 > 0 ,方程总有两个实数根；(2)解：方程有两个不相等的实数根a,3,由根与系数的关系可得a + 3 =竽,a3 =2,? ?/ -+ 丄=1? ? '?+2? ?+2寸丁日，?解得m=0 ,/ m 0, m无解.2. 解:(1 )方程x2-2x+ m=0有两个实数根, = (-2) 2-4m> 0,解得mw 1;(2) 由两根关系可知，X1

12、 + x2=2 , X1?x2=m,解方程组?+?= 2 ,?+ 3? = 33?=-解得2,?=2小 3、，13 m= x1?x2=2x 2=4；(3) ： X12-x22=0 ,( Xi+ x2 ) ( X1-x2)=0，： X1 + X2=2 丰 0 , X1-X2=0 ,方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根， = (-2) 2-4m=0 ,解得m=1 . (1)证明：关于 x 的方程 x2 + ( m-3) x-m (2m-3) =0 的判别式厶=(m-3) 2+4 m ( 2m-3) =9 ( m-1) 2>0 ,无论m为何值方程都有两个实数根；(2 )解：设方程的两个实数

13、根为X1、X2,则 X1 + x2= - (m-3), X1 x x2= -m (2m-3),令 X12+x22=26，得：(X1+X2) 2-2x1x2= ( m-3) 2+2 m (2m-3) =26 ,整理，得 5m2-12m-17=0 ,解这个方程得，m=t或m= -1,517所以存在正数 m=，使得方程的两个实数根的平方和等于26.54. (1)证明：在方程 x2-6x-k2=0 中， = (-6) 2-4 X 1X( -k2) =4 k2+36 >36,方程有两个不相等的实数根.(2)解： X1、X2为方程的两个实数根，- X1+ X2=6 ，X1?X2= -k2, 2X1+

14、X2=14 ，联立成方程组；?；+?=614，解之得：；?= 8，- X1 ?X2= -k2= -16 , k= ± 4 .5. 解：(1 )原方程有两个不相等的实数根， = - ( 2k-3) 2-4 (k2+1 ) =4 k2-12k+9 -4k2-4=-12k+5 > 0 ,5解得：kv 12 ；5(2)y，- X1+ X2=2 k-3v 0,又：X1 ?X2= k2+1 > 0,- X1 v 0 , X2V 0 , |X1| + | X2|= -X1-X2= - ( X1+ X2) = -2k+3 , |X1| + | X2|=2| X1 X2 | -3 , -2

15、 k+3=2 k2+2 -3，即 k2+ k-2=0 ,- k1=1 , k2= -2 , k= -2.16. 解：(1) = ( m-2) 2-4X( -m-3) = ( m-3) 2+3 > 0 ,无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；(2)解：X1+X2= m-2,2x1+ X2= X1 + (X1+X2) = m+1 , X1= m+1+2 -m=3 ,把X1代入方程有：19-3 ( m-2) + jm-3=0解得m=.57. 解：(1 )将 x=3 代入方程中，得：9 (a-1) -15+4 a-2=0 ,解得：a=2 ,原方程为 x2-5x+6=(x-2) (x-3) =0 ,解得：xi=2 , x2=3 . a的值为2，方程的另一个根为 x=2 .(2)结合(1 )可知等腰三角形的腰可以为2或3, C