医学高等数学：3-1不定积分

1、第三章一元函数积分学第三章一元函数积分学3.1不定积分不定积分( )( ),( )( )Fxf xF xf x 若若在在某某区区间间上上则则称称为为在在该该区区间间上上的的一一个个定定义义3 3- -1 1原原函函数数。一、不定积分的概念一、不定积分的概念sincosxx是是的的原原函函数数1ln xx是是的的原原函函数数xxee是是的的原原函函数数1( )2F( )( ),F( )( )Cf xxf xxf x（ ）的的原原函函数数是是无无穷穷多多个个的的; ;（ ）若若是是的的原原函函数数 则则C C 也也是是的的原原函函数数, , 这这里里 是是注注意意：任任意意常常数数. .( )si

2、n , ( )sin1f xx g xx设设， 那那么么有有( )( )cos .fxg xx( )ln,f xxC同同样样的的道道理理，1( )fxx 那那么么( )( )( )( )( )2(3f xf xf xf x dxf xf x dxx 函函数数的的全全体体原原函函数数称称为为的的, , 又又称称为为的的, , 记记作作. . 其其中中为为定定义义不不定定积积分分原原函函数数族族积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表, ,为为, ,为为达达式式积积, , 为为分分变变量量. .( )( )( )( ),( )( )F xf xFxf xf x dxF xC 是是的的某某一一原原函

3、函数数, ,即即由由定定义义有有: :2x dx 例例： （1 1） 求求 1dxx （2 2） 求求 31dxxx （3 3） 求求 00 xx考考虑虑与与两两个个情情况况。二不定积分的性质二不定积分的性质 ()()1()()f x dxf xdf x dxf x dx ：性性质质或或( )( )(2) fx dxf xCdf xf xC 或或性性：质质: ( )( )3kf x dxkf x dx （k k为为非非性性质质零零常常数数）: ( )( )( )(4)f xg x dxf x dxg x dx 性性质质例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(

4、22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 不定积分举例不定积分举例例例6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln| |.xxC不定积分举例不定积分举例例例7 7 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.不定积分举例不定积分举例三三

5、换元法积分换元法积分问题问题 xdx2cos,2sinCx 1cos2cos2(2 )2xdxxdx1. 第一类换元积分法第一类换元积分法1sin22xC设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）（凑微分法）)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 11. 第一类换元积分法第一类换元积分法例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（

6、三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231dxx 解解dxx 23111(32 )232dxx1ln |32 |.2xC dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(1

7、2.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 还还有有一一种种方方法法例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)

8、sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxl

9、n tan2xCln|csccot|.xxC（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc21cossindxx )(coscos112xdx111cos2 1 cos1 cosdxxx 11coslnln|csccot|.21cosxCxxCx 类似地可推出类似地可推出secln|sectan|.xdxxxC 例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx ln arcsin.2xC问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中

10、间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2. 第二类换元法第二类换元法设设)(tx 是是单单调调的的、可可导导的的函函数数， 1( )( ) ( ) ( )txf x dxftt dt 则有换元公式则有换元公式并并且且0)( t ，定理定理2. 第二类换元法第二类换元法例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecln|

11、sectan |ttC tax22ax 22ln|.xxaCaa 例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 dxxx 234tdtt23cossin32 2232 sincoscosttdx tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec tdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecln|sectan |ttC tax22ax 22ln|.xxaCaa 说明说明(1)(1)

12、 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx例例2121 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(623

13、5 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2222 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解四四 分部积分分部积分()uvuvuv因因为为 ，()uvuvuv所所以以两两边边积积分分，得得()uv dxuv dxu vdx,uvu vdx 例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）

14、解（一） xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） xdxxxsinsin.cossinCxxx 2coscos2xxxdxxd cossinxxdxxdx : ln 3-20 xxdx 求求不不定定积积分分例例 ,udvuvvduudvudv运运用用分分部部积积分分法法， 关关键键是是恰恰当当选选取取 和和选选取取 和和的的原原则则是是：(1) ;v要要容容易易找找到到(2).vduudv要要比比更更容容易易积积分分(1)sincos;xnexxx(2)ln x与与反反三三角角函函数数一一般般不不是是选选取取的的对对

15、象象. .用用于于凑凑微微分分的的因因式式，一一般般考考虑虑的的顺顺序序是是：例例 求积分求积分.2 dxexx解解22xxx e dxx de dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）22xxx exde例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解2arctanarctan()2xxxdxxddxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln dxxxxxx1)cos(ln)

16、sin(lnsin(ln )cos(ln )cos(ln )xxxxxxdx sin(ln )cos(ln )sin(ln )xxxxx dx dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx sin(ln )cos(ln )xxx dx 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1五、有理函数的积分五、有理函数的积分2)1(1 xx2,(1)AxBCxx21()(2 )(1)AC xBC xC020,1ACBCC得1,2,1ABC 解得： 221(1)xxx 2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,