专题六平面向量

1、专题六平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法.在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考查外，向量还与平面几何、 三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查. 本章应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用.§61向量的概念与运算【知识要点】1 .向量的有关概念与表示(1 )向量：既有方向又有大小的量，记作向量AB , a, b, c.自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量.(2) 向量的模：向量

2、的长度，记作：|AB|,|a |.向量的夹角：两个非零向量a，b，作OA二a,OB二b，则/ AOB称为向量a，b的夹角，记作：<a，b>零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0.单位向量：模为1，方向任意的向量，与 a共线的单位向量是：(a飞0).I a |相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量. 相反向量：长度相等，方向相反的向量.向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量，记作 a/ b.向量垂直：<a， b> = 90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直.2向量的几何运算(注意：运算法则、

3、运算律)(1) 加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法4贝U.(2) 减法：三角形法则.数乘：记作：a 它的长度是：|刨=川 |a|.它的方向：当40时，扫与a同向.(2) 当入v 0时，扫与a反向.(3) 当入=0时，扫=0.(4) 数量积： 定义：a b= |a|b|cos<a， b>其物理背景是力在位移方向所做的功. 运算律：(交换律)a b= b a.(实数的结合律)心 b)=(扫) b=a (?b).(分配律)(a+ b) c= a c+ b c. 性质：设a，b是非零向量，则：a b= 0 = a丄 b.a 与 b 同向时，a b= |a| |b|.a 与 b 反向

4、时，a b=- |a| |b|. 特殊地：a a =|a |2或|a|=a a .夹角：cos：a,b = ab|a|b|a b|w |a|b|.3.向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a =(Xi, yi), b=(X2, y2).(1) 加法：a + b= (xi + X2, yi + yi).减法：a b= (xi x2, yi-y2).数乘：扫=(入x入y.(4)数量积：a b= X1X2 + yiy2.22若 a = (x, y),则 |a|= ： x y .若 a = (xi, yi), b= (X2,2),贝V cos ： a,ba b为 x2 + yi y2Ia II b|x：

5、y；. x；y；若 A(xi, yi), B(x2, y2)，则 |AB|(Xi -X2)2 (%-y2)2 .a b xx + y y2(8)a在b方向上的正射影的数量为|a | cos ： a,b1 22力j .1 b 1v x2 + y24重要定理：(1) 平行向量基本定理：若a = b 则a/ b,反之：若a/ b,且b*0,则存在唯一的实数 入使得a= ?b.(2) 平面向量基本定理：如果ei和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对头数 ai, a?使 a= ai ei + a? e2.(3) 向量共线和垂直的充要条件：右在平面直角坐标系下，a =

6、(xi , yi) , b= (X2 , y2),贝U a / b：= xiy2 x2yi = 0, a丄 bu xiX2 + yiy2= 0.Xi =X2若 a = (xi, yi), b= (X2, y2)，贝U a= bu “y=y2【复习要求】i准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性 运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3.熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题.【例题分析】例1判断下列命题的真假：向量a、b平行，则a与b的方向

7、相同或相反；非零向量ABCD是共线向量，则 A、B、C、D四点共线;(3) 平行四边形ABCD中，AB =CD ;(4) 若 a / b, b/ c,则 a/ c.【分析】(1)假命题.非零的平行向量的方向可以相同或相反，但零向量与任意向量平行，而且规定零向量的方向任意；假命题.我们研究的向量是自由向量，可以在平面(空间)内平移，只要向量能够平移到一条直线上就是平行向量，与平面几何中的平行定义不同；假命题.正确的应该为 AB = -CD = DC ;假命题.若b= 0,则向量的平行性就不能传递.解答：都是假命题.例2向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有()个(1) ( b

8、 c)a (c a) b 与 c 垂直；(2) 若 a c= b - c，贝U a= b；(3) (a b)c= a(b c)；a b< |a| |b|A . 0B. 1C. 2D. 3【分析】真命题.注意：向量的数量积是一个实数，因此(b c)a(c a) b c= (b c)( a©(c a)(b c) = 0，所以 c(b c)a (c a)b 与 c 垂直；假命题.a c= b c= a = b;即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；假命题.(a b)ca(b

9、c)，实际上(a b)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(b c)是与a方向相同或相反的一个向量，向量a、c的方向可以不同，左右两边的向量就不等；真命题.a b= |a| |b|cos<a，b>，且 cos<a， b>< 1，所以 a b< |a| |b|.解答：选C.零向量等，注意积累自己这样的容易错误的判断并纠正自己的认识;(2) 向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质ka»例 3 化简：(1) AD -CM - ND NM ;(2)已知 a= (2, 1), b= (

10、 3, 4),求 a b, 3a + 4b,已知 A( 2, 4), B( 3, 4), BM =3BA，求 M 的坐标.【分析】利用向量的相反向量以及加法的交换律与结合律进行化简;利用向量的坐标运算公式以及向量的线性运算公式化简；利用两点坐标求向量坐标的方法，以及待定系数法求定比分点的坐标解：原式=AD DN NM MC =AC ;(2) - a = (2, 1), b= ( 3, 4), a b= (2 + 3, 1 4) = (5, 3);3a + 4b= (6, 3)+ ( 12, 16) = ( 6, 19):(3) - A( 2, 4), B( 3, 4)，设 M(x , y) B

11、M = (x+ 3 , y+ 4), BA = ( 2+ 3 , 4+ 4) = (1, 8),/ BM =3BA (x+ 3 , y+4) = 3(1, 8),x +3 = 3y + 4 = 24x = 0甘20,即 M(0 , 20).【评析】(1)向量加法满足交换律：a + b= b+ a ,结合律：a+ (b+ c)= (a + b) + c;(2) 向量的数乘满足实数结合律：X £)=(入)!a ,(入 此R),(实数)分配律：扫+ 0= ( X-F ”a ,(向量)分配律：Xa + b) = X +也(3) 会利用两点的坐标求向量的坐标，会适时地设未知点的坐标，利用相等向

12、量求待定系数的值，这是我们会经常遇到的问题和方法；(4) 向量的加减法是向量的最基本的运算，应该做到形算迅速，数算准确；在向量的加法形算中，把一个向量分解成首尾相接的向量的和，以及共起点的两个向量的差的方法在今后的做题中很常见.即MN二MA AN = PN _ PM ;熟练准确进行向量的坐标运算例 4 已知向量 a= (1 ,2),b= (2, - 3).若向量 c满足(c+ a) / b,c丄(a + b)，则 c= ()7 77 77 7A . （c,JB. （ J C）C.（0c）9 33 93 977D. （-$一。）93【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与

13、垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解解：不妨设 c= (m, n)，贝U a + c= (1 + m, 2+ n), a+ b= (3, - 1)，对于(c+ a) / b,则 有一3(1 + m)= 2(2 + n);又 c丄(a+ b)，则有 3m n= 0,则有 m= 一 7 , n = - 7，故选 D .93【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法.例 5 (1)已知向量 OA = (k, 12), OB = (4, 5), OC =

14、( k, 10)，且 A、B、C 三点共 线，求实数k的值.(2)已知向量a= (1, 1), b= (2, 3)，若ka 2b与a垂直，求实数 k的值.【解析】(1)向量a与b(b老)共线= 存在实数m使a = mb.当已知向量的坐标时， a/ b：二X1y2 X2y1= 0.利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题a b= 0：二 a丄 b：= X1X2+ yy2= 0解：(1) OA=(k,12) , OB =(4,5), OC = ( k, 10),AB = (4 k, 7), CB = (4 + k, 5),A、B、C三点共线， 2 AB/CB，即(4 k)( 5) (4

15、 + k)( 7) = 0，解得：k 二3(2)由(ka 2b)丄a，得(ka 2b) a= ka2 2b a = 2k 2 (2 3) = 0,所以 k= 1.【评析】 向量a与b(b0共线的充要条件是存在实数m使a = mb;当已知向量的坐标时，a / b= X1y2 X2y1 = 0.若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向关系成立利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行,以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合例 6已知向量 a= (sin 0, cos 0 2sin B), b= (1

16、, 2).(1)若a / b,求tan啲值；若|a|= |b|, 0< 0< n求0的值.解：因为 a / b,所以 2sin 0= cos 0 2sin 0,1于是 4sin 0= cos 0,故 tan v4由 |a|= |b|知，sin20+ (cos 0 2sin 0)2= 5，所以21 2sin2 0+ 4sin 0= 5.从而2sin2 0+ 2(1 cos2 0)= 4，即 sin2 0+ cos2 0= 1,nsin (2)4.2_ " 2 ,又由Ov 0< n 知，因此n一，或二2已知|a|= 2,S- 2d - n44_ 3n-4 |b|= 5,

17、 <a,9 nn 5 n -.所以2 -厂4,或b>= 60° 求:例7a b;(2a + b) b;|2a+ b|;2a + b与b的夹角B的余弦值.【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等a b= |a| |b| cos<a, b> = X1X2+ yy2 ；a a= |a|2= |a|= a a ,若 a= (x, y),则 | a |= . x2y2 ；._ a bX1X2 + % 讨2cos a,b2222 Ia II b| <x-i +y-i 'x2 +y2解：I |a|= 2, |b|= 5, <a, b> =

18、 60° a a b= |a| |b| cos<a , b> = 5; (2a+ b) b= 2a b+ b b= 10+ 25= 35; 12ab(2ab)2=.4a24abb21620 25 二 61 ； cos 2a b,b =(2a b) b|2a b | b |(2a b) b =35_ 7.61、(2a b)2 I b |61 561【评析】利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的 数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式向量的知识往往结合三角函数和解三角形的知识来综合解决问题练习6- 1一、选择题1 平面向量a, b

19、共线的充要条件是()A a, b方向相同B a, b两向量中至少有一个为零向量C -I 入 R, b=扫D 存在不全为零的实数兀 4 Aa+ ?eb= 02. 设平面向量 a = (3, 5), b= (-2, 1)，贝U a 2b=()A (7, 3)B (7, 7)C (1, 7)D (1 , 3)3. 已知平面向量 a= (1 , 3), b= (4, 2),扫+ b与a垂直，则入是 ()A 1B 1C. 2D 24. 已知四边形 ABCD的三个顶点 A(0, 2), B( 1 , 2), C(3, 1),且BC = 2AD，则顶点D的坐标为()1 A .2,-B.2,C. (3, 2)

20、D. (1 , 3)< 2丿< 2丿二、填空题5. 设 a = (2k + 2, 4), b= (8, k+ 1)，若 a与 b 共线，则 k值为6. 已知向量 0A = ( 1, 2), 0B = (3,m)，若 0A 丄 AB,贝 U m =.一1 一-7已知 M(3,- 2), N(-5,- 1), M-MN，则 P 点坐标为&已知 a2= 1, b2= 2, (a b) a= 0,贝V a 和 b 的夹角是 .三、解答题9已知向量a= (x+ 3, x2 3x 4)与AB相等，其中A(1, 2), B(3, 2)，求实数x的值.10. 已知向量 a与b同向，b= (

21、1, 2), a b= 10 .(1)求向量a的坐标；若 c= (2, 1)，求(b c)a.11. 若向量a与b的夹角为60 ° |b|=4, (a + 2b) (a 3b) = 72,求向量a的模.参考答案专题六平面向量练习6 1一、选择题1. D 2. A 3. A 4. A提示：1. C中，没有考虑a = 0的情况；23.用性质(?a+ b) a = a ?d- a - b= 10 H 10= 0比较快，也可以利用坐标展开运算.二、填空题f35. k = 3 或一56. 47.1, I 8. 45°I 2丿提示：5. 由 a, b共线，则(2k+ 2)(k+ 1)

22、4x 8 = 0,得到 k= 3 或 k=- 5,6. 由已知 AB = (4, m 2). OA AB = 4+ 2(m 2)= 0.得 m= 4.1 37设 P(x, y),则(x 3, y+ 2) = - ( 8, 1)，解得 x= 1, y.2 2&由 a2= |a|2= 1 得 |a|= 1,同理 |b|= , 2 (a b) a = a2 b - a= |a|2 a b= 1 a b= 0，得 a b= 1,所以COST =a blOiibi乎，由 ec 0 ° 180 °，得 A 45 °三、解答题9.由已知 a= AB = (2, 0),x

23、 + 3 = 2 所以丿2x 一 3x - 4 = 0得 x= 1.10. (1)由已知设 a=(入 2 为且 0, a b=入 + 4入=10, k= 2，所以 a = (2, 4);(2)( b c)a = (2 2)a= 0.11. 6.提示：由(a + 2b)(a 3b) = a2 a b 6b2= |a|2 |a| 4 cos60° 6 42=|a|2 2|a| 96= 72，解得 |a|= 6.§ 6 2 向量的应用【知识要点】1. 向量的基本概念和运算与平面几何的联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识；2. 以向量为载体考查三角函数的知识；3. 在解析几何中

24、用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息， 实际上还是考查向量的运算方法与公式.【复习要求】会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.【例题分析】例1若AB BC = BC CA =CA AB，求证三角形 ABC是正三角形.【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某 些判定的结论证明 AB BC -BC CA 二 BC (AB -CA)二 BC (AB AC) = 0，即 BC 与 BC 边上的中线垂直，所以 AB = AC,同理BC=

25、BA，可以得到该三角形是等边三角形.例2 已知向量a= (2, 4), b= (1, 1).若向量b丄(a +血)，求实数 入的值.【分析】 已知向量的坐标和向量的垂直关系，利用向量垂直的坐标公式代入即可.解：T b丄(a+b (a+ 血)=0，即 b a + b2= 0,二 2 + 4+ 2 X= 0,二 L 3.另解 a= (2, 4), b= (1, 1), a + ?b= (2 + 人 4+ 为，：b丄(a+ 血)二 b (a+ ?b)= 0, 即 2 + + 4 + 入=0,.°.治一3.【评析】利用数量积解决向量的垂直问题时，可以用向量的几何形式运算(如例1)，也可以利用

26、坐标形式进行运算(如例2)，注意选择合适的方法.例3 已知a, b, c ABC的三个内角 A, B, C的对边，向量 m = (.3 , 1), n =(cosA, si nA).若 m± n，且 acosB + bcosA = csi nC,求角 A, B 的大小.【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A角的三角方程，从而求出三角形的内角A,已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等 知识求三角形的其余内角.解：/ m丄 n,. m n = 3 cosA sinA= 0,即卩 tanA = . 3，.三角形内角 A = n ；3/ acosB +

27、 bcosA = csi nC,. sinAcosB+ si nBcosA= si n2c,2nn即 sin(A+ B) = sine, sinC= 1, C ,. B=.2 6【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行1 OA OB考查，常见的有中点的表达(比如AM二MB、AM ABOM等都说明 M是2 2AB中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累.例4 已知 ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3, 4)、B(0, 0)、C(c, 0).(1) 若ABAC = 0，求c的值；(2) 若 c= 5，求 sin / A 的值.【

28、分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可.(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等 量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如利用数量积AB AC求出cosA，进而求sinA；余弦定理正弦定理.解：(1) AB = ( 3, 4), AC = (c 3, 4),25由 AB AC =0可得3(c 3)+ 16= 0，解得 c =.3(2)解法一当c= 5时，可得AB= 5, AC = 2 5 , BC= 5, ABC为等腰三角形，过B作BD丄AC交AC于D，可求得BD = 2 5，故sin A =

29、昱=.AB 5解法二AB =( 3, 4), AC =(2, 4), | AB | AC |cosA 二 AB AC ,厂珀52J55 2,5cosA = 6+16, cos A, v a 0, n ,二 sin A =55【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识余弦定理、正弦定理一起来解决是 sin C sin B = 3 sin2 A - £ ,所以sinC= -43,s inC4 11 .3(cosCsinC)2 2.34有关三角形的问题，求角A, B, C的大小.在厶ABC，已知 2AB AC

30、 =朋3 | AB | | AC |=3BC【分析】熟悉向量的数量积的形式，以及结合三角公式来解决问题解：设 BC = a, AC= b, AB= c,由 2Ab AC =U3|AB| | Ac | 得 2bccosA = < 3 bc,所以 cosA = f ,n又 A (0, n,因此 A=.6由3 | AB | | AC H3bC 得 be = 3a2,因此 2sinC cosC 2 3sin2C = 3 , sin2C - . 3cos2C = 0，既 tan2C =、3 ., n5 n由 A 知 0 ： C :-6n ,- 2C 或 2C =3故 A= n, B6，所以 0 :

31、 C :64 n,C32 nn十,C ，或3 65 n32 n，或 C =,3nn _，B ,C66例 6 设向量 a= (4cos :, sin：J,b= (sin 3, 4cos0, c= (cos 3, 4sin 3(1)若a与b 2c垂直，求tan(+ 3)的值;求|b+ c|的最大值；若 tan-Aan 3= 16,求证：a/ b.(3)是向量平行的逆用【解析】(1)(2)以向量的形式来考查三角函数、不等式的知识,解：(1)由 a 与 b 2c 垂直，a (b 2c) = a b 2a c= 0, 即 4sin(:+ B) 8cos(: + B = 0, tan(: + B)= 2;

32、(2) b+ c= (sin B+ cos B, 4cos B 4sin B,2 2 2 2 2|b+ c| = sin B+ 2sin Bcos B+ cos B+ 16cos B 32cos 滋in B+ 16sin B=17-30sin圉os# 17 15sin2 B,最大值为 32,所以|b+ c|的最大值为 4J2 .(3)由 tan : tan 16 得 sin: sin B= 16cos: cos B 即 4cos: 4cos B sin : sin B= 0,所以a/ b.3 3x xn例 7已知向量 a = (cosx,sinx) , b = (cos-,-sin )，其中

33、0, .2 2 2 2 2(1) 求 a b 及|a + b|;(2) 若f(x)= a b 2|a + b|,求函数的值域.继而转化为三角函数与函数的【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入, 有关知识.3 x3x解：(1) a b = cos xcos sin xsin cos2x,2222|a b| = (a b)2 = -.2 2cos2x = 2cosx,x 0,n.或|a +b|=、:(cos+cos)2 +(sin _sin)2V 2222n=2 2cos2x =2cosx,x 0,.222(2)f(x)= a b 2|a+ b|= cos2x 4cosx = 2cos

34、x 4cosx 1 = 2(cosx 1) 3,n X 0, cosx 0 , 1,. f(x) 3, 12【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此,熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要,使用公式时要准确，为后续解题做好准备()(a+ b) c= a c+ b c(a b)c= a(b c)练习6 2一、选择题1若a, b, c为任意向量，m R,则下列等式不一定成立的是A . (a+ b) + c= a+ (b+ c)B.C. m(a+ b) = ma+ mbD.3 1则的值是 （）2、设 a = (

35、,sin ： ) , b = (cos： ,)，且 a / b,23.n .A. ： =2kn ,(k Z)n _:=2kn ,(k Z), n , 一C.=kn ,(k 二 Z)4nD. ： = kn-,(k Z)4A .锐角三角形C .钝角三角形A. PA PB =0B . PB PC 二 03.在 ABC 中，AB 二 a,BC 二 b，且 a b>0,则 ABC 的形状为()B .直角三角形D .等腰直角三角形4. 已知：设P是厶ABC所在平面内的一点， BC - BA = 2BP，贝U()第4题图C. PC PA = 07.若 a = (1, 3),2b)丄(2a b),贝U

36、x=D. PA PB PC 二 0、填空题n t.5. 若向量a, b满足a|= 1, |b|= 2且a与b的夹角为一，则la+ b|=6. 已知向量a= (cos 0, sin 0)，向量b = (丁3,-1)，则|2a b|的最大值是 (1)若 a丄 b, 求 0; 求：|a + b|的最大值.&已知向量 OA = (4,6), OB = (3,5)，且 OC 丄 OA, AC/OB，则向量 OC =.三、解答题9. 判断以点0(0, 0)、A(2, 0)、B(1 , .3)为顶点的三角形的形状.10. P在y轴上，Q在x轴的正半轴上，H( 3, 0), M在直线PQ上，HP PM

37、 0 ,一 3PMMQ .当点P在y轴移动时，求点 M的轨迹C的方程.练习6 2一、选择题1. D 2. C 3. C4. C提示：1. 因为(a b)c与c共线，而a(b c)与a共线，a, c不一定共线.31n2. 由 a/ b 得 a= ?b(入 R)，所以 sin、£cos、£=，消入得 sin2工=1,贝U 2 -= 2kn+ ,232n23.注意a与b所成的角是/ B的补角;即=kn , (k Z).4. AB 二 PB - PA 二 PA PB PC= 2PA 二-PC P 在 AC 上三等分点处(离 A 近).二、填空题5. J24、6.47.-6 或98.

38、 (r提示:6.|2a b| = £(2cosv - 3)2 (2sinr 1)2=8 4(sin)- “ 3 cos 对=8 8sin(v - j，当 sin( 0扌)=1 时,取最大值4.7.22由(a+ 2b) (2a b) = 2a + 3a b 2b = 0.2因为 a2= 10, b2=宁 + 1 , a b=专 + 3 ,代入解得x= 9或6.21设 C(x, y), 4x+ 6y = 0, 3(y 6)= 5(x 4)，解得:x=:OA OB三、解答题9.略解：由 OA=(2,0),OB =(1, .3)得 |OA|=|OB|=2 , cos/ AOB =|OA|OB

39、|以/ AOB = 60°故厶ABC为等边三角形.y23y 210.解答：设 M(x, y),v M 在直线 PQ 上, PMMQ , P(0,),Q(x,0), HP PM =0, HP =(3,-丄),PM =(x,y22232 3x - y = 0 ,即 y2= 4x.(除原点)2 211.解：(I )若 a丄 b,贝U sin B+ cos 0= 0，由此得tan 0=n r1 (2n- n-)，所以二二24(n )由 a= (sin 0, 1), b = (1, cos 0得-3 2、2sin(r j , n当 sin(0 +) =1 时,4|a+ b|取得最大值，即当时，

40、|a + b|最大值为 21 .4习题61.A.2.、选择题已知平面向量 a= (1 ,(5, 10)给出下列五个命题：|a|2= a2;-2), b= ( 2, m),且 a/ b,贝U 2a + 3b= B.(4, 8) C.( )(3, 6) D . ( 2, 4)b2ab a(a b)2= a2 2a b+ b2;(a b)2= a2若a b= 0,则b2;a = 0 或 b= 0.其中正确命题的序号是()A .B .C.D .3. 平面向量 a与b的夹角为60°, a = (2 , 0), |b|= 1则|a+ 2b|=()A . 、3B. 2 3C. 4D. 124. 若

41、 a2= 1, b2 = 2, (a b) a= 0，则 a 与 b 的夹角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知在 ABC 中，OA OB =OB OC =OC OA，则 o ABC 的 ()A .内心B .外心C.重心D .垂心二、填空题6. 已知p= (1 , 2), q= ( 1, 3),贝U p在q方向上的正射影长为 .7. 如图，正六边形 ABCDEF中，有下列四个命题： .AC AF =2BC ; .AD =2AB 2AF ; .AC AD = AD AB ; .(AD AF)EF 二 AD(AF EF).其中真命

42、题的代号是 (写出所有真命题的代号).&如图，平面内有三个向量OAOBOC，其中OA与OB的夹角为120° , OA与OC的夹角为 30°,且 |OA|=|OB|=1,|OC |=2.3，若 OC = OAOB ( R)，贝V 入+ 的值为.9. 已知向量a= (2, 4), b= (1, 1)，若向量b丄(a+ ?b)，则实数 入的值;a a若c=a-()b，则向量a与c的夹角为a b10. 向量 a= (3, 1), b= (1, 3), c= (k, 2)，若(a c)丄 b,贝U k=.三、解答题11. 已知 a = (1, 3), b = (、3,-1).

43、(1) 证明：a丄b；(2) 若ka b与3a kb平行，求实数 k；若ka b与ka + b垂直，求实数 k.12. 设向量 a = (cos23 ； cos67 ), b= (cos68 ； cos22 ), u= a + tb(t R),(1)求 a b;求u的模的最小值.f-13. 在 ABC 中，角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c , tanC = 3、7 .(1)求 cosC;5若 CB CA ，且 a + b= 9,求 c.214. 已知函数f(x) = kx+ b的图像与x, y轴相交于点A, B, AB = 2i 2 j (i, j分别是与x, y轴正半轴

44、同方向的单位向量)，函数g(x)= X2-x6.(1) 求k, b的值；g(x) +1(2) 当x满足f(x)> g(x)时，求函数的最小值.f(x)15. 已知向量 a = (x2, x+ 1), b= (1 x, t)，若 f(x) = a b在区间(一1, 1)上是增函数，求 t的取值范围.习题6一、选择题1. B 2. B 3. B 4. B 5. D提示：3.由已知 |a|= 2, |a+ 2b|2= a2+ 4a b+ 4b2= 4+ 4X 2 x 1 x cos60° 4 = 12|a + 2b|= 2 3 .5. OA OB -OB OC =0B (OA-OC)

45、 = OB CA = 0, OB 丄 CA ,同理OA _ CB , O为垂心.、填空题提示：7.右左8. 69. X= 3 90°10. 0二 FEAF (2EF AD)二 0.,a a 2 a a9. (2)a c= a a () b = a (a b)= 0, < a, c= 90 .a ba b三、解答题11. (2)k=± 3 ； (3)k=± 1.42<212. 答案：(1) a b = 2 ； (2)| U |min2 .、2 22 时，| u |min -2提示：(2)| u |min=J( a+ tb)2 斗 +2t ¥+t2 =(t+¥)2+£13.解答:(1) v tanC = 3 7, '=3.7cosC 当 t2 2 1又 sin c+ cos C= 1 解得 cosC 二.8 cosC .85 abcosC =,ab = 20.2 a2+ b2 = 41./ tanC >0 , C 是锐角.(2) / CB CA,2又T a+ b= 9 a?+ 2ab+ b?= 81.2 2 2 c = a + b 2abcosC = 36.b14.解答:(1)由已知得A(- ,0), k c= 6.HHHB(0, b)，则 AB=( , b)