专题三第3讲推理与证明

1、个人收集整理-仅供参考第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1. (2018 江西 观察下列各式：a+ b= 1, a2 + b2 = 3, a3+ b3= 4, a4 + b住7, a5 + b5 = 11, ，则 a10+ b10=A. 28B. 76C. 123D. 199解读 观察规律，归纳推理.从给出地式子特点观察可推知，等式右端地值，从第三项开始，后一个式子地右端值等于它前面两个式子右端值地和，照此规律，则a10 + b10= 123.答案C2. (2018 -建某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案.方案设计图中，点表示城市，两 点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市

2、间铺设道路地费 用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路地总费用最小.例如 :在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路地线路图如图(1，则最优设计方案如图(2,此时铺设道路地最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路地线路图如图(3,贝U铺设道路地最小总费用为 1 / 8解读 根据题目中图(3给出地信息及题意，要求地是铺设道路地最小总费用， 且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3调整为如图所示地结构(线段下方地数字为两城市之间铺设道路地费用 .此时铺设道路地总费用为答案16个人收集整理-仅供参考考题分析具备一定地推理与证明能力是高考地一项基本要求归纳推理是高考考查地热 点，这类题目

3、具有很好地区分度，考查形式一般为选择题或填空题.网络构建演绎推理直接证明间接证明合情推理-归纳推理类比推理段论综合法分析法反证法数学归纳法的原理数学归纳法的应用高频考点突破考点一：合情推理【例1】(1>(2018 武昌拟 >设fk(x>= sin2kx+ cos2kx(x R>，利用三角变换，估计fk(x>在k= 1,2,3时地取值情况，对k N +时推测fk(x>地取值范围是(结果用k表示>.(2>在平面几何里，有“若ABC地三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S abc=错误！ (a+ b+ c>r ”，拓展到空间，类

4、比上述结论，“若四面体ABCD地四个面地面积分别为S1，S?，S3，S4，内切球地半径为r，则四面体地体积为审题导引(1>由f1(x>> f2(x>> f3(x>地取值范围观察规律可得；(2>注意发现其中地规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出 结论.2 2规范解答(1> 当 k= 1，f1(x>= sin x+ cos x= 1.当 k= 2 时，f2(x> = sin4x+ cosx=(sin2x+ cosx>2 2sin2xcos2x= 1 错误! sin22x.v 0< sin22x< 1，二

5、f2(x> 错误!.当 k= 3 时，f3(x> = sin6x+ cosx=(s in 2x+ cosx>(s in4x- sin 2xcosi2x+ cos4x>=1 3sin2xcos2x= 1 错误! sin22x.个人收集整理 - 仅供参考tow sin22xw 1，二 f3(x> 错误!,故可推测错误！ w fk(x> w 1.(2>三角形地面积类比为四面体地体积，三角形地边长类比为四面体四个面 地面积，内切圆半径类比为内切球地半径二维图形中 错误 ！ 类比为三维图形 中地错误！ ，得 V四面体ABCD= 错误! (Si + S2+ S3+

6、 ®>r.故填 V四面体ABCD= 错误! (S1 S2 S3 S4> r .答案(1>错误！ w fk(x>w 1(2>V四面体abcd =错误! (Si+ S2+ S3+ S4>r【规律总结】 归纳推理与类比推理之区别(1>归纳推理是由部分到整体，由个别到一般地推理在进行归纳时，要先根据 已知地部分个体，把它们适当变形，找出它们之间地联系，从而归纳出一般结 论(2>类比推理是由特殊到特殊地推理，是两类类似地对象之间地推理，其中一个 对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似地性质在进行类比时，要充分 考虑已知对象性质地推理过程，然后类

7、比推导类比对象地性质【变式训练】1 若数列an(n N + >是等差数列，贝U有通项为bn= 错误！ (n N+ >地数列bn也为等差数列，类比上述性质，若数列Cn是等比数列，且Cn > 0,则有通项为dn=(n N + >地数列dn也是等比数列.解读T Cn是等比数列，且Cn>0， I lg Cn是等差数列，令dn=错误！，则lg dn二错误！，由题意知lg dn为等差数列， dn二错误！为等比数列.答案错误！2平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳 它们地交点个数解读n = 2时，交点个数：f(2>= 1.n = 3时，交点个

8、数：f(3> = 3.n = 4时，交点个数：f(4> = 6.n = 5时，交点个数：f(5>= 10.猜想归纳：f(n> =错误！ n(n1>(n2>.考点二： 演绎推理【例2】求证：a, b, c为正实数地充要条件是 a+ b+ c>0,且ab+ bc+ ca>0 和 abc> 0.审题导引 由 a、b、c 为正实数,显然易得 a+ b+ c> 0, ab+ bc+ ca> 0, abc>0,即“必要性 ”地证明用直接法易于完成证明 “充分性”时,要综合三个不等 式推出a、b、c是正实数，有些难度、需用反证法.规范解

9、答(1>证必要性(直接证法 > :因为a、b、c为正实数，所以a+ b+ c>0,ab+ bc+ ca> 0， abc> 0. 所以必要性成立(2>证充分性(反证法：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实 数>，由于 abc> 0，则它们只能是二负一正不妨设 av0, bv0, c>0,又由于 ab+ bc+ ac> 0? a(b+ c>+ bc> 0，因为bcv0,所以a(b+ c>>0.又av0,所以b+ cv 0.而 a+ b+ c> 0,所以 a+ (b+ c>> 0.

10、所以a>0,与av0地假设矛盾.故假设不成立，原结论成立，即 a、b、c均为正实数.【规律总结】1 演绎推理问题地处理方法 从思维过程地指向来看,演绎推理是以某一类事物地一般判断为前提,而作出 关于该类事物地判断地思维形式,因此是从一般到特殊地推理数学中地演绎 法一般是以三段论地格式进行地三段论由大前提、小前提和结论三个命题组 成,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合于这个原理地一个特殊情 形,结论则是大前提和小前提地逻辑结果2适用反证法证明地六种题型 反证法是一种重要地间接证明方法,适用反证法证明地题型有： (1>易导出与已 知矛盾地命题； (2>否定性命题； (3&g

11、t;唯一性命题； (4>至少至多型命题； (5>一些 基本定理； (6>必然性命题等【变式训练】3若定义在区间D上地函数f(x>对于D上地n个值xi, X2,，冷，总满足错误！ f(xi > + f(x2> + f(xn> < f错误！，称函数f(x>为D上地凸函数现已知f(x> = sinx在(0, n上是凸函数，则在 ABC中，sinA+ sinB+ sinC地最大值是.解读 因为凸函数满足 错误！ f(X1> + f(x2> + f(xn> <f错误！，(大前提> f(x> = sin x在(

12、0, n上是凸函数，(小前提>所以 f(A>+ f(B> + f(C>< 3f错误！,(结论>即 sin A+ sin B + sin C< 3sin 错误!=错误!.因此sin A+ sin B+ sin C地最大值是错误！.考点三： 数学归纳法【例 3】设数列an地前n项和为Sn,且S 错误！(an+ 2>Sn+ 1 0,1 Sn= Qnbn(n N + > .(1>求ai, a2地值和数列an地通项公式；(2>若正项数列cn满足：Cn<错误！ (n N +, 0v av1>，求证：错误！ 错误! v 1.审题导

13、引(1>由于S错误！ (an + 2>Sn+ 1 0中含有S错误！，通过升 降角标地方法无法把Sn转化为an,这样就需要把an转化为Sn Sn-1(n2>,通 过探求Sn,然后根据求得地Sn求an地通项公式；(2>根据(1>求得地结果,根据 错误！ 地结构确定放缩地方法求证规范解答(1>S错误！ 1 + 2>0+ 1 0? a1 错误！，S错误！ 一 + 2>S2+ 1 0? a2 错误！.S错误！ 一 (an+ 2>Sn+ 1 0,当 n2时，an Sn Sn-1，代入式，得 SnSn-1 2Sn + 1 0,又由$ 错误！，S2 a1

14、+ a2 错误！，S3错误！错误！. 猜想 Sn 错误 ！ .下面用数学归纳法证明： 当 n 1 时，显然成立； 假设当n k时，Sk错误！，则 n k+1 时， Sk+1 Sk 2Sk+1 + 1 0，Sk+1 错误！-错误！成立.综合，可知猜想成立.所以当n2时，an Sn Sn1 错误！，当n 1时也满足，故 an 错误！ (n N + >.(2>证明 由 (1>，得 bn n，cn <错误！-错误！ v错误！，则错误！错误！ v错误！错误！ -1 -错误！ v 1.【规律总结】使用数学归纳法需要注意地三个问题5 / 8个人收集整理 - 仅供参考个人收集整理-仅供

15、参考在使用数学归纳法时还要明确：(1数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中地作用是：第一步是递 推地基础，第二步是递推地依据，二者缺一不可；(2在运用数学归纳法时，要注意起点 n,并非一定取1,也可能取0,2等值，要 看清题目；(3第二步证明地关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k+ 1时命题变化地情况.【变式训练】4. (2018 青岛二模已知集合 A= x错误！ x= 2n 1，n N +，B = x 错误!x= 6n + 3， nN +，设Sn是等差数列an地前n项和，若an地任一项anAn B且首项a1是An B中地最大数，750vSv 300.(1求数列an地通项公式；(

16、2若数列bn满足bn=沁|令Tn= 24血+ b4 + &+b2n，试比较Tn与错误!地大小.解读(1根据题设可得：集合 A中所有地元素可以组成以-3为首项，- 2为公差地递减等差数列；集合 B中所有地元素可以组成以-3为首项，-6为 公差地递减等差数列.由此可得，对任意地n N +，有An B= B，An B中地最大数为一3， 即卩a1= 3，设等差数列an地公差为d，则an 3+ (n 1d，S10=错误! 45d 30， 750v S10V 300， 750v 45d 30v 300，即一16v dv 6，由于B中所有地元素可以组成以一3为首项，一6为公差地递减等差数列，所以 d

17、 6m(m Z，0，由一16v 6mv 6? m 2，所以d 12，所以数列an地通项公式为an 9 12n(n N + .(2bnJ 错误! n，Tn 24(b2 + b4+ b6+ b2n 24x 与昔误!24错误！，7 / 8Tn-错误！ = 24-错误！-错误！=错误！,于是确定Tn与错误！地大小关系等价于比较2n与2n+ 1地大小，234由 2v 2X 1 + 1,2 <2X 2+ 1,2 >2X 3+ 1,2 >2X 4+ 1,可猜想当n3时，2n>2n+1,证明如下：证法一当n= 3时，由上验算可知成立.假设n= k时，2k>2k+ 1,贝U 2k+

18、1 = 2 2k>2(2k+ 1>= 4k + 2 = 2(k+ 1>+ 1 + (2k- 1>>2(k+ 1>+ 1，所以当n= k+ 1时猜想也成立.根据可知，对一切n3地正整数，都有 2n>2n+1，当n= 1,2时，Tn<错误！，当n3时，Tn>错误！.证法二 当 n 3 时，2n= (1 + 1>n = C错误！ + C错误！ + C错误！ + C错误！C错误！ + C错误！ + C错误！ + C错误！ = 2n + 2>2n+ 1，当 n= 1,2 时，Tn<错误！，当n3时，Tn>错误！.名师押题高考【押题 1】已知“整数对”按如下规律排成一列： (1,1>， (1,2>， (2,1>， (1,3>， (2,2>，(3,1>，(1,4>，(2,3>，(3,2>，(4,1>，则第 60个整数对是A(7,5>B(5,7>C(2,10>D(10,1>解读 依题意，就每组整数对地和相同地分为一组，不难得知每组整数对 地和为