专题2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)之欧阳德创编

1、专题二立方和(差)公式、和(差)的立方公式时间：2021.03.07创作：欧阳德我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1 )平方差公式 (a + b)(a-b) = a2 -b2 ；(2) 完全平方公式 (a±b)2 =a2±2ab + b2 o 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1 )立方和公式(a+b)(a2-ab+b2) = a3 +b3 ；(2)立方差公式(“-方)3+" +，) = /-戻；(3)三数和平方公式(a + b + c)2 =a2 +b2 +c2 + 2(ab + bc + ac)；(4)两数和立方公式(a + b)3=a3 +

2、3a2b + 3ab2+b3 ；(5)两数差立方公式=ay -3a1 b + 3ab -b' o 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己 去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例1计算：(1) (3 + 2y)(9-6y + 4b);(2) (5x-1 y)(25.v2 +1y2)；(3 ) (2x + l)(4x" + 2x +1) o分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和(差)公式，然后再计算.解：(1)原式=33 + (2j)3=27 + 8j3；(2) 原式=(5x)3-(ly)3=125x3-l/；2o(3) 原式=8疋+4,+2x

3、+ 4F +2a + 1 = 8x3+8x2 +4x + 1 °说明：第(1)、(2)两题直接利用公式计算.第(3)题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成则利用公式计算；若将第二个因式中“+2龙”改成“-2厂 则利用公式计算；若将第二个因式中“+2工”改成“必工，可先用完全平方公式分解因式，然后再 用和的立方公式计算(2x + l)(2x + 1尸=(2x +1)3 = (2x)3 + 3(2x)2 1 + 3(2x) l2+13 =8x3+12x2 +6x+l例2计算：(1) (x3-l)(x6+x3+l)(x9 + l)；(2) (X+

4、1)(X-1)(A2 +X+1)(X2 -x+l)；(3) (x+2y)2(x2-2 + 4y2)2 ；分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和(差)的两个因式，是计算的关键.解：原式= U9-l)(x9 + l) = x18-l；(2) 解 法一： 原式=(X + l)(x2 _ X + 1) (X - l)(x2 + X +1)=(宀 1)(疋-l) = x6-l ；解法:原式=(X4-1)(X-1)(X2 +l) + x(x + 1) - x= x6-l ；(3)原式=(x+2y)(x2 -2xy+4y2)2=_?+ 16&+64)。说明：第(2)、(3)题往往先用立方和

5、(差)公式 计算简捷.相反，如第(2)题的第二种解法就比较麻 烦.例3因式分解：(1) 占 + 125；(2) 4 - 27/;(3) x6 - yb o分析：对照立方和(差)公式，正确找出对应的。”是 解题关键，然后再利用立方公式分解因式。解：(1 )原式=(加 + 53 = (xy + 5)(x2y2 -5xy + 25)；(2)原式=“(1 一 27a3)=川1 一 (3“尸=6/(1- 3°)(1 + 3° + 9a2)(3)原式=(X3)2 -(/)2 = (x3 + b)(x- - y3) = (X4- y)(x2-xy+ y2)(x一y)(x2 +xy + y

6、2)o说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解 就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例4设x+y = 5,xy = -，试求/ + y3的值。分析：对于立方和公式a5+h3=(a+b)(a2-ab + b2),我们不难把它变成：/ +1> = (a + b)(a + b)2 一 3ab、艮卩 ct + b' = (a + b)' 一 3ab(a + b), 再 应用两数和、两数积解题较为方便。解：+=(x+y)5 -3xyx+ y) = 5' -3x(-l)x5 = 140 o说明：立方和(差)与和(差)的立方之间可以相互 转化。例5女口 果 AABC

7、 的三边 ",b,c 满足 a3 -a2b + ab2 -ac2 + bc2-b3=0 ,试判断 AABC 的形状。分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的 多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关 系。解：因为/ -a'b->t-ab -ac2 +bc -戻=0 ,所以/一戻+ae，+bc2) = 0 ,即(a-h)(a2 +ab + b2) ab(a-b) c2(ab) = 0 ,(a-b)(a2 +b2 -c2) = 0 , 所以或a2+b2=c2 , 因此A4BC是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边 利用因式分解进

8、行恒等变形.练习1. 计算：(1 ) (4 + d)(16-4a + /)；121(2) (2a一b)(4/ + _" + _F)；(3) (-x-1)(a-2-x + 1)；(4) x(x 2) (x 2.x + 4)(x + 2) o2. 计算：(1 ) (x + 2)(x - 2)2(x2 - 2x + 4)(+ + 2x + 4)；(2) (2x + 3y)3；(3) (5-韧;J(4) (m-1)3(m2 + m + 1)3 o3. 分解因式：(1)(2x + )3 + x3 ；27x3-8y3；2宀；b；4-64 o4. 化简：a_b afa-byb a + ab+b5

9、. j( a + b + c = 0 ,+ bc -uhc+b = 0 o6.(1 )已知m+n = -2 ,求in + n -6mn 的值；(2)已知：x-y = ,求 x3-/-3a>(的值.7. 已知两个正方体，其棱长之总和为48cm,体积之 和为28cm3,求两个正方体的棱长.8. 已知 a+b = ,求 a' +3ab+b' 的值。9. 已知a-b = 2,ab = 4S ,求a4 +b4 的值。10. 已知实数满足 abc 0,a + b + c = ta2 +b2 +c2 =2,/+/?'+c，求abc的值。答案：1 . (1) 64 + /; (2) 一命戻；(3) -x3-l ; (4)-4x2 +4x-8 o2. (1) x6-64；(2) 8疋+36/)，+54a/+27)P ;(3) 25-25b + -b2- b3；(4) 一 3”f+3Fl。3273. ( 1 ) (3x + 1)(3x2+3x + 1) ；( 2 )(3x-2y)(9x，+6xy+ 4)2)；(3 )：(2刃(4宀2巧 + 于)；(4)4(m + 2)(? 一 2)(nr - 2m + 4)(+