第1章 误差分析

1、实验设计与数据处理实验设计与数据处理Experiment Design and Data Processing引引 言言n实验工作的设计方法实验工作的设计方法n分析数据的统计处理分析数据的统计处理n分析化学质量控制方法分析化学质量控制方法n误差理论误差理论0.1 0.1 课程研究内容课程研究内容实验研究的一般过程实验研究的一般过程n确定研究目标。确定研究目标。n制定实验计划。制定实验计划。n通过实验操作、观察、记录，取得实验数据。通过实验操作、观察、记录，取得实验数据。n通过数据分析取得实验结果。通过数据分析取得实验结果。第步需要进行知识积累，提高发现问题的能力。第步需要进行知识积累，提高发现

2、问题的能力。第步需要专业实验训练。第步需要专业实验训练。本课程主要讨论的是第步和第步的相关问题。本课程主要讨论的是第步和第步的相关问题。 实验设计：实验设计：n实验方案有好坏实验方案有好坏优劣优劣之分。之分。评判方案优劣的标准至少含有两个方面：评判方案优劣的标准至少含有两个方面： 实验次数实验次数。实验时间。实验时间。n减少实验次数和缩短实验时间两者经常是一致的。一般减少实验次数和缩短实验时间两者经常是一致的。一般说来，实验次数少，则实验花费时间就短，但当拥有多台说来，实验次数少，则实验花费时间就短，但当拥有多台套仪器可同时实验时，两者概念上还是明显不同的套仪器可同时实验时，两者概念上还是明显

3、不同的。 实验设计的目的：合理地安排试验实验设计的目的：合理地安排试验,力求用较少的力求用较少的试验次数获得较好结果试验次数获得较好结果数据处理的目的数据处理的目的n通过误差分析，评判试验数据的可靠性；通过误差分析，评判试验数据的可靠性；n确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验效率；验效率；n确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并能对试验结果进行预测和优化；能对试验结果进行预测和优化；n试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提

4、供思路；n确定最优试验方案或配方。确定最优试验方案或配方。 实验设计与数据处理的关系：实验设计与数据处理的关系：n实验实验方案的制定和实验数据的分析处理往往是紧密相关方案的制定和实验数据的分析处理往往是紧密相关、相互影响的、相互影响的。n采用采用特别设计的实验方案就必然要相应地采用特别的数特别设计的实验方案就必然要相应地采用特别的数据分析处理方法，才能获得可靠的实验结论据分析处理方法，才能获得可靠的实验结论。n反之反之，要想通过特定的数据处理方法揭示科学变化规律，要想通过特定的数据处理方法揭示科学变化规律，就要对实验方案进行相应的综合有效设计。，就要对实验方案进行相应的综合有效设计。 实验优化

5、设计（与数据处理）则是研究如何合理实验优化设计（与数据处理）则是研究如何合理地安排实验，有效地获得实验数据，然后对实验数据地安排实验，有效地获得实验数据，然后对实验数据进行科学分析，以求尽快达到优化实验的目的。进行科学分析，以求尽快达到优化实验的目的。0.2 课程意义作用课程意义作用n虽然虽然学科的发展积累了很多知识，但离真正认识自然的目学科的发展积累了很多知识，但离真正认识自然的目标还有巨大的距离，实验仍是研究的必要和主要手段标还有巨大的距离，实验仍是研究的必要和主要手段。n 检验理论推理的可靠性也仍然离不开实验。检验理论推理的可靠性也仍然离不开实验。n科学发展日新月异，新领域、新事物不断出

6、现，一个人要科学发展日新月异，新领域、新事物不断出现，一个人要做到样样精通是不可能的。为了适应这种新形势新要求，做到样样精通是不可能的。为了适应这种新形势新要求，切实提高自己的科研能力才是根本。切实提高自己的科研能力才是根本。 本课程介绍的是一些本课程介绍的是一些通用技术通用技术和和通用方法通用方法。掌握这。掌握这些方法，可以提高我们探索未知领域的能力，同时也些方法，可以提高我们探索未知领域的能力，同时也可以提高我们的思维能力和思维水平。可以提高我们的思维能力和思维水平。 大家都学过基础的数理统计，但往往不知道如何应用，大家都学过基础的数理统计，但往往不知道如何应用，这就跟没有学过差不多。这就

7、跟没有学过差不多。 对于学过分析化学课程的化学化工类学生而言，尽管对于学过分析化学课程的化学化工类学生而言，尽管学过少量的数据处理方法，但非常简略，离真正解决问学过少量的数据处理方法，但非常简略，离真正解决问题还有很大距离。题还有很大距离。 例如：通过误差分析，可以评判实验数据的可靠性；通过例如：通过误差分析，可以评判实验数据的可靠性；通过方差分析，可以确定影响实验结果因素的主次顺序，从而方差分析，可以确定影响实验结果因素的主次顺序，从而可以抓住主要矛盾，提高实验效率；通过实验优化设计，可以抓住主要矛盾，提高实验效率；通过实验优化设计，快速找到最优工艺条件或配方，减少实验次数；分析确定快速找到

8、最优工艺条件或配方，减少实验次数；分析确定实验因素与实验结果之间存在的近似函数关系，对实验结实验因素与实验结果之间存在的近似函数关系，对实验结果进行预测和优化，等等。果进行预测和优化，等等。 参考书目参考书目第1章 试验数据的误差分析n一切科学都是从测量开始的。一切科学都是从测量开始的。 n凡是实验和测量，就一定有误差伴随，也就是说测量误差凡是实验和测量，就一定有误差伴随，也就是说测量误差是客观存在的。是客观存在的。n实验和测量水平的不断提高，只能是使误差逐渐减小，而实验和测量水平的不断提高，只能是使误差逐渐减小，而不可能使误差为零。不可能使误差为零。 1.1 误差及其表示方法误差及其表示方法

9、研究实验误差，目的是科学地利用数据信息，合研究实验误差，目的是科学地利用数据信息，合理地设计实验，尽量减少误差的产生，以得到更理地设计实验，尽量减少误差的产生，以得到更接近于客观真实值的实验结果。接近于客观真实值的实验结果。n误差分析（误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进：对原始数据的可靠性进行客观的评定行客观的评定 n误差（误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致值在数值上的不一致试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中实验过程中客观真实

10、值客观真实值真值真值1.1.1 误差的分类误差的分类 (1) 系统误差系统误差 由某些确定的因素造成的误差称为系统误差。由某些确定的因素造成的误差称为系统误差。系统误差的主要来源系统误差的主要来源: :n方法误差方法误差 指由分析方法本身所造成的误差。例如，反指由分析方法本身所造成的误差。例如，反应不能定量地完成；或有副反应干扰；以及滴定分析中终应不能定量地完成；或有副反应干扰；以及滴定分析中终点与等当点不一致等等点与等当点不一致等等。n仪器误差仪器误差 由于仪器本身的局限而引起的误差。例如，由于仪器本身的局限而引起的误差。例如，天平不等臂；砝码在使用中被锈蚀或磨损；容量仪器刻度天平不等臂；砝

11、码在使用中被锈蚀或磨损；容量仪器刻度不准等。不准等。n试剂误差试剂误差 由于试剂不纯而引起的误差。例如，试剂中由于试剂不纯而引起的误差。例如，试剂中含有被测成分或含有干扰杂质等。含有被测成分或含有干扰杂质等。n操作误差操作误差 由于操作者操作不当而引起的误差。例如，由于操作者操作不当而引起的误差。例如，分解试样不完全；滴定时读数偏高或偏低；对终点颜色的分解试样不完全；滴定时读数偏高或偏低；对终点颜色的观察偏深或偏浅等等。观察偏深或偏浅等等。 系统误差的特点系统误差的特点n 测定结果系统偏高或者偏低测定结果系统偏高或者偏低 n如果如果条件不变，系统误差是条件不变，系统误差是恒定恒定的，它将在多次

12、测定中的，它将在多次测定中重复重复出现出现n当当造成系统误差的因素造成系统误差的因素消失消失时，系统误差也就自然时，系统误差也就自然消失消失n通过通过选择较好的分析方法、校正仪器、提纯试剂、提高选择较好的分析方法、校正仪器、提纯试剂、提高操作水平等途径使分析系统趋于完善，最大程度上消除系操作水平等途径使分析系统趋于完善，最大程度上消除系统误差。统误差。(2) 随机误差随机误差 由某些随机的、偶然的因素造成的误由某些随机的、偶然的因素造成的误差称为随机误差。差称为随机误差。 随机误差来源于环境温度、湿度的变化、气压的随机误差来源于环境温度、湿度的变化、气压的变化、仪器性能的微小波动、电压的变化、

13、大地的变化、仪器性能的微小波动、电压的变化、大地的振动，以及操作者处理试样的微小差别等等。振动，以及操作者处理试样的微小差别等等。 随机误差也被称为偶然误差，其大小、正负难以预随机误差也被称为偶然误差，其大小、正负难以预言，是偶然的。言，是偶然的。 随机误差随机误差难以预测难以预测，在分析测量过程中也是，在分析测量过程中也是无法避无法避免免的，但在多次测定中，随机误差具有的，但在多次测定中，随机误差具有统计规律性统计规律性。 (3) 过失误差过失误差 由操作者的错误或过失造成的。由操作者的错误或过失造成的。例如，记错读数、加错试剂、溅失溶液、流失沉淀等。例如，记错读数、加错试剂、溅失溶液、流失

14、沉淀等。凡是含有过失误差的数据应一律弃去。凡是含有过失误差的数据应一律弃去。过失误差是过失误差是可以和应当避免可以和应当避免的。的。真值（真值（true value）n真值：在某一时刻和某一状态下，某量的真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值客观值或或实际值实际值 n真值一般是未知的真值一般是未知的n相对的意义上来说，真值又是已知的相对的意义上来说，真值又是已知的平面三角形三内角之和恒为平面三角形三内角之和恒为180国家标准样品的标称值国家标准样品的标称值国际上公认的计量值国际上公认的计量值 高精度仪器所测之值高精度仪器所测之值多次试验值的平均值多次试验值的平均值1.1.2 误差的表示误差

15、的表示1.2.1 绝对误差（绝对误差（absolute error） 定义定义 绝对误差试验值真值绝对误差试验值真值 或或m axtxxxx txxx 说明说明n真值未知，绝对误差也未知真值未知，绝对误差也未知n 可以估计出绝对误差的范围：可以估计出绝对误差的范围：绝对误差限或绝对误差上界绝对误差限或绝对误差上界 或或maxtxxx (1) (1) 误差误差 误差指测定值与真值之差。误差反映了测定结果的准确度。误差指测定值与真值之差。误差反映了测定结果的准确度。 测定值与真值愈接近，误差愈小，准确度愈高。测定值与真值愈接近，误差愈小，准确度愈高。n绝对误差估算方法：绝对误差估算方法：最小刻度的

16、一半为绝对误差；最小刻度的一半为绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；最小刻度为最大绝对误差；根据仪表精度等级计算：根据仪表精度等级计算： 绝对误差绝对误差=量程量程精度等级精度等级%误差值为正，表示测量结果大于真实值，测量数误差值为正，表示测量结果大于真实值，测量数据偏高，反之，误差值为负，表示测量结果小于据偏高，反之，误差值为负，表示测量结果小于真实值，测量数据偏低。真实值，测量数据偏低。1.2.2 相对误差（相对误差（relative error） （1）定义：）定义：绝对误差相对误差真值tRttxxxExx或或 或或RxEx（2）说明：）说明：n 真值未知，常将真值未知，常将x与试验值或平

17、均值之比作为相对误差：与试验值或平均值之比作为相对误差：RxEx或或n 可以估计出相对误差的大小范围：可以估计出相对误差的大小范围：maxRttxxExx相对误差限或相对误差上界相对误差限或相对误差上界 n 相对误差常常表示为百分数（相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（）或千分数（） (1)tRxxE(2) 偏差偏差个别偏差个别偏差 个别测量值与平均值之差称为个别偏差，简称偏差。个别测量值与平均值之差称为个别偏差，简称偏差。偏差反映了测定结果的精密度。偏差反映了测定结果的精密度。精密度精密度即各测量值之间相接近的程度。各测量值相即各测量值之间相接近的程度。各测量值相互接近、比较集中，或波动

18、性小，离散性小，偏差就互接近、比较集中，或波动性小，离散性小，偏差就小，精密度也就高。小，精密度也就高。由于系统误差是恒定的，故精密度决定于随机误差。由于系统误差是恒定的，故精密度决定于随机误差。个别偏差可以表示为个别偏差可以表示为xdi=xi- 平均偏差平均偏差平均偏差为个别偏差绝对值的平均值。平均偏差为个别偏差绝对值的平均值。 xxndndii11 相对平均偏差相对平均偏差%100 xddr 标准偏差标准偏差在数理统计中，常用标准偏差来衡量数据的离散程度，在数理统计中，常用标准偏差来衡量数据的离散程度，表征测量的精密度。表征测量的精密度。S为有限次测定的标准偏差，即为有限次测定的标准偏差，

19、即样本的标准偏差样本的标准偏差； 为无限次测定的标准偏差，即为无限次测定的标准偏差，即总体的标准偏差总体的标准偏差。1)(2nxxSinxi2)( 相对标准偏差相对标准偏差%100 xSSr 极差极差 R=maxxi-minxi (3) 准确度和精密度准确度和精密度准确度决定于系统误差与随机误差准确度决定于系统误差与随机误差(或精密度或精密度)。精密度高是准确度高的前提。在精密度高的前精密度高是准确度高的前提。在精密度高的前提下，要使准确度高，还需消除系统误差。提下，要使准确度高，还需消除系统误差。真实含量：真实含量：54.36%1.2 测量值和随机误差的分布测量值和随机误差的分布2.2.1

20、随机现象随机现象 必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机现象随机现象决定性现象决定性现象2.2.2 测量值的正态分布测量值的正态分布测量值服从正态分布这样的数学模型。测量值服从正态分布这样的数学模型。正态分布又称高斯分布。正态分布密度函数为：正态分布又称高斯分布。正态分布密度函数为：222)(21)(xexf 正态分布曲线以直线正态分布曲线以直线x= 为对称轴。为对称轴。 当当x= 时时, 概率密度概率密度f (x)最大，说明测量值落在最大，说明测量值落在 的邻域的邻域内的概率最大。内的概率最大。 曲线左右两侧快速单调下降（概率密度快速减小），曲线左右两侧快速单调下降（概率密度快速减小），并

21、分别以横轴为渐近线（概率密度渐趋于零），说明测量并分别以横轴为渐近线（概率密度渐趋于零），说明测量值落在值落在 两侧各点邻域内的概率依次快速减小，且极大和两侧各点邻域内的概率依次快速减小，且极大和极小的测量值出现的概率极小。极小的测量值出现的概率极小。 这些揭示了测量值虽然分散但却向这些揭示了测量值虽然分散但却向 集中的趋势，同集中的趋势，同时也表明时也表明 决定了正态分布曲线在横轴的位置决定了正态分布曲线在横轴的位置。正态分布曲线正态分布曲线 相同而相同而不同时不同时(12)的正态分布曲线的正态分布曲线正态分布曲线上有两个拐点，可以证明两个拐点到对称轴正态分布曲线上有两个拐点，可以证明两个拐

22、点到对称轴x= 的距离均为的距离均为。 如果如果小（精密度高），则两个拐点间距（小（精密度高），则两个拐点间距（2）小，曲线）小，曲线左右两侧收得拢，显得左右两侧收得拢，显得“瘦高瘦高”，说明测量值比较集中。，说明测量值比较集中。 如果如果大（精密度差），则两拐点间距大，位置低，曲线大（精密度差），则两拐点间距大，位置低，曲线左右两侧张得开，显得左右两侧张得开，显得“扁平扁平”，说明测量值比较分散。，说明测量值比较分散。 显然，显然，决定了正态分曲线的形状，曲线形状则生动直决定了正态分曲线的形状，曲线形状则生动直观地表明了测量值的离散程度。观地表明了测量值的离散程度。 相同而相同而 不同不同(

23、 2 1)的正态分布曲线的正态分布曲线 由于正态分布完全取决于由于正态分布完全取决于 和和，所以，所以 和和为正态为正态分布的两个参数，常用符号分布的两个参数，常用符号N ( , 2) 表示。表示。222)(21)(xexf1.2.3 随机误差的分布随机误差的分布22221)(rerf正态分布为正态分布为N (0，2) 随机误差的分布规律：随机误差的分布规律： 绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，此为差出现的概率小，此为单峰性单峰性； 绝对值相等的正负误差出现的概率相等，此为绝对值相等的正负误差出现的概率相等，此为对称性或抵偿性；对称

24、性或抵偿性； 绝对值很大的误差出现的概率极小，此为绝对值很大的误差出现的概率极小，此为有界有界性性。令令r=x- ，则，则1.2.4 标准正态分布标准正态分布(u(u分布分布) )如果以标准偏差如果以标准偏差为单位表示随机误差，引入变量为单位表示随机误差，引入变量uxu2221)(ueuf标准正态分布，记为标准正态分布，记为N（0，1） 1.2.5 积分概率积分概率随机变量在区间随机变量在区间a, b上出现的概率，对应的积分为：上出现的概率，对应的积分为：baduufbaP)(,根据附录根据附录1标准正态分布表以及正态分布曲线左右标准正态分布表以及正态分布曲线左右对称，总概率为对称，总概率为1

25、. 这些已知条件，可以求出任何区这些已知条件，可以求出任何区间上的概率。例如间上的概率。例如P-u, 0= P0, uP-u, u= 2 P0, uP-u1, u2= P0, u1+ P0, u2Pu, = P0, P0, u=0.5000P0, u附录附录1 标准正态分布表标准正态分布表 例例2-1 求测量值落在区间求测量值落在区间 ， 1.96， 3 内的概率。内的概率。解：解： 据据u定义式可知，与题中测量值的出现区间所对定义式可知，与题中测量值的出现区间所对应的应的u的区间分别为的区间分别为-1, 1，-1.96, 1.96，-3, 3。根。根据附表据附表1中有关值，可得：中有关值，可

26、得：P-1, 1=2P0, 1=20.34130.6826P-1.96, 1.96=2P0, 1.96=20.47500.9500P-3, 3=2P0, 3=20.49870.9974例例2-2 对某试样中的钴含量进行测定。已知钴的标准值对某试样中的钴含量进行测定。已知钴的标准值为为1.75（），测定无系统误差，标准偏差（），测定无系统误差，标准偏差0.10。求。求分析结果落在分析结果落在1.601.95范围内的概率。如果测定范围内的概率。如果测定90次，次，求分析结果大于求分析结果大于1.95的可能次数。的可能次数。解：解： 依题意，依题意， = 0=1.75，u1=(1.60-1.75)/

27、0.10= 1.5u2=(1.95 -1.75)/0.10= 2.0P1.5，2.0P0, 1.5P0, 2.0=0.43320.4772=0.9014P2.0，=0.5000P0, 2.00.50000.47720.0228900.02282（次）（次）即分析结果落在即分析结果落在1.601.95范围内的概率为范围内的概率为0.9014。如果。如果测定测定90次，分析结果大于次，分析结果大于1.95的可能次数为的可能次数为2次。次。1.3 误差传递误差传递设分析结果设分析结果R与各直接测量值与各直接测量值A，B，间的函数关系为：间的函数关系为： R=f(A，B，), 设设dA，dB，分别为各

28、直接测量值的误差，则分析结果分别为各直接测量值的误差，则分析结果R的误差的误差dR为：为： dBBRdAARdR 此为误差传递的一般公式此为误差传递的一般公式 1.3.1 系统误差的传递系统误差的传递(1) 加减运算加减运算 若若 RA+mBnC则则 dRdAmdBndC (2) 乘除运算乘除运算CABR dCCABdBCAdACBdCCRdBBRdAARdR2CdCBdBAdARdR(3) 对数运算对数运算 R=k+nlnAAdAndAdAdRdR(4) 指数运算指数运算 R=k+AndAnAdAdAdRdRn 1例例2-3 用直接电位法测定某二价离子的浓度，其定量用直接电位法测定某二价离子

29、的浓度，其定量关系式为：关系式为：EE 0.029lgc。如果电位测量误差为。如果电位测量误差为0.5 mV，求分析结果的相对误差。，求分析结果的相对误差。解：解： EE 0.029 lgcE (0.029/2.303) lncdE=(0.029/2.303) dc/cdc/c=(2.303/0.029) dE=(2.303/0.029) 0.0005=0.04 =4%1.3.2 随机误差的传递随机误差的传递设设R=f (A, B, ), R1=f (A1, B1, ), R2=f (A2, B2, )，Ri=f (Ai, Bi, )，Rn=f (An, Bn, )。iiiiidBdABRAR

30、dBBRdAARdR2)()()()()(22222iiiiidBdABRARdBBRdAARdR2)()()()()(2222222222)()()()()(iiidBBRdAARdRndBBRndAARndRiii22222)()()()()(22222)()(BARBRAR22222)()(BARSBRSARS如果为有限次测定，则有：如果为有限次测定，则有：(1) 加减运算加减运算若若 R=A+mB-nC则则 SR2= SA2+ m2SB2+ n2SC2 (2) 乘除运算乘除运算R=AB/C 2222222)()()(CBARSCRSBRSARS2222222)()()(CBASCABS

31、CASCB22222222CSBSASRSCBAR(3) 对数运算对数运算 R=k+nlnA22222)()(AARSAnSdAdRS表表2-1 误差传递公式误差传递公式 43例例2-4 用硫酸钡重量法测定钡，称取试样用硫酸钡重量法测定钡，称取试样0.4503 g，最，最后得到硫酸钡沉淀后得到硫酸钡沉淀0.4291 g。如果天平称量时的标准偏。如果天平称量时的标准偏差差S0.1 mg，计算分析结果的标准偏差。，计算分析结果的标准偏差。07.561004503. 039.23333.1374291. 0100(%)4GBaSOBaWxmBaSOBa1004GWmx 222222GSWSxSGwx

32、2222221SSSSGGG22222244321SSSSSSWWWWW22222224GSWSxSx222)(2)(4)(GSWSxSx22)3 .45010. 0(2)1 .42910. 0(481058.3141062. 5xSx032. 007.561062. 54xSG为两次称量所得，为两次称量所得，GG2G1W为为4次称量所得，次称量所得，W（W4W3）（）（W2W1）例例2-5 如果样本如果样本(应视为大样本应视为大样本)标准偏差为标准偏差为，求证平均值的标准偏为求证平均值的标准偏为 。nx)(121nxxxnxnxnxxxxxxxxx222222212)()()(21nxxxn

33、nn222222)1()1()1(21nxnxxx21nnnnx2222221)1(证明: 因为所以因为各次测量等精度，nxnxnxn111211.4 提高分析结果准确度的方法提高分析结果准确度的方法 1.4.1 减小随机误差减小随机误差nSSx10510152025300.81.0SSxn在在n15范围内，增加测定范围内，增加测定次数对减小随机误差非常有效；次数对减小随机误差非常有效；在在n510范围范围内，增加测定内，增加测定次数，作用已不很显著；在次数，作用已不很显著；在n=10以后，再增加测定次数，以后，再增加测定次数，平均值标准偏差的减小就更加平均值标准偏差的减小就

34、更加有限。有限。通常，只需测定通常，只需测定35次就可以次就可以了。了。如前所述，增加测定次数可以减小随机误差。这说明，为减小随机如前所述，增加测定次数可以减小随机误差。这说明，为减小随机误差，测定次数应尽可能多些。误差，测定次数应尽可能多些。那么在一般情况下测定多少次为宜呢？那么在一般情况下测定多少次为宜呢？ 平均值的标准偏差与测定次数的关系平均值的标准偏差与测定次数的关系1.4.2 消除系统误差消除系统误差(1) 对照实验对照实验(2) 分析方法的选择及校正分析方法的选择及校正(3) 仪器校正仪器校正 (4) 空白实验空白实验试剂中含有干扰杂质或被测成分，以及溶液对器皿的侵蚀试剂中含有干扰

35、杂质或被测成分，以及溶液对器皿的侵蚀而引起的系统误差可以通过空白实验来扣除。而引起的系统误差可以通过空白实验来扣除。(5) 减小测量误差减小测量误差 (6) 克服试样中干扰物质的影响克服试样中干扰物质的影响 干扰物质可能来自所用试剂，也可能来自试样本身。干扰物质可能来自所用试剂，也可能来自试样本身。如果来自所用试剂，可作空白实验，以扣除空白值的办法来如果来自所用试剂，可作空白实验，以扣除空白值的办法来消除其影响。消除其影响。如果来自试样本身，可采用如果来自试样本身，可采用“标准加入法标准加入法”进行试样测定进行试样测定.1.5.1 有效数字（有效数字（significance figure）

36、能够代表一定物理量的数字能够代表一定物理量的数字n有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度n数据中小数点的位置不影响有效数字的位数数据中小数点的位置不影响有效数字的位数例如：例如：50，0.050m，5.0104mn第一个非第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后数后的数字都是有效数字的数字都是有效数字例如：例如： 29和和29.00n第一位数字等于或大于第一位数字等于或大于8，则可以多计一位，则可以多计一位例如：例如：9.99 1.5 有效数字和试验结果的表示有效数字和试验结果的表示1.5.2 有效数字的

37、运算有效数字的运算（1）加、减运算：）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同与其中小数点后位数最少的相同（2）乘、除运算）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准以各乘、除数中有效数字位数最少的为准（3）乘方、开方运算：）乘方、开方运算： 与其底数的相同：与其底数的相同： 例如：例如：2.42=5.8（4）对数运算：）对数运算： 与其真数的相同与其真数的相同 例如例如ln6.841.92；lg0.000044（5）在）在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位加一位（6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。取，但原始数据如有限制，则