专题二第3讲平面向量

1、个人收集整理-仅供参考第3讲平面向量自主学习导引真题感悟1. (2018 重庆设x、y R，向量a= (x,1>, b= (1, y>, c= (2, 4>，且a 丄 c, b / c,则 |a+ b|=A.错误! B.错误！C . 2错误! D. 10解读 利用平面向量共线和垂直地条件求解.(x,1>, b= (1, y>, c= (2, 4>,由 a丄c得 a c= 0, 即卩 2x 4= 0,二 x= 2.由 b / c,得 1 x ( 4> 2y= 0,二 y= 2. a+ b= (3, 1> , |a+ b|=错误！=错误!.答案B2.

2、 (2018浙江 >在 ABC中，M是BC地中点，AM =3, BC= 10,贝U错误！ 错误!解读 利用向量数量积地运算求解.如图所示，错误！=错误！ +错误！，错误!=错误！ +错误！=错误！-错误！,错误！错误！=（错误！ +错误!> （错误！-错误!> =错误!2 错误!2=|错误！ I2 |错误！ |2 = 9 25= 16.答案 16考题分析近年地新课标高考，对于平面向量地考查主要是向量地模、夹角地运算以及平行、垂直地判 断及应用，重点考查地是平面向量数量积地运算与应用，考查形式多样，且常与其他数学知 识交汇命题网络构建个人收集整理-仅供参考高频考点突破考点一：向

3、量地有关运算冋题(1>(2018聊城拟如图，在平行四边形ABCD中，0是对角线AC、BD地交点, 长线与CD交于点E,则下列说法错误地是A.错误！=错误！ +错误！ B.错误！=错误！-错误！N是线段0D地中点，AN地延C.错误！二错误！错误！ +错误！错误！ D.错误！二错误！错误！ +错误！(2>(2018天水模拟 > 已知0为厶ABC内一点，且错误！ +错误！ +2错误！ = 0,则 AOC与 ABC地面积比值是A.错误！B.错误！C错误！D. 1审题导引(1>利用平面向量地加减法及平面向量基本定理逐一判定；(2>把所求面积地比转化为线段地比值.规范解答(1

4、>设错误！二2错误！二准昔误！ +错误！ >=错误！ +错误！ 2错误！ = 2错误！ +错误！ 2错误！-错误！ > =错误！淮昔误！ + 错误！错误！，又设错误！=侮昔误！，二错误！=错误！ +错误！=错误！ +侮昔误！=错误！ +銷误！故错误！，二错误！.错误！=错误！错误！ +错误！.故选D.(2>如图所示，个人收集整理-仅供参考R设AC地中点为M , 则错误！ +错误！ = 2错误！, 又错误！ +错误！ + 2错误！ = 0,错误！二-错误！，即0是BM地中点，故厶AOC地底边AC上地高是厶ABC底边AC上高地错误！, AOC与厶ABC地面积比值是 错误！.

5、答案（1>D（2>A【规律总结】平面向量运算中地易错点平面向量地线性运算包括向量地加法、向量地减法及实数与向量地积，在解决这类问题时， 经常出现地错误有：忽视向量地终点与起点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式对此， 要注意三角形法则和平行四边形法则适用地条件，运用平行四边形法则时两个向量地起点必 须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条 件.【变式训练】1. （2018密云一模 >在 ABC中，点P是BC上地点.错误！ = 2错误！，错误！=淮昔误！+侮昔误！，则A . k= 2，尸 1 B. ）= 1，尸 2C. A错误！， 尸错误！

6、 D. k=错误！， 尸错误！解读如图，A错误！=错误！ +错误！=错误！ +错误！错误！=错误！ +错误！（错误！-错误！ > =错误！错误！ +错误！错误！，二后错误！，卩 二错误！.答案C 4 / 7个人收集整理 - 仅供参考考点二： 平面向量地数量积及应用【例2】(1>(2018三明模拟 >在边长为1地正三角形ABC中，若错误！ = 2错误！，错误！ = 3 错误！，则错误！错误! =.(2>(2018 海淀一模已知向量 a= (1, x>, b= (- 1, x>，若2a b与b垂直，则 |a|=A.错误！ B.错误！C. 2 D. 4审题导引(1

7、>向量错误！与错误！用错误！， 错误！或错误！表示计算其数量积；(2>利用(2a b>丄b,求出x，然后计算|a|.规范解答(1>错误！错误！=(错误！ +错误！> (错误！-错误！> 二错误！错误！二错误！错误！错误！ -1错误！ |2 +错误！错误！错误！-错误！错误！错误！=错误！ x 1X1 x错误！ 1 +错误！ x 1 xix错误！错误！ xix ix错误！=- 错误！.2(2>(2a-b> b= (3，x> (- 1，x> = x2- 3= 0， x= ±错误！， |a|= 2. 答案(1>-错误！(2&

8、gt;C【规律总结】易错提示 由于两向量地数量积与它们地模和夹角有关，因此数量积是解决长度、夹角(尤其是垂直 >等冋题地重要工具.注意在厶ABC中，向量地夹角与厶ABC地内角之间地关系， 向量与地夹角为角A,而与地夹角为n B,这一点不要出错.【变式训练】2. (2018 皖南八 校联考 >设向量a、b满足：|a|= 2, a b= 错误！ ，|a+ b|= 2错误！，则|b|等于A.错误！ B. 1C.错误！ D. 2 解读 |a+ b|2= (a+ b>2= |a|2 + 2a b+ |b|2 = 4+ 3+ |b|2 = 8,二 |b|= 1.答案B3. (2018厦门

9、模拟已知平面向量a、b满足a (a+ b> = 3,且|a|= 2, |b|= 1,则向量a与b地夹角为A.错误！ B.错误！C.错误！ D.错误！2解读 a (a+ b>= |a|2+ a b= 4+ a b= 3， a b=- 1 ，二cosa, b=错误！=错误！=一错误！,a, b=错误！.答案 C考点三： 平面向量地综合应用性问题【例3】已知向量a =错误！ , b=错误！，且x 错误！，求：(1a b及|a+ b|；(2若f(x = a b-2?|a+ b|地最小值是错误！，求;地值.审题导引应用向量地数量积公式和模地公式，可得f(x地表达式，再运用三角函数知识化简f(

10、x，根据f(x地表达式求出入地值.规范解答(1 a b= cos错误 ！ cos 错误 ！ 一 sin 错误 ！ sin 错误！ =cos 2x， |a+ b|=错误！ 二错误！二错误！二2错误！，x 错误！，0cos x 1，|a+ b| = 2cos x.(2f(x= a b 2 ?|a+ b| = cos 2x 2 入2cosx=2(cos x 2 1 2 卡，当 疋0时，当且仅当cos x= 0时，f(x取得最小值一1,这与已知矛盾；当001寸，当且仅当cos x=曲寸，f(x取得最小值一1 2关，由已知，得1 2f二错误！，解得 后错误！；当 心1时，当且仅当cos x= 1时，f(

11、x取得最小值1 4入由已知，得1 4 A 错误！，解得入=错误！，与/ 1矛盾. 综上所述，A错误！.【规律总结】平面向量综合应用地技巧例 3体现了函数问题向量化、向量问题函数化地等价转化思想，其中，模地平方与向量数 量积之间地关系|af= aa = x2 + y2和a= (x，y是实现向量与实数互化地依据和桥梁，也是重 要地转化方法.在近几年地高考中，经常以解答题地形式考查上面所说地这种转化，且常见 于以三角函数为背景地中易档解答题中.【变式训练】4. (2018 青 岛二模 已知向量 m= (sin x， 错误！ sin x，n= (sin x， cos x，设函数f(x = m n，若函

12、数g(x地图象与f(x地图象关于坐标原点对称.(1求函数g(x在区间错误！上地最大值，并求出此时x地值；(2在 ABC中，a b、c分别是角A、B、C地对边，A为锐角，若f(A g(A=错误！，b+ c= 7， ABC地面积为2错误！，求边a地长.解读(1>由题意得：f(x> = sin2x 错误! sin xcos x =错误！ -错误！ sin 2x=错误！ -sin错误！, 所以g(x>= 错误！ - sin错误！, 因为x错误！，所以2x 错误！ 错误！， 所以当2x错误！=错误！，即x=错误！时， 函数g(x>在区间错误！上地最大值为错误！.(2> 由

13、f(A> g(A> =错误！，得1 sin错误！ + sin错误！二错误！，化简得：cos 2A= 错误！.又因为Ov Av错误！，解得：A二错误！，由题意知：Ssbc =错误！ bcsin A= 2错误！，解得bc= 8， 又 b+ c= 7，所以 a2 = b2 + c2 2bccos A=(b+ c>2 2bc(1 + cos A> = 49 2X 8X 错误！ = 25， 故所求边 a 地长为 5.名师押题高考【押题1】在正三角形ABC中，AB= 1，错误！ = 7错误！ + 3错误！，则错误！错误！解读错误！错误!二(7错误! + 3错误! >错误!二7

14、错误！错误! + 3错误！错误！=7X 1 X 1 X cos 120 °3X 1 X 1 X cos 60 ° 2.押题依据 本题主要考查平面向量地线性运算及数量积运算，属中等偏易题每年高考大 多数情况下都会涉及此类题目，有时还会与正、余弦定理交汇命题，所以在备考中掌握其基 础知识，能熟练运算即可【押题2】在厶ABC中，角A、B、C地对边分别为a、b、c.已知向量m= (b，a 2c>，n= (cos A2cos C，cos B>，且 m±n.(1>求错误！ 地值；(2>若a = 2, |m|= 3错误！，求 ABC地面积S.解读 (1&

15、gt;解法一 由 m± n，得 b(cos A2cos C> + (a 2c>cos B= 0.根据正弦定理，得 sin Bcos A 2sin Bcos C + sin Acos B 2sin Ccos B= 0.因此(sin Bcos A+ sin Acos B> 2(sin Bcos C + sin Ccos B> = 0，即卩 sin(A+ B> 2sin(B+C> = 0.因为 A+ B+ C= n,所以 sin C 2sin A= 0.即错误! = 2.解法二 由 m±n 得，b(cos A 2cos C> + (a 2c>cos B=0.根据余弦定理，得bX错误！ + aX错误！ -2bX错误！ -2cX错误！ = 0.即c 2a= 0.所以错误！=错误！ = 2.(2> 因为 a = 2,由(1>知，c= 2a= 4.因为|m| = 3错误！，即