材料力学__压杆稳定概念_欧拉公式计算临界力

1、会计学1材料力学材料力学_压杆稳定概念压杆稳定概念_欧拉公式计算欧拉公式计算临界力临界力第二十六讲第二十六讲的内容、要求、重难点的内容、要求、重难点教学要求：教学要求：1 1、了解压杆稳定性的概念，临界力，三种平衡；、了解压杆稳定性的概念，临界力，三种平衡；3 3、掌握欧拉公式的应用。、掌握欧拉公式的应用。重点：重点：临界力的概念、及其计算临界力的概念、及其计算难点：难点：欧拉公式的推导。欧拉公式的推导。学时安排：学时安排：2 2学时学时 Mechanic of Materials2 2、理解两端铰支轴心受压压杆临界力的欧拉公式推导、欧拉、理解两端铰支轴心受压压杆临界力的欧拉公式推导、欧拉公式

2、的适用范围；公式的适用范围；第九章第九章 压杆的稳定压杆的稳定目录Mechanic of Materials9.2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力第二十六讲第二十六讲的目录的目录9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式 NFA轴向拉压杆的承载力轴向拉压杆的承载力，强度条件：强度条件：材料失效表现为屈服或断裂材料失效表现为屈服或断裂该公式的适用条件是什么？该公式的适用条件是什么？一、温故一、温故压杆稳定引言压杆稳定引言二、知新二、知新是否适用于所有的轴

3、向拉伸和压缩杆？是否适用于所有的轴向拉伸和压缩杆？压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验目录 一根长一根长2m的柳条木，直径的柳条木，直径d=20mm, =10MPa, 承压时其承压时其Fmax=?解：若按强度计算解：若按强度计算maxA F270.0201043141N（实测（实测P Pmaxmax= = 160N，与计算值相差近，与计算值相差近20倍）倍）压杆稳定引言压杆稳定引言 造成计算结果与实测值不符的原因是造成计算结果与实测值不符的原因是较长的压杆存在稳定问题较长的压杆存在稳定问题，因而强度计算方法对这类杆件的设计不适用。，因而强度计算方法对这类杆件的设计不适用。Mechanic of M

4、aterials压杆稳定引言压杆稳定引言三、工程实例三、工程实例Mechanic of Materials 液压机构中的顶液压机构中的顶杆，如果承受的压杆，如果承受的压力过大，或者过于力过大，或者过于细长，就有可能突细长，就有可能突然由直变弯，发生然由直变弯，发生稳定性失效。稳定性失效。 Mechanic of Materials单击图片播放单击图片播放稳定性问题稳定性问题压杆稳定引言压杆稳定引言 加拿大魁北克大桥加拿大魁北克大桥。1907年年8月月29日下午日下午5点点32分，即将分，即将建成的大桥突然倒塌，当场造成建成的大桥突然倒塌，当场造成了至少了至少75人死亡，多人受伤。人死亡，多人受

5、伤。 1913年，这座大桥的建设重年，这座大桥的建设重新开始，然而不幸的是悲剧于新开始，然而不幸的是悲剧于1916年年9月再次发生。月再次发生。 1907年的第一次坍塌灾难极为深重，是年的第一次坍塌灾难极为深重，是一起强调强度设计而未知压杆屈曲失稳造一起强调强度设计而未知压杆屈曲失稳造成的桥梁倒塌成的桥梁倒塌工程师之戒工程师之戒(Iron Ring)1917年，在经历了两次惨痛的悲剧后，年，在经历了两次惨痛的悲剧后，魁北克大桥终于竣工通车。魁北克大桥终于竣工通车。 压杆稳定引言压杆稳定引言四、压杆失稳实例四、压杆失稳实例著名工程师著名工程师里奥多里奥多库珀设计库珀设计Mechanic of M

6、aterials 该桥梁倒塌事故的原因是对结构构件的受压失稳机理没有认识该桥梁倒塌事故的原因是对结构构件的受压失稳机理没有认识从此桥梁等结构设计中迅速开展了压杆稳定的试验研究工作从此桥梁等结构设计中迅速开展了压杆稳定的试验研究工作压杆稳定引言压杆稳定引言 使结构设计从只强调强度设计使结构设计从只强调强度设计,变为变为必须考虑强度、必须考虑强度、刚度与稳定性并重的更完善的体系。刚度与稳定性并重的更完善的体系。Mechanic of Materials五、压杆稳定的奠基人五、压杆稳定的奠基人压杆稳定引言压杆稳定引言 欧拉欧拉(Euler，17071783)，数学，数学家及自然科学家。家及自然科学家

7、。 于于1757年对梁的弹年对梁的弹性曲线作了深刻地分析和研究性曲线作了深刻地分析和研究, 这方面这方面的成果见的成果见曲线的变分法曲线的变分法。 近代压杆稳定计算奠基之一：雅辛斯基（近代压杆稳定计算奠基之一：雅辛斯基（1856-1899），俄国），俄国工程师和科学家。工程师和科学家。十八世纪十八世纪十九世纪后期十九世纪后期 一生共写下了一生共写下了886本书籍和论文。在失明后的本书籍和论文。在失明后的17年间，他还年间，他还口述了几本书和口述了几本书和400篇左右的论文。篇左右的论文。Mechanic of Materials提出中、小柔度压杆临界应力计算的直线公式。提出中、小柔度压杆临界应

8、力计算的直线公式。9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念一、一、压杆的两类力学模型压杆的两类力学模型1 1、轴心受、轴心受压杆压杆F（1）杆由均貭材料制成；）杆由均貭材料制成；（2）轴线为直线；）轴线为直线；（3）外力的作用线与）外力的作用线与压杆轴线重合。压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初（不存在压杆弯曲的初始因素）始因素）Mechanic of Materials2 2、小偏心、小偏心压杆与初压杆与初弯曲压杆弯曲压杆FF材料力学材料力学研究对象研究对象稳定平衡稳定平衡二、二、压杆的压杆的三种平衡状态三种平衡状态干扰力去除后，压杆经数次摆动，恢复原有直线平衡状态干扰力去除后，压杆经数次

9、摆动，恢复原有直线平衡状态9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念Mechanic of Materials压压杆杆与与小小球球的的平平衡衡类类比比FFcr1、 稳定平衡稳定平衡干扰力去除，保持微弯干扰力去除，保持微弯干扰力去除，继续干扰力去除，继续变形，直至折断变形，直至折断3、不稳定平衡、不稳定平衡2、随遇平衡、随遇平衡压杆的压杆的三种平衡状态比较三种平衡状态比较干扰力去除，恢复直线干扰力去除，恢复直线9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念Mechanic of MaterialsFFcr9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念三、压杆的稳定性三、压杆的稳定性：四、压杆失稳四

10、、压杆失稳 外力超过某值外力超过某值,压杆突然变压杆突然变弯弯,不再保持原有的直线状态平不再保持原有的直线状态平衡衡,过渡为曲线形状的平衡过渡为曲线形状的平衡,甚甚至折断。至折断。 压杆保持原有直线形式平压杆保持原有直线形式平衡状态的能力。衡状态的能力。FFcrMechanic of Materials五、失稳的实质五、失稳的实质F FF FF FM = F yyF FN N= F= F压弯组合变形压弯组合变形 9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念（1）压杆保持直线稳定平衡状态所能承受的最大载荷压杆保持直线稳定平衡状态所能承受的最大载荷注：试验法测注：试验法测F Fcrcr, ,上述两

11、个定义将是一致的。上述两个定义将是一致的。2、临界应力、临界应力cr：1、临界力、临界力Fcr：六、临界力、临界应力六、临界力、临界应力（2）或定义为使压杆失稳的最小载荷或定义为使压杆失稳的最小载荷 如用理论推导的方法，则前一定义无法建立数学方程如用理论推导的方法，则前一定义无法建立数学方程判断压杆是否判断压杆是否失稳的指标失稳的指标常研究常研究微弯状态的平衡微弯状态的平衡，即，即失稳所需最小载荷作为失稳所需最小载荷作为F Fcrcrcr临界应力临界应力(critical stress）cr=Fcr/AMechanic of MaterialscrFFcrRFBlxyxyAB一、推导（两端铰支

12、）一、推导（两端铰支）crFyyEI 2oyk y9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力sincosyAkxBkxcrEIyFy 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程:( )zEI yM x( )crM xFy 梁的弯矩方程梁的弯矩方程:通解通解2个积分常数个积分常数Mechanic of Materials令：2crFkEIyxcrFNcrFFBQ( )M xkln0B,0 xly时00 xy时，0sin0cos0AB0sincosAklBklsin0kl A0222crnEIFlsinnyAxlA0B=022crEIFl9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临

13、界力两端铰支细长压杆的临界力Mechanic of Materialsn-半波半波正弦个数正弦个数22/lTnln222crnEIFlsinnyAxlcrFFABABcrFFll/2l/22TcrFF/ 2lnTn=1, T=2l 一个半波正弦n=2, T=l 二个半波正弦n=3, T=2l/3三个半波正弦ABl/3l/3l/32cr2 EIF=l22cr22 EIF=l22cr23 EIF=l谁最不容谁最不容易失稳？易失稳？二、讨论二、讨论1：312zbhI 注意：压杆总是绕惯性矩较小的轴先失稳。对于矩形注意：压杆总是绕惯性矩较小的轴先失稳。对于矩形截面来说，绕垂直于短边的轴先失稳。截面来说

14、，绕垂直于短边的轴先失稳。 22:crEIFl中的惯性矩),min(zyIII 9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力Mechanic of Materials312yhbI221zyIhIbx xy yz zy yz zbh讨论讨论2：2cr2 EIF=l9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力三、思考：三、思考： z人怎么失稳？人怎么失稳？前后弯！前后弯！Mechanic of Materials不同约束压杆的欧拉公式不同约束压杆的欧拉公式2cr2 EIF =l一、其它杆端约束的欧拉公式一、其它杆端约束的欧拉公式9.3 其他支座条件下细长压

15、杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力I压杆在失稳方向横截面的惯性矩压杆在失稳方向横截面的惯性矩静力法或与两端铰支压杆类比，得静力法或与两端铰支压杆类比，得细长杆的通用形式：细长杆的通用形式： l相当长度相当长度不同压杆屈曲后，挠曲不同压杆屈曲后，挠曲线上正弦半波的长度。线上正弦半波的长度。 长度系数长度系数相当长度与杆长的比值相当长度与杆长的比值。反映不同支承影响的系数反映不同支承影响的系数Mechanic of Materials一端自由，一端自由，一端固定一端固定 2.0两端固定两端固定 0.5一端铰支一端铰支，一端固定一端固定 0.7两端铰支两端铰支 1.0二、不同刚性支承对压杆临界

16、载荷的影响二、不同刚性支承对压杆临界载荷的影响Mechanic of Materials9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力三、临界应力三、临界应力cr与柔度与柔度： il令22()crEIFlcrcrFAMechanic of Materials22crE22()EIlA222()()E iAlA222()Eil22()Eli9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力il令Mechanic of Materials22crE探讨1：9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力Dy yDy ydzbhy yzz4

17、DAIi412Di12yyi轴的边长Dy yDy ydzbhy yzzDy yDy ydzbhy yzzMechanic of Materials9.3 其他支座条件下细长压杆的临界力其他支座条件下细长压杆的临界力探讨2：假如三个截面面积相同，比较惯性半径大小假如三个截面面积相同，比较惯性半径大小 22221-=441-DADDD环环（）2244ADbhkbbDkK=1时，时， i方方 i圆；圆；k/3=1.05时，矩形的惯性半径比圆小时，矩形的惯性半径比圆小惯性惯性半径半径 2221+1+4441-DDiDi环环圆3412bDik矩圆环大于圆的惯性半径圆环大于圆的惯性半径i圆环圆环 i方方

18、i圆圆 i矩，矩，即面积、材料、约束、杆长相同，矩形杆最先失稳即面积、材料、约束、杆长相同，矩形杆最先失稳hkbIiAyyIiA44221/ 641/ 4DD214D3/12hbbh12b一、欧拉公式的一、欧拉公式的两种表达：两种表达：22crEMechanic of Materials9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式2:PPPE,其中:SPSSab,其中S细长压杆（大柔度杆）：细长压杆（大柔度杆）：中长杆（中柔度杆）：中长杆（中柔度杆）：粗短杆（小柔度杆）：粗短杆（小柔度杆）：二、压杆分类：二、压杆分类：Mechanic of Materials9.4 欧拉公式

19、的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式1、判别柔度、判别柔度:经过大量实验后提出的、经过大量实验后提出的、 只与只与材料有关、判断压杆的种类指标材料有关、判断压杆的种类指标P、 S 。2、压杆分类：、压杆分类：296206 10235:100200 10PQ材料材料碳钢（碳钢（Q235）b372 s=235a (MPa)b (MPa)PS3043041.121.1210010061.661.6优质钢优质钢b=470 s=3064604602.572.571001006060硅钢硅钢b=510 s=3535775773.743.741001006060铸铁铸铁3323321.451.45

20、8080松木松木39390.20.2595930423561.61.12s1、理想压杆、理想压杆轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀2、线弹性小变形、线弹性小变形三、欧拉公式的三、欧拉公式的适用条件适用条件（其中（其中； p为材料的比例极限为材料的比例极限) Mechanic of Materials9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式22crE22PPE2222PEE()P大柔度杆基本概念基本概念失稳实例失稳实例三种平衡：稳定、不稳定、临界三种平衡：稳定、不稳定、临界临界力、临界应力临界力、临界应力两端铰支：两端铰支：22crEI

21、Fl 压杆稳定性利用工程实例压杆稳定性利用工程实例压杆稳定的奠基人压杆稳定的奠基人Mechanic of Materials总结：总结：欧欧拉拉公公式式其其它它约约束束2cr2 EI:F=( l)（长度系数：1、0.5、0.7、2）li圆、圆环、矩形： 欧拉公式的适范围：压杆稳定压杆稳定 临界应力临界应力柔柔度：22crE惯性半径：),min(zyIII 经验公式：P. 312 9- 4 、 10 NFA轴向拉压杆的承载力轴向拉压杆的承载力，强度条件：强度条件：材料失效表现为屈服或断裂材料失效表现为屈服或断裂该公式的适用条件是什么？该公式的适用条件是什么？一、温故一、温故压杆稳定引言压杆稳定引言二、知新二、知新是否适用于所有的轴向拉伸和压缩杆？是否适用于所有