江苏省徐州市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(含解析)

1、江苏省徐州市 20202021学年高一下学期期末考试数学试题202106注意事项及说明：本卷考试时间为120 分钟，全卷满分为150 分一、单项选择题 （本大题共8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知 i 为虚数单位，则12i2i+-a45i33+b5i3ci d i2在直角三角形abc 中， c90 ，则向量 ab 在向量ac上的投影向量为aacb abccadcb3 从一批羽毛球中任取1 个羽毛球，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3， 其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在4.8，

2、4.85)(单位： g)范围内的概率是a0.62 b0.68 c0.7 d0.384近日， 2021 中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100 个地级及以上候选城市名单中， 徐州市入选“幸福感指数” 是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标， 常用区间 0，10内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高现随机抽取20 位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80 百分位数是3345566677778888991010a7.7 b8 c8.5 d95在 abc 中， ac 1，ab7，bc3，则 abc 的面积为a3 38b3 34c3 32d3 36 将

3、某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为2 2，则该几何体的体积为a423b2 23c23d37已知7 2cos()410+=，则 sin2 a2425-b1225-c1225d24258在三棱锥abcd 中，平面 abd 平面 bcd，bd cd，且 ab bdda 3，cd3，则三棱锥abcd 的外接球的表面积为a154b15c32d6二、多项选择题 （本大题共4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200 名学生，

4、他们的身高都处在a，b，c，d，e 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中a女生人数多于男生人数bd 层次男生人数多于女生人数cb 层次男生人数为24 人da 层次人数最少10设向量a，b满足1ab=，且313ba+=，则aabb1ab-=c3ab+=da与b的夹角为6011已知复数z 满足 (3 4i)z 34i-（其中 i 为虚数单位） ，则az 的虚部为45-ib复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限c1z z =d当0，2)时， 5cosisinz -的最大值为612在棱长为1 的正方体abcd a1b1c1d1，中， e，f 分别为 bc，cc1的中点，则add1afb直线

5、 af 与平面 abcd 所成的角的正弦值为13c平面 aef 截该正方体所得的截面面积为98d点 c 到平面 aef 的距离为13三、填空题 （本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13某工厂有a，b，c 三个车间， a 车间有 1000 人，b 车间有 400 人若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44 的样本，其中 b车间 8 人， 则样本中 c 车间的人数为14甲 、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是12，13，14，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为 （本题第一空2 分，第二空3 分）15如图，等边三角形sa

6、b 为该圆锥的轴截面，点c 为母线 sb 的中点， d 为ab的中点，则异面直线sa 与 cd 所成角为16赵爽是我国古代数学家，大约在公元222 年，他为周髀算经 一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”， 亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3 个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设ad abac+，若ad4af=，则-的值为四、解答题 （本大题共6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分10 分）已知

7、a，b为平面向量，且a(2， 1)（1）若ab，且25b =，求向量b的坐标；（2）若b(3，2)，且kab-与2ab+垂直，求实数k 的值18 （本小题满分12 分）已知1tan3=，5cos5=且02，322（1）求tan2的值；（2）求+的值19 （本小题满分12 分）如图，在正方体abcd a1b1c1d1中， e，f，g 分别为 ab ，bc， bb1的中点（1）求证：平面efg平面 bb1d1d；（2）将该正方体截去八个与四面体befg 相同的四面体得到一个多面体(如图 )，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长20 （本小题满分12 分）2021 年开始，江苏省推行全新的高

8、考制度，采用“312”模式，其中语文?数学 ?外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理?历史任选一门参加考试，满分100 分，原始分计入总分，在思想政治 ?地理 ?化学 ?生物学 4 门科目中自选2 门参加考试 (4 选 2)，每科满分100 分，进行等级赋分计入总分为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100 名学生的思想政治?地理 ?化学 ?生物学四科成绩总分，以组距40 分成 8 组： 80，120)，120， 160)，160，200)，200，240)，240，280)，280，320)

9、，320，360)，360，400，画出频率分布直方图如图所示（1）求 a 的值；（2）试估计这100 名学生的思想政治?地理 ?化学 ?生物学四科成绩总分的中位数；（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治， 地理 ?化学 ?生物学四科成绩总分在240，280)和360，400的两组中，用分层抽样的方法抽取6 名学生，再从这6 名学生中随机抽取2 名学生进行问卷调查，求抽取的这2 名学生来自不同组的概率21 （本小题满分12 分）3 sinccosaac=； bc2 sinb( 62) sin2ab+=-； 2a622cos128)4(-+=+ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答

10、补充完整的题在锐角三角形abc 中，内角a，b，c 所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角 a；（2）已知3a =，求22bc+的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分22 （本小题满分12 分）如图，在四棱锥pabcd 中，底面 abcd 是矩形， papd，pa pd，m ，n 分别为棱 ab，pd 的中点，二面角pad b 的大小为60 ，ab 3，bc4（1）求证：直线mn平面 pbc；（2）求二面角apbc 的余弦值江苏省徐州市 20202021学年高一下学期期末考试数学试题202106注意事项及说明：本卷考试时间为120 分钟，全卷满分为150 分一、单项选择题

11、（本大题共8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知 i 为虚数单位，则12i2i+-a45i33+b5i3ci d i【答案】 c【解析】12i(12i)(2i)i2i(2i)(2i)+=-+2在直角三角形abc 中， c90 ，则向量 ab 在向量ac上的投影向量为aacb abccadcb【答案】 a【解析】根据投影向量的概念，易判断a 选项正确3 从一批羽毛球中任取1 个羽毛球，如果其质量小于4.8g 的概率是0.3， 其质量不小于4.85g的概率是0.32，那么其质量在4.8，4.85)(单位：

12、g)范围内的概率是a0.62 b0.68 c0.7 d0.38【答案】 d【解析】根据互斥事件概率计算公式，可知所求概率10.30.320.38，选 d4近日， 2021 中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100 个地级及以上候选城市名单中， 徐州市入选“幸福感指数” 是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标， 常用区间 0，10内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高现随机抽取20 位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80 百分位数是3345566677778888991010a7.7 b8 c8.5 d9【答案】 c【解析】首先可以看到表格中2

13、0 个数据已经按从小到到顺序排列了，2080%16，故是从小到大开始，第16 个数与第17 个数的平均数，为所求的80 百分位数，即为8.5，故选c5在 abc 中， ac 1，ab7，bc3，则 abc 的面积为a3 38b3 34c3 32d3 3【答案】 b【解析】 s22222 22114()491(913 347)44a babc-+-=-+-=，故选 b6 将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为2 2，则该几何体的体积为a423b2 23c23d3【答案】 c【解析】 该几何体由两个全等的圆锥组合而成，故一个圆锥的侧面积为2，设该圆锥底面半径为 r

14、，则母线为2r，故2 22r r =，解得 r1，易得该圆锥的高h1，所以一个圆锥体积211331=，从而旋转体的体积为23，选 c7已知7 2cos()410+=，则 sin2 a2425-b1225-c1225d2425【答案】 a【解析】224cos(2)cos2()2cos ()124425+=+=+-=，sin2 cos(2)2+2425-8在三棱锥abcd 中，平面 abd 平面 bcd，bd cd，且 ab bdda 3，cd3，则三棱锥abcd 的外接球的表面积为a154b15c32d6【答案】 b【解析】已知cd平面 abd ，根据 “ 汉堡 ” 模型，可得球心可以取等边三角

15、形abd 的重心 g，过 g 作 gh平面 abd ，且 gh12cd32，则 h 即为球心， ga 即为外接球半径，在 rtagh 中， ag 3，gh32，故 ha 152，故外接球的表面积为15二、多项选择题 （本大题共4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200 名学生，他们的身高都处在a，b，c，d，e 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中a女生人数多于男生人数bd 层次男生人数多于女生人数cb 层次男生人数为24 人da 层次

16、人数最少【答案】 ac【解析】女生人数184830 186 120 人，则男生20012080 人，故 a 正确；d 层次男生人数800.2 16，d 层次女生人数18，故 b 错误；80 (125%20%10%15%)24 人，故 c 正确；a 层次 26 人， e 层次 18 人，显然 d 错误综上选ac10设向量a，b满足1ab=，且313ba+=，则aabb1ab-=c3ab+=da与b的夹角为60【答案】 bd【解析】因为313ba+=，所以229613baa b+=，12a b=，故 a 错误， d 正确；2221abaa bb-=-+=，b 正确；2223abaa bb+=+=，

17、故 c 错误综上，选bd11已知复数z 满足 (3 4i)z 34i-（其中 i 为虚数单位） ，则az 的虚部为45-ib复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限c1z z =d当0，2)时， 5cosisinz -的最大值为6【答案】 bcd【解析】 (34i)z 34i-，即 (3 4i)z5，所以55(34i)34i34i(34i)(34i)55z-=-+-，故 z 的虚部为45-，a 错误；34i55z=+，在复平面内对应的点坐标是(35，45)，b 正确；()3434i()1i5555z z =+=-，c 正确；5cosisinz -表示复平面内点(3，4)与点 (cos，sin)

18、之间的距离， 也就是以o 为圆心 1 为半径的圆上一点与点(3， 4)之间的距离，最大值确实为6，故 d 正确综上选 bcd12在棱长为1 的正方体abcd a1b1c1d1，中， e，f 分别为 bc，cc1的中点，则add1afb直线 af 与平面 abcd 所成的角的正弦值为13c平面 aef 截该正方体所得的截面面积为98d点 c 到平面 aef 的距离为13【答案】 bcd【解析】取dd1中点 g，则 ag 是 af 在平面 aa1d1d 的投影，显然投影ag 与 dd1不垂直，故 a 错误；易知 fac 是直线 af 与平面 abcd 所成的角， sinfaccf1af3=，故 b

19、 正确；平面 aef 截该正方体所得的截面是等腰梯形efd1a，其中 ef22，ad12，aed1f52，可得点e 到 ad1的距离为32 2，所以 s123(2)222 2+98，故 c 正确；saef123222 238，点 c 到平面 aef 的距离11142338aceaefscfs=，故 d 正确综上选 bcd三、填空题 （本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分请把答案填写在答题卡相应位置上）13某工厂有a，b，c 三个车间， a 车间有 1000 人，b 车间有 400 人若用分层抽样的方法得到一个样本容量为44 的样本，其中 b车间 8 人， 则样本中 c 车间的人数为【答

20、案】 16【解析】8441000816400-=14甲 、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是12，13，14，则三人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率为 （本题第一空2 分，第二空3 分）【答案】124，14【解析】三人都成功破译的概率121314124，密码被两人成功破译的概率1213341223141213141415如图，等边三角形sab 为该圆锥的轴截面，点c 为母线 sb 的中点， d 为ab的中点，则异面直线sa 与 cd 所成角为【答案】4【解析】取ab 中点 o，oc sa，则 ocd 就是异面直线sa 与 cd 所成角，令圆锥底面半径为 r，则

21、ocod r，求得 cd2r，故 ocd 45，所以异面直线sa 与 cd 所成角为416赵爽是我国古代数学家，大约在公元222 年，他为周髀算经 一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”， 亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3 个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设ad abac+，若 ad4af=，则-的值为【答案】47【解析】131 3131 3113adaeab(acaf)ab(acad)ab444 4444 4444=+=+=+，即313adacadab16

22、644=+，所以164adabac2121=+，故164421217-=-=四、解答题 （本大题共6 小题，共计70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分10 分）已知a，b为平面向量，且a(2， 1)（1）若ab，且25b =，求向量b的坐标；（2）若b(3，2)，且kab-与2ab+垂直，求实数k 的值【解析】（1）由/ /ba可设()2 ,b = -所以22( 2 )2 5,b =-+=解得2=，所以向量b的坐标为()4,2-或()4, 2-.（2）因为()()2,1 ,3,2ab= -=，所以()()23,2 ,24,5kabkkab-

23、= -+=，因为kab-与2ab+垂直，所以() ()20kabab-+=即()()423520kk-+-=，解得223k = -.18 （本小题满分12 分）已知1tan3=，5cos5=且02，322（1）求tan2的值；（2）求+的值【解析】（1）因为1tan3=，所以22122tan33tan21 tan4113=-.（2）因为5 3cos,252=，所以2252 5sin1cos155= -= -= -，所以2 5sin5tan2cos55-= -，所以()()12tantan3tan111tan tan123-+= -，因为30,222，所以3522+，所以74+=.19 （本小题

24、满分12 分）如图，在正方体abcd a1b1c1d1中， e，f，g 分别为 ab ，bc， bb1的中点（1）求证：平面efg平面 bb1d1d；（2）将该正方体截去八个与四面体befg 相同的四面体得到一个多面体(如图 )，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长【解析】（1）在正方体1111abcda b c d-中，1bb 平面abcd，又因为ef平面abcd，所以1,bbef连接ac，在abc中，,e f分别为,ab bc的中点，所以/ /efac，又因为在正方形abcd中，acbd，所以,efbd又因为1,bbbdb bd=平面111,bb d d bb平面11bb d d，

25、所以ef 平面11,bb d d又因为ef平面efg，所以平面efg 平面11.bb d d（2）设正方体的棱长为a，由（ 1）知，四面体befg-的体积为311133248befasbgbe bf bg=所以所得多而体的体积为331608483aa -=，解得4a =，即该正方体的棱长为4.20 （本小题满分12 分）2021 年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“312”模式，其中语文?数学 ?外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理?历史任选一门参加考试，满分100 分，原始分计入总分，在思想政治 ?地理 ?化学

26、 ?生物学 4 门科目中自选2 门参加考试 (4 选 2)，每科满分100 分，进行等级赋分计入总分为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行检测，下面是100 名学生的思想政治?地理 ?化学 ?生物学四科成绩总分，以组距40 分成 8 组： 80，120)，120， 160)，160，200)，200，240)，240，280)，280，320)，320，360)，360，400，画出频率分布直方图如图所示（1）求 a 的值；（2）试估计这100 名学生的思想政治?地理 ?化学 ?生物学四科成绩总分的中位数；（3）为了进一步了解选科情况，在思想政治， 地理 ?化学 ?生物学四科成绩总

27、分在240，280)和360，400的两组中，用分层抽样的方法抽取6 名学生，再从这6 名学生中随机抽取2 名学生进行问卷调查，求抽取的这2 名学生来自不同组的概率【解析】（1）由()0.00050.0015 0.003250.00425 0.004520.001401,a+=解得0.005.a =（2）因为()0.00050.00150.00325 0.00425400.380.5+=，()0.00050.0015 0.003250.004250.005400.580.5,+=所以中位数在 240，280)，设中位数为x，所以()2400.0050.12x -=，解得264,x =所以思想政

28、治 ?地理 ?化学 ?生物四科成贯总分的中位数为264.（3）思想政治 ?地理 ?化学 ?生物四科成贯总分在240， 280)和360，400的两组中的人数分别为：0.00540 10020=人，0.001401004=人，由分层抽样可知，从成绩在 240，280 的组中应抽取2065204=+人，记为, , , ,a b c d e，从成贯在 360，400的组中应抽取1 人，记为f，以(),a b表示 “ 抽取的两人为a和b(余类推 )，则样本空间为() () () () () () () () () () () (),a ba ca da ea fb cb db eb fc dc ec

29、f=() () (),d ed fe f记“ 抽取的这2 名学生来自不同组为事件a，则() () () () (),aa fb fc fd fe f=，所以( )51153p a =，答；抽取的这2 名学生来自不同组的概率为13.21 （本小题满分12 分）3 sinccosaac=； bc2 sinb( 62) sin2ab+=-； 2a622cos128)4(-+=+ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题在锐角三角形abc 中，内角a，b，c 所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角 a；（2）已知3a =，求22bc+的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一

30、个解答计分【解析】（1）若选择：3 sincosacca=由正弦定理得3sin sinsin cos ,acca=因为c为锐角，所以sin0c，所以3sincosaa=因为a为锐角，所以cos0a，所以3tan,3a=所以6a =.若选择：()2 sin62sin2bcabb+=-由正弦定理知()2sin sin62 sin sin2bcabb+=-，因为sin0b，所以()()2sin62 sin62 cos22bcaa+=-=-，即()4sincos62 cos222aaa=-，因为a为锐角，所以cos02a，则26262sin,cos1sin,24224aaa-+=-=所以62621sin2sincos2,22442aaa-+=因为a为锐角，所以6a=.若选择：2622cos1284a-+= +即62cos44a-+=又()2coscos cossin sincossin4442aaaaa+=-=-所以31cossin2aa-=，因为22sincos1,aaa+=为锐角，所以1sin,2a =因为a为锐角，所以6a=.（2）由（ 1）知6a =，又3