广东省惠州市2019届高三4月模拟考试数学理试题教师版

1、惠州市 2019届高三模拟考试理科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 .1已知集合2|60ax xx，集合|13bxx，则abi( ) a(2,3)b( 1,2)c( 3,3)d( 1,3)答案

2、 ： a 考点 ：集合的运算，一元二次不等式。解析 ： a x x 3 或 x2 ，所以，abix2x3（ 2， 3） ，选 a。2若复数21aii（其中i为虚数单位，ar）为纯虚数，则a=( ) a2ib0 c2d2 答案 ： d 考点 ：复数的运算，复数的概念。解析 ：2(2)(1)2(2)221(1)(1)222aiaiiaaiaaiiii由题意得202202aa解得2a,故选 d.3设,a br，则“2()0ab a”是“ab”的 ( )条件a充分不必要b必要不充分c充要d既不充分也不必要答案 ： a 考点 ：充分必要条件解析 ：因为2a 0，所以，若2()0ab a，则有0ab，即a

3、b，当ab时，如果a0，则2()0ab a不成立，所以是充分必要条件，选a。4已知向量)3 ,2(a，向量)2, 1(b，若ba与abrr垂直，则= () a1b1c19d12答案 ： c 考点 ：平面向量的数量积，坐标运算。解析 ：因为ba与abrr垂直，所以，0ababrrrr，即：22(1)0aabbrr rr，向量)3 ,2(a，向量)2, 1(b，所以，22|aarr 13，22|bbrr5，abrr4，所以，134(1)50，解得：=195若,53)4cos(则2sin( ) a257b51c51d257答案 ： d 考点 ：三角恒等变换。解析 ：解法一：,53)4cos(所以，2

4、23cossin225，两边平方，得：22119cossinsincos2225，即：91sincos252，即187sin212525解法二：.2571)4(cos2)22cos(2sin2故选 d 63(21)(2)xx的展开式中2x的系数为 ( ) a6 b 18 c24 d30 答案 ： b 考点 ：二项式定理。解析 ：3(21)(2)xx332 (2)(2)x xx，所以，展开式中含x2的项为 2x x (-2)2+ 1 x2 (2)=(24-6)x218x2,故系数为18. 故选 b 7,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面,平行的是( ) anm,是平面内两条直线，且/,

5、/nmbnm,是两条异面直线，nm,，且/,/nmc内不共线的三点到的距离相等d,都垂直于平面答案 ： b 考点 ：直线平面之间的位置关系的判定。解析 ：对选项a，需两直线相交。对于选项c，若三点中有两点构成的直线与平行，另一点在面的另一侧，则不能判断两面平行。对于选项d，反例为空间直角坐标系的坐标平面。8已知直线4310 xy被圆22:(3)()13(3)cxymm所截得的弦长为4，且p为圆c上任意一点，点a为定点(2,0)，则pa的最大值为 ( ) ab5c2d答案 ： d 考点 ：直线与圆的位置关系。解析 ：设圆 c 的半径为r,圆心为 c(-3,m),根据弦心距、半径、半弦长的关系得2

6、2|311|()(23)135m,解得2m或163m(舍去 ),当2m时 ,的最大值为|2913acr,故选 d.9已知直三棱柱111abca b c的 6 个顶点都在球o的球面上， 若3ab，4ac，abac，112aa，则球o的半径为 ( ) a2173b2 10c213d3 10答案 ： c 考点 ：三棱柱与球的结构特征。解析 ：由acabacab,4,3得5bc，则知abc所在的球的截面圆的圆心在bc 的中点 m 上，同理111cba所在的球的截面圆的圆心在11cb的中点 n 上，则球心 o 为 mn 的中点，故球的半径为213)212()25(22r10直线3yx与椭圆c：22221

7、0 xyabab交于a、 b两点，以线段ab为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆c的离心率为 ( ) a32b31c312d42 3答案 ： b 考点 ：椭圆的性质，直线与圆锥曲线问题。解析 ：联立直线3yx与椭圆22221xyab方程得222113xab，则222313yab；以ab为直径的圆为22222243a bxyba，由于其通过椭圆焦点，则2222243a bcba；把222bac代入上式得2224(1)4eee，考虑到01e，解得31e故答案为b。11已知函数)0(21sin212sin)(2xxxf，若)(xf在区间)2,(内 没有零点， 则的取值范围是 ( ) a81,0(b

8、15(0,1)48c85,0(d11 5(0,84 8答案 ： d 考点 ：三角恒等变换，三角函数的图象及其性质。解析 ： 【解析 1】1cossin12( )sin(),( )0sin()0222244xxf xxf xx由, 1 15 59 91 154( ,2),()( ,)( ,)(,)( ,)(,)8 48 48 48 48kxkz11 5084 8，,故选 d 【解析 2】1cossin12( )sin()0)22224xxf xx（当x( ,2)时x(,2)(0)444则问题转化为函数sin(,2)(01)44ytt在上无零点，则0115440,84820244或解得或，故选 d

9、 【解析 3】1cossin12( )sin()0)22224xxf xx（当x( ,2)时x(,2)(0)444则问题转化为函数sin(,2)(01)44ytt在上无零点，则22sin()0sin()0242422sin(2)0sin(2)02424153122444415318888kkzzkk或2k+2k-解得(k) 或(k)k+k-11500,848又或12已知函数( )lnfxx,( )(23)g xmxn，若(0,)x总有( )( )f xg x恒成立，记(23)mn的最小值为(, )f m n，则(, )f m n的最大值为 ( ) a1b1ec21ed31e答案 ： c 考点

10、：函数的导数及其应用。解析：若对任意的(0,)x,总有( )( )f xg x恒成立 , 即为lnx(23) x0,mn在(0,)x恒成立 , 设h(x)lnx(23)x,mn,则( )h x的最大值不大于0,由1( )(23)h xmx, 若230,( )0, ( )mh xh x在(0,)递增 , ( )h x无最大值 ; 若230m,则当123xm时, ( )0, ( )h xh x在1(,)23m递减 ; 当1023xm时( )0, ( )h xh x在1(0,)23m递增可得123xm处( )h x取得最大值 ,且为nm1)32ln(则01)32ln(nm,可得1)32ln( mn所

11、以(2+3)(2+3)ln(23) 1mnmm可得,(2+3)ln(23) 1f m nmm, 令23(0)tmt可令k( )t(lnt1)x,k ( )lnt1 1ln2xt, 当21te时,(t)0,(t)kk在21(,)e递减 ;当210te时 ,(t)0,(t)kk在21(0,)e递增 . 可得21te处k(t)取得最大值，且最大值为222111(ln1)eee，则(, )f m n最大值为21e. 二填空题：本题共4小题，每小题5分，共 20分. 13若实数,x y满足约束条件2022010 xyxyy，则xyz的最大值为答案 ： 2 考点 ：线性规划。解析 ：由约束条件作出可行域如

12、图所示,目标函数00 xyxyz可看作点),(yx与(0,0) 连线的斜率 ,结合图形可知 ,当两点连线与直线02yx重合时 ,斜率最大 ,故 z的最大值为2.14一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6 个，已知从袋中随机摸出1 个球，摸到黑球的概率是23现从袋中随机摸出2 个球，至少摸到1 个白球的概率是答案 ：35考点 ：古典概型，排列组合。解析 ： 由题意可知， 黑球和白球分别有4 个、 2 个， 从袋中任意摸出2 个球 ,所有的取法共有=15(种)，而取出的 2 个球均为白球的取法有= 1(种)，取出的2 个球只有1 个白球的取法有= 8(种)，tt所以至少摸到1 个白球的概率5315

13、81p.15设偶函数)(xf满足( )24(0)xf xx，则满足(2)0f a的实数a的取值范围为答案 ：,04,u考点 ：函数的奇偶性，增减性。解析 ：偶函数)(xf满足( )24(0)xf xx,函数)(xf在), 0上为增函数 ,0)2(f,不等式0)2(af等价为)2(|)2(|faf, 即2|2|a,即22a或22a,解得4a或0a. 16已知abc中，060a，m为bc中点，3am，则2abac的取值范围为答案 ：(23, 4 3)考点 ：三角函数，极限思想。解析：【解析 1】如图所示 .采用极限思想：当c 无限靠近 a 点时， bc 就无限趋近于ab，ab 的长度就近似等于2a

14、m ，此时 2ab+ac 的长度就无限趋近于4 3；当 b 无限靠近a 时， bc 就无限趋近于ac，ac 的长度就近似等于2am ，此时 2ab+ac 就无限趋近于2 3，所以 ac+2ab(23, 4 3)【解析 2】 以 ab， ac 为相邻的两边作平行四边形abdc， 在acd中，32,120adacd，设),3,0(cad由正弦定理可知),6sin(34)cos23sin23(4)3sin(sin2(32sin22adaccdacab由),3,0(得),2,6(6所以),1 ,21()6sin(所以 ac+2ab(23, 4 3).三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

15、算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17 （本小题满分12 分）设数列na的前项n和为ns，且满足110()2nnasnn（1）求数列na的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列(2 )nnsn为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。18（本小题满分12 分）如图1，平面四边形abcd中，4cd，2abad，60 ,30badbcd，将abd沿bd翻折到pbd的位置（如图2） ，平面pbd平面bcd，e为pd中点（1）求证：pdce；（2）求直线be与平面pcd所成角的正弦值19 （本小题满分12 分）

16、已知椭圆222210 xyabab的离心率为12，点31,2在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点f作互相垂直的两条直线1l，2l，其中直线1l交椭圆于p，q 两点，直线2l交直线4x于 m 点，求证：直线om 平分线段pq20 （本小题满分12 分）计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米）都在40 以上，不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立（1）在未来年中，设表示年入流量超过的年数，求的分布列及期望

17、值；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数1 若某台发电机运行，则该台发电机的年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损万元。欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21 （本小题满分12 分）已知函数21( )ln(1)2f xxmx，其中mr（1）求函数( )f x的单调区间；（2）若函数( )f x存在两个极值点1x、2x，且12xx，证明：12()11ln 2042f xx（二）选考题：共10分 ;请考生在第 22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22

18、 （本小题满分10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为2 343xatyt（其中t为参数）。以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点a的极坐标为2,6，直线l经过点a曲线c的极坐标方程为2sin4cos（1）求直线l的普通方程及曲线c的直角坐标方程；（2）过点3,0p作直线l的垂线交曲线c于d、e两点 (d在x轴上方 )，求11pdpe的值23 （本小题满分10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |22| 5f xx（1）解不等式：( )1f xx；（2）当1m时，函数( )( )g xf xxm的图象与x轴围成一个三

19、角形，求实数m的取值范围惠州市 2019 届高三模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、 选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案a d a c d b b d c b d c 二填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13、2，14、35，15、,04,u，16、(23,4 3)。三解答题：共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（本小题满分12 分）【解析】（1）当n=1 时，有11111022asa2 分又由110()2nnasnn可得111

20、10()2nnasnn两式相减得1111(1) (1)022nnnnasas3分即有1102nnaa12nnaa4分故数列na是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，5 分2 ()nnann6分评分要点：1、如果用1nnnass则必须说明2n，否则扣1 分。2、求出递推公式后必须要有文字说明数列为等比数列，无文字说明直接写通项公式扣1分。（2）解法一：由（1）知1q，所以1(1)2(21)1nnnaqsq 7 分令(2 )(2)22nnnnbsnn，8分为使nb为等差数列，则nb是关于 n 的一次函数，所以2，9 分此时22nbn，当1n时，12124b 10分当2n时，122 2(1)22

21、nnbbnn， 11 分所以(2 )nnsn是以4为首项，2为公差的等差数列。 12分评分要点：如果没有说明nb是关于 n 的一次函数扣1 分。解法二：由（ 1）知1q，所以1(1)2(21)1nnnaqsq7 分令(2 )(2)22nnnnbsnn，若(2 )nnsn为等差数列，则有123123(12 ) ,(22 ) ,(32 )sss构成等差数列，8 分即有2132132(22 ) )(12 ) )(32 ) )sss即2(66 )(23 )(1411 )29分此时22nbn，当1n时，12124b 10分当2n时，122 2(1)22nnbbnn， 11 分所以(2 )nnsn是以4为

22、首项，2为公差的等差数列。 12 分18.（本小题满分12 分）【解析】（ 1）由题意abdd为等边三角形，则2bd =，在三角形bcd中，4cd =,30bcdo?，由余弦定理可求得2 3bc =，222cdbdbc=+，即bcbd1 分又平面pbd 平面bcd，平面pbd i平面bcdbd=，bc 平面bcdbc 平面pbd，2 分又pd面pbdbcpd轣3 分等边三角形pbd中，e为pd中点，则bepd，4 分且bcbebi=，bc面bce，be面bce，pd 平面bce，5 分又ce 平面bce，pdce6 分评分要点：证明过程如果没有划线部分的条件，各扣1 分。（2）解法一：以b为坐

23、标原点，,bc bd分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，7 分则0,0,0b，2 3,0,0c，0,2,0d，0,1, 3p，33(0,)22e2 3,2,0cduuu r，0,1,3pduuu r8 分设, ,mx y zu r是平面pcd的法向量，则0m cdu r u uu r?，0m pdu r u uu r?2 32030 xyyz，取1, 3,1mu r9分3 332 522cos,553m bem bembeu r u uu ru r uuu ru ru uu r11分所以直线be与平面pcd所成角的正弦值为2 55. 12分（2）解法二：由（1）可知pd平面bec则三棱锥pbe

24、c的高为 pe，设点b到平面pcd的距离为h，则bpecpbecvvrtbecv中，22224223bccdbd，3be8 分123332becsvrtpecv中，1pe，2222(23)(3)15eccbbe9 分由bpecpbecvv得1133pecbecshspevv，解得615h 10分设直线be与平面pcd所成角为，62515sin53hbe 11分所以直线be与平面pcd所成角的正弦值为2 55. 12分19. （本小题满分12 分）【解析】（1）由12cea得2ac，所以223bc1分由点31,2在椭圆上得22914143cc解得1c， 2 分223bac3 分所求椭圆方程为22

25、143xy4分（2）解法一：当直线1l的斜率不存在时，直线om平分线段pq成立 5 分当直线1l的斜率存在时，设直线1l方程为1yk x，联立方程得221143yk xxy，消去y得22224384120kxk xk6 分因为1l过焦点，所以0恒成立，设11,p xy，22,q xy，则2122843kxxk，212241243kx xk7 分1212122611243kyyk xk xk xxk8 分所以pq的中点坐标为22243,4343kkkk9 分直线2l方程为11yxk，4,mmy，可得34,mk， 10 分所以直线om方程为34yxk，22243,4343kkkk满足直线om方程，

26、即om平分线段pq 11 分综上所述，直线om 平分线段 pq 12 分（2）解法二：因为直线2l与 x=4 有交点，所以直线1l的斜率不能为0，可设直线1l方程为1xmy，5 分联立方程得221143xmyxy，消去x得2234690mymy6 分因为1l过焦点，所以0恒成立，设11,p xy，22,q xy，122634myym，122934y ym7 分121228234xxm yym8 分所以pq的中点坐标为2243,3434mmm9 分直线2l方程为1ym x，4,mmy，由题可得4, 3mm， 10分所以直线om方程为34myx，2243,3434mmm满足直线om方程，即om平分

27、线段pq 11 分综上所述，直线om 平分线段 pq 12 分20. （本小题满分12 分）【解析】 (1)依题意，由二项分布可知，1 分, , , , 3 分所以的分布列为0 1 2 3 p 0.729 0.243 0.027 0.001 5分6 分（2）记水电站的总利润为（单位：万元） ，假如安装1 台发电机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，；7 分若安装2 台发电机，当时，只一台发电机运行，此时，当时， 2 台发电机运行，此时，. 9 分若安装3 台发电机，当时， 1 台发电机运行，此时，当时， 2 台发电机运行，此时，当时， 3 台发电机运行，此时

28、， 11分综上可知，应安装2 台发电机，可使总利润的均值达到最大8840 万元。 12 分21. （本小题满分12 分）【解析】（1）函数( )f x定义域为(,1)，2( )11mxxmfxxxx，10 x， 1 分令20 xxm，14m，当0，即14m时，( )0fx，( )f x在(,1)上单调递减； 2 分当0，即14m时，由20 xxm，解得11142mx，21142mx，若104m，则121xx，1(,)xx时，( )0fx，( )f x单调递减；12(,)xx x时，( )0fx，( )f x单调递增；2(,1)xx时，( )0fx，( )f x单调递减； 3 分若0m，则121

29、xx，1(,)xx时，( )0fx，( )f x单调递减；11(,1)xx时，( )0fx，( )f x单调递增； 4 分综上所述：0m时，( )f x的单调递减区间为114(,)2m，单调递增区间为114(,1)2m；104m时，( )f x的单调递减区间为114(,)2m，114(,1)2m，单调递增区间为114114(,)22mm；14m时，( )f x的单调递减区间为(,1) 5 分（2）因为函数( )f x定义域为(,1)，且2( )11mxxmfxxxx，函数( )f x存在两个极值点，( )0fx在(,1)上有两个不等实根1x，2x，记2( )g xxxm，则140,11,2( 1)(1)0,mg104m，从而由12121,xxx xm 6 分且12xx，可得11(0,)2x，21(,1)2x， 7 分22111122221ln(1)()12ln(1)2xmxf x