概率论与数理统计连续型随机变量函数的密函数学习教案

1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)连续型连续型随机变量函数的密函数随机变量函数的密函数第一页，共38页。2( )YFy根据分布函数的定义P Yy ()P g Xy一.一维随机变量(su j bin lin)函数的密度函数( )( ).YYfyFy( )P Xx g xy目标:设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数(分段严格单调)，求随机变量Y=g(X)的密度函数 .( )Yfy基本方法(分布(fnb)函数求导法),分2个步骤:(1) 求Y的分布函数( )YFy(2) 对 求导，( )YFy( )( ).x g xyf

2、 x dx第1页/共37页第二页，共38页。3( )yg x1. 是严格单调且可导的函数.1). 定理3.1. 设 而 是严格单调且且处处可导的, 设 是g的反函数,则 是连续型随机变量,其密度函数为( ),XXfx( )yg x( )xh y()Yg X( ( )|( )|,( )0,XYfaybfyotherwiseh yh y其中min(|( ) |),max(|( ) |).ag xbg x其实(qsh)就是变限积分求导第2页/共37页第三页，共38页。4证明(zhngmng)第3页/共37页第四页，共38页。5推论(tuln). 如果Y=aX+b,则Y 的密度函数为1| |,y ba

3、Xaf特别的, 对于正态分布 , 设2(),XN ,XY我们有 更一般的, 则0().,1YN,ZaXb22,().bZaN a第4页/共37页第五页，共38页。6解先求分布(fnb)函数 FY (y)。( )YFyP YyP aXby设随机变量X服从正态分布 求YaXb的概率密度。2,N 当 时，0a ( )YXybybFyP XFaa所以(suy)， 222()11( )()2y b aaYybfyfeaaa 请同学自己用分布函数(hnsh)求导法证明!第5页/共37页第六页，共38页。7当 时，0a ( )()YybFyP Xa222()11( )()2y b aaYybfyfeaaa

4、( )1YybybFyP XP Xaa 1()XybFa 所以(suy)， 2,()YN aba第6页/共37页第七页，共38页。8解 体积 的分布函数为343YX例 设球的半径X的概率密度为 6 (1), (0,1)( )0, xxxf xotherwise试求体积的概率密度。333433( )344YXyyFyPXyP XF所以(suy)体积的概率密度为 2 3331334344Xyyf3333( )44YXyyfyf 严格单调递增函数343yx第7页/共37页第八页，共38页。9所以(suy)体积的概率密度为 2 3331334344Xyyf3333( )44YXyyfyf 即 3344

5、1 , 0,( )2330, .Yyfyyotherwise代入f(x).第8页/共37页第九页，共38页。10练习 设圆的半径X服从区间(q jin)(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。 答案(d n)：1, 4 ,2( )0, ,Syyfyotherwise第9页/共37页第十页，共38页。11例题(lt)1,此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式(gngsh)法或者分布函数求导法,最后写出函数.以下(yxi)练习:第10页/共37页第十一页，共38页。12练习题:第11页/共37页第十二页，共38页。131( )( ( )(

6、).kYXiiifyfh yhy定理(dngl)3.2 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为f X (x), fY (y), 当g(x)在不相重叠的区间 I1， I2，,Ik上是严格单调函数且可导，则其中(qzhng) 为 在Ii上的反函数( )ixG y( )iyg x2.分段严格单调(dndio)可导函数最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法”来求解!第12页/共37页第十三页，共38页。14例 设X N（0，1），其概率密度为： 221,2xf xex2XY 11222,00,0yYyeyfyy则概率密度函数为：此时称Y 服从自由度为1的 -分布,记作 2 21Y结论：若

7、 ,则0,1XN 221 .X第13页/共37页第十四页，共38页。15解因此对于首先注意到2,yx则0y 0,y 有( )0.Yfy 对20,yyx不是单调的，但却是分段单调的。1:(,0Ix 2yx是单调下降的，1( )xh yy 2:(0,)Ix2yx是单调上升的，2( )xhyy22112211()()111222221122()()()()() () ()YXXXXyyyyyfyfhyhyfhyhyfyyfyyeee1).公式(gngsh)法 (自己看)第14页/共37页第十五页，共38页。162).分布(fnb)函数求导法:因此(ync)对首先(shuxin)20,YX0,y 当

8、时,0y 有( )0.Yfy 222201()( )2,tYyyyyP YyPXyPyXyFft dtedt对其求导,22112221,(2)yyYyyfeey2210,()0,0.yyYyyfye所以,第15页/共37页第十六页，共38页。17,YX若 结果怎样?2220,()0,0,.yYyyfye第16页/共37页第十七页，共38页。18例3.15(3). 设X的密度函数29822,()0(),xxotherw sxifesinYX求 的密度函数.解. 因为 所以只要考虑,11Y .11y 当 时,01y 22arcsin829/2( )sinarcsin (),YyFyP YyPXyP

9、Xyxdx求导, 得2281291( )(arcsin).Yyfyx第17页/共37页第十八页，共38页。19当 时,01y222arcsin882299/2arcsin( )sinarcsin arcsin()(),YyyFyP YyPXyPXyPYXxdxxdx求导, 得222831229116191( )(arcsin)(arcsin ).Yyyfyxx2221619181291,01,( )(arcsin),10,| 1.0,yYyyfyxyy 故第18页/共37页第十九页，共38页。20解题(ji t)步骤:第19页/共37页第二十页，共38页。21设(, )X Y是二维连续型随机变

10、量,其联合分布密度为(, )Zg X Y则 是一维的连续型随机变量? 其分布(fnb)函数为 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元连续函数，其分布密度(md)函数为 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy二.多维随机变量(su j bin lin)函数的密度函数基本步骤(分布函数求导法)第20页/共37页第二十一页，共38页。221).如果(X, Y)的联合分布密度(md)函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度(md)函数为 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, ).Zfzf zy y dy

11、或 特别(tbi)地，当X, Y 相互独立时，有卷积公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或 ( )()( ).ZXYfzfzy fy dy第21页/共37页第二十二页，共38页。23证明(zhngmng). 设(X,Y)的密度函数为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为( , )( ), )z xx yZzFf x y dxdyzP Zdxf x y dyzP XYz( ,)( ,),zzdxf x tx dtf x tx dx dt( )( ,)Zfzf x zx dx所以(suy), 对z求导,tyx令对f(x,y)沿着(yn zhe)x+y=z积分对于相互独立的X,Y,

12、则( , )( )( ),XYf x yfx fy( )( )()( ).ZXYXYfzfx fzx dxffz第22页/共37页第二十三页，共38页。24211221212222(,)(,).(,)XNXYNYN 例3.16 如果(rgu)X与Y相互独立记住结论,证明过程(guchng)感兴趣自己看.2(,)iiiXN 21112(,).iiiinniniiiiaNaaX 进一步,第23页/共37页第二十四页，共38页。25例3.17如果 在小于0上取0值,则积分都是类似的,卷积的积分限限制到(0, z).,XYff第24页/共37页第二十五页，共38页。262()0220( )()( ),

13、zxz xZXYzzzx fzx dxdxdfzfeeeezx 当 时,0z 解当 时,0z ( )0,Zfz 所以2,0,( )0,0.zZezzfzz 练习题. X,Y相互独立,且都服从参数为 的指数分布, 求Z=X+Y的密度函数. 第25页/共37页第二十六页，共38页。27第26页/共37页第二十七页，共38页。28第27页/共37页第二十八页，共38页。292.22ZYX 例3.18 设X, Y 相互独立, N(0,1), 求Z 的密度(md)函数.例3.14 自由度为1的 分布,例3.18自由度为2的 分布. 如果随机变量是n个相互独立的标准正态分布的平方和, 则其是自由度为n的

14、分布.2 2 2 第28页/共37页第二十九页，共38页。303./ZYX 若(X, Y)的密度(md)函数为f(x,y), 则Z的密度(md)函数为(, )( )|.Zf yz y dyfzy 沿着(yn zhe)yz=x, 对y积分.第29页/共37页第三十页，共38页。314. 极大值和极小值的分布(fnb)12,.,nXXX设 相互独立, 令(1)12( )12min,.,max,. ,.nnnXXXXXXXX 希望得到 的分布.(1)( ),nXX( )11*1( ),.,( ),nnnnkkkkyXyFyPPyyXXF (1)(1)(1)1111*( )111,.,1(1)1(1(

15、 ),nnknknkkkkFyPyyyXyyP XyFXP XP XP Xy 第30页/共37页第三十一页，共38页。32若为(ru wi)同分布, 则*( )( )( ),nnFyyF 而*1( )( )( )( ),nnFfynf yy *(1)( )1( ) ,(1nyFFy 而1(1)*( )( )(1.)(nFfynf yy 第31页/共37页第三十二页，共38页。33两个非同分布独立(dl)随机变量情形:第32页/共37页第三十三页，共38页。34其它(qt)类型第33页/共37页第三十四页，共38页。35例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为(2 )2,0,0,( , )0,xyexyf x yotherwise求随机变量 Z=X+2Y 的密度函数.解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy0,0,( )1,0,ZzzzFzezez所求分布(fnb)函数为 分布(fnb)密度函数为 0,0,( ),0.Zzzfzzez第34页/共37页第三十五页，共38页。36练习题第35页/共37页第三十六页，共38页。37第36页/共37页第三十