G204液流系统建模

1、工 程 应 用 实 例g204 液流系统建模 图 2.1 给出了一个液流系统。蓄水池（或水柜）底部带有一个出水口，水从上方的进水管流入蓄水池中，进水管由注水阀控制。在本系统中，需要研究的变量包括液流速度v（单位为m/ s） 、液面高度h（单位为m）和水压p（单位为n/ m2） 。水压是指在水中指定的某个表面上， 水作用在单位面积（水处于静止状态）上的力。水压均匀地作用于该表面。 按照控制系统设计流程，本实例着重考虑的主题设计模块如图2.2 所示。具体工作是：确定系统配置，建立合适的教学模型，也就是说， 用输入 - 输出关系来描述蓄水池的液流过程。 图 2.1 蓄水池系统的结构配置12 10 0

2、5 04 2.1图 2.2 控制系统设计流程中，蓄水池液流系统实例强调学习的设计模块描述液流运动和能量转换过程的通用方程非常复杂，常常是彼此耦合的偏微分方程（组）。为了降低数学模型的复杂程度，我们必须有选择地做出一些合理的假设。尽管控制工程师不必同时是西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 1 -工 程 应 用 实 例流体力学家，并不需要深入理解控制系统建模所需的流体力学的专门知识。但是，真正理解一些重要的、有利于简化模型的假设，却具有重要的工程意义。 为了建立一个合理且容易处理的数学模型以便描述蓄水池液流系统，必须首先做出一些重要的合理假设。假设蓄水池中的水是不可压缩的，并且液流是非常粘滞、

3、无旋转和稳定的。不可压缩的流体意味着其密度p（单位为kg/ m3）是常数。但实际上，所有的流体都在某种程度上是可压缩的，可压缩性用压缩系数；而水的压缩系数则为，也就是说，每增加1 个大气压（ 1 atm） ，水的体积仅仅缩小 0.05。由此可见，对于工程应用而言，关于水是不可压缩流体这一假设是合理的。 nmkair/98. 0216210105/109.42atmnmkoh再考虑运动中的流体。如果两个近邻的液流层的初始流速不一致，那么分子的相互流动将导致这两层液流速度趋向一致。也就是内摩擦效应，所实现的动量交换成为黏滞特性。就黏滞特性而言，固体最强，液体次之，气体最差。黏滞特性用黏滞系数 （单

4、位为 ns/ m2）表示，黏滞系数越大，表明物质的黏滞特性越强。例如，20的标准条件下，空气的黏滞系数为24/10178.0msnuair水的黏滞系数为23/10054.12msnuoh由此可见，水的黏滞系数是空气的约60 倍。黏滞性主要取决于温度，而非压力。例如，水在0时的黏滞性是20时的两倍。对于粘滞性低的流体，如空气和水，只有在边界层，摩擦特性的影响下才有比较明显的体现，即在蓄水池壁和输出管壁等处。因此，在建模过程中，我们可以忽略水的黏滞性，也就是说，我们认为水是非黏滞的。 如果在液流中的每一点上，液流元素都没有静角速度，就称该液流是非旋转的。想像一下，在出水口的位置放置一个小叶轮，如果

5、叶轮没有旋转，就可以认为液流是非旋转的。在本实例中，假定水柜中的水是非旋转的。对于非黏滞的流体而言，如果在初始情况下非旋转，则液流将一直保持非旋转。 水柜和出水口中的水流既可能是稳定的，也可能是不稳定的。如果液流中每一点的速度都是保持恒定，就称该液流是稳定的。需要指出的是，这并不意味着液流中每一点的速度都必须相同，而是说对于某一点而言，其速度一直保持匀速，不随时间而变化。液流处于低速时，容易满足稳定条件。在本实例中， 假定水流满足稳定条件。但是， 如果出水口过大，那么水柜中的水流速度将偏高，可能无法满足稳定条件。在这种情况下，所建的数学模型将无法准确预测液流的运动情况。 为了建立蓄水池液流的数

6、学模型，必须引入诸如能量守恒定律等原则。在给定时间内，水柜中水的质量为hpam1 (2.01)其中， a1 为水柜的底面积，为水的密度，h为蓄水池中水的高度。建模与计算过程中用到的一些物理常数如表2.1 所示。 西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 2 -工 程 应 用 实 例表 2.1 水柜系统的物理常数 在后面的公式中， 带有下表1的变量表示输入变量，带有下表 2 的变量表示输出变量。式 (2.01)的两边对时间求导数，可以得到 hpam1此处，用到了水是不可压缩流体的假设（不可压缩流体密度为常数，即 =0） ，而水柜的底面积a1也为常数，不随时间发生变化。实际上，蓄水池中水的质量的变化

7、，又等于注入水柜和流出水柜的质量之差，故有2211vpaqhpam (2.02)其中， q1为单位时间内的进水质量，满足稳定条件；v2为流出速度； a2为出水管的横截面积。流出速度 v2水水面高度h的函数。根据伯努利（ bernoulli）方程可得 2221212121ppvpghppv其中， v1为蓄水池进水口的水流速度；p1和 p2分别为进水口和出水口的气压，它们都为1 个大气压；相对于a1而言， a2非常小（ a2=a1/100） ，因此进水口的流速v1非常小，甚至可以忽略。这样一来，可以将伯努利方程简化为ghv22 (2.03)将式 (2.03)代入式 (2.02)中，并求解h，可以得

8、到111212qpahgaah(2.04)根据式 (2.03)，可以求得单位时间内的出水质量hagpvpaq)2(2222(2.05)为了对以上方程进行简化，定义如下替换变量：2312121212agpkpakagak于是，代入式 (2.04)和(2.05)，可得hkqqkhkh32121(2.06)这样就建立了蓄水池液流模型，其中输入为q1，输出为q2.可以看出，由于式(2.06)中包含了项，西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 3 -工 程 应 用 实 例因此，这是一个非线性的一阶常微分方程模型。将模型记为函数的形式：),(),(121qhhqqhfh其中，hkqhhqkhkqhf311

9、211),(),(在流量平衡点附近，对描述蓄水池液流模型的函数进行泰勒级数展开，可以获得一组线性化方程。当蓄水池系统处于平衡状态时，液面高度保持稳定，即有。令 q* 和 h*分别表示平衡状态下，单位时间内的进水质量换个液面高度，由式(2.06)可得0h*2*221hagphkkq(2.07)当注入蓄水池中的水量足够大，足以补偿通过进水口流出的水量时，上述平衡条件成立。在平衡状态下，液面高度和单位时间内进水的质量用该在平衡点附近波动，因此可以将它们写为11*qqqhhh(2.08)其中，和是平衡点附近的小偏差信号。因此，可以得到的泰勒级数展开式为.*)(*)(*)*,(),(1*1*111qqq

10、fhhhfqhfqhfhqqhhqqhh(2.09)其中，2*1111*11*111*1111(*21(kqqkhkqfhkhqkhkhfqqhhqqhhqqhhqqhh由式 (2.07)可以得到22*agpqh于是有*122*1qgpaahfqqhh由于平衡状态下的液面高度h* 为常数，因此，对式(2.08)的第一个公式两边求导，可以得到hh西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 4 -工 程 应 用 实 例西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 5 -此外，根据平衡条件可以得到，f（h*， q* ）=0，忽略泰勒级数展开式(2.09)的高阶项，最终可得111221*qpahqgpaah(2

11、.10)可以看出， 这个线性方程描述的是，单位时间内进行水质量的轻微波动与液面高度相对于平衡点的偏差之间的关系。类似地，对于输出变量q2，有1*1*122211*)*,(),(*qqfhhfqhhqhhqqqqqhhqqhh(2.11)其中，为单位时间内出水质量的轻微波动，且有2q0*1222*11qqhhqqhhqfqagphf，因此，输出变量q2的线性方程为hqagpq*2222(2.12)用传递函数描述系统的输入-输出关系，非常便于控制系统的分析和设计，而拉普拉斯变换则是求解传递函数的主要工具。对式(2.12)两边求导之后，再将其代入式(2.10)中，可以得到蓄水池系统的输入 -输出关系

12、112221222*qqgpaaqqgpaaq定义替换变量*122qgpaa(2.13)于是有122qqq(2.14)对式 (2.14)进行拉普拉斯变换（零初始条件），可以得到传递函数为ssqsq)(/)(12(2.15)式(2.15)描述了单位时间内进水质量的波动与出水质量的波动之间的关系。类似地，对式(2.10)进行拉普拉斯变换，还可以得到单位时间内进水质量的波动与液面高度波动之间的传递函数sksqsh2)(/)(1(2.16)式(2.14)是一个描述蓄水池系统的线性定常方程。下面分别讨论当输入为阶跃信号和正弦信号时，工 程 应 用 实 例西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 6 -该系

13、统的输出。需要再次强调的是，输入变量是偏离平衡状态时，进水质量首先考虑阶跃输入信号q* 的偏差小信号。sqsq/)(01其中，是阶跃信号的幅值，初始条件为0)0(2q。因此，根据传递函数式(2.15)，可以得到)()(02ssqsq对上式进行部分分式分解，可以得到sqsqsq002)(进行拉普拉斯逆变换，可以得到由式 (2.13)可知 ? 0，因此，当时间t 趋向无穷大时，指数项将收敛于0。因此，在幅度为的阶跃输入型号的激励下，系统的稳态输出为002)(qeqtqt0ss2qq由此可见，在稳态下，单位时间内出水质量相对于平衡点的偏差，就等于单位时间内进水质量相对于平衡点的偏差。重新审视变量?

14、参见式 (2.13)可发现，出水管底面积a2越大， ? 也越大，指数项收敛到 0 的速度也就越快，也就是说，a2越大，系统到达稳态的速度就越快。类似地，针对传递函数式(2.16)，可以得到在节约输入信号的激励下，液面高度波动变量的拉普拉斯变换：sskqh11s20进行拉普拉斯逆变换后，可以得到1t20tekqh由此可得，在幅度为的节约输入信号的激励下，系统的稳态输出为20sskqh接下来考虑正弦输入信号tqtqsin01进行拉普拉斯变换之后，可以得到2201ssqq工 程 应 用 实 例西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 7 -前已提及，系统的初始条件为0，即0)0(2q,由式 (2.15

15、)得意得到2202sssqq部分分式分解进行拉普拉斯逆变换后，可以得到20teqt其中，很明显，当时间t 趋于无穷大时，系统的稳态响应为212222sintqqt202tqsin2由此可知，单位时间内出水质量的最大波动值为220max2tqq(2.17)利用解析方法求解系统对阶跃信号和正弦信号等典型测试输入信号的响应，可以全面深入地把握系统响应。但在很多情况下，解析方法将会受到限制，因此，对于复杂的系统而言，计算机仿真则更为有效，它能够通过数值分析的方式，对系统的线性或者非线性模型进行更为完善的描述、分析、演算和显示。计算机仿真模型能够对系统的实际工作条件和实际输入指令进行模拟分析。控制工程师

16、可以选择不同精度的仿真。在初始设计阶段，应个阶，计算的精确度， 那么相对于解析方法，计算机仿真具有以下优势：针对尚处在与概念论证阶段的待开发系统，可以检验所做的各种决策。和实物试相比，仿真试验费用较低。对系统进行研究。分析和评价技术。该选择交互性强的仿真软件。在这段，计算机速度并不像现实和调试阶段设计方案时那么重要，重要的反倒是直观的图形输出功能。此外，由于在设计过程中，采用了许多必要的简化（如线性化等）工作，因此分析阶段（即初始设计阶段）的仿真精度通常比较低。当设计不断成熟时，就有必要在更逼真的仿真环境中进行进行数值试验。到了这个设计阶段机处理速度就显得非常重要了，否则过于漫长的仿真过程将导

17、致减少数值试验次数并增加试验费用。这种高精度仿真通常使用fortran ，c，c+，matlab ，labview 或其他类似的高级语言。如果系统模型和仿真过程具有足够高1可以观察到系统在各种可能条件下的工作性能。2运用预测模型进行仿真，可以外推类似系统的性能。34针对被测试系统，开展多次运行实验，并大幅缩短设计周期。56能够在各种想定条件下，甚至是不现实的条件下，7计算机仿真在某些时候是唯一可行或/和唯一安全的系统工 程 应 用 实 例西南科技大学 科学出版社自动控制原理- 8 -将表 2.1 中的常数代入式(2.16)，蓄水池系统的非线性模型为hq77.342qhh102732. 1044

18、3.013-(2.18)在 h1便求解 h(t)和 q2(t)的变化曲线。系统响应曲线如图质量(0)=0.5m，q (t)=34.77kg/s 的初始条件下， 可以对式 (2.18)进行数值微分，以2.3 所示。由式 (2.17)可以进行计算得出，当系统处于稳态，进水q*=34.77 kg/s 时，液面高度h*=1 m。图 2.3 对非线性运动方程(2.18)进行数值积分得到的液面高度h 初始条件为h(0)=0.5m, q1(t)=q*=34.77 kg/s系统在250s 之后达到了稳态。假定系统已经达到稳态，当单位时间内的进水质量波动信号为阶跃信号时，再来分析系统的响应。令skgq/1t1可以利用传递函数模型非线性模型下系统的