上海市黄浦区光明中学2020-2021学年高二下学期期中数学试卷(解析版)

1、2020-2021 学年上海市黄浦区光明中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12 小题） .1复数 z 1+i 的共轭复数是2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则点 c1到直线 bc 的距离为3复数 z 23i2021对应的点在复平面内位于第象限4 3 的平方根是5若 z8+8i，则 |z|6底面边长为a 的正四棱锥体积与棱长为a 的正方体体积相等，则正四棱锥的侧棱与底面所成角大小为7若 z c 且|z+3+4i|2，则 |z|的取值范围为8若一圆柱的侧面积为6 ，则经过圆柱的轴的截面积为9地球（地球半径为r）表面上从a 地（北纬 45，东经 120）到 b 地（北纬 45，东

2、经 30）的球面距离为10在直三棱柱abca1b1c1中， acb 90， aa12，acbc1，则异面直线a1b与 ac1所成角的余弦值是11 如 图 ， 已 知 三 棱 柱abc a1b1c1的 体 积 为4 ， 则 四 面 体c a1bc1的 体 积为12如图， ab 是底面圆o 的直径，点c 是圆 o 上异于 a、b 的点， po 垂直于圆o 所在的平 面 ， 且po ob 1， bc， 点e 在 线 段pb 上 ， 则ce+oe的 最 小 值为二、选择题13以下命题中，正确的是（）a若 a，b r，复数 a+bi 中，实部为a，虚部为bib若 a，b r，当 a+bi 是虚数时，则a

3、0 且 b0c若 a，b r，当 a0 时，复数a+bi 为纯虚数d若 a，b r，当 b0 时，复数a+bi 为实数14“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件15已知直线l 和平面 ，无论直线l 与平面 具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（）a相交b平行c垂直d异面16在下列四个正方体中，a、b 为正方体的两个顶点，m、n、q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线ab 与平面 mnq 不平行的是（）abcd三、解答题17已知，试求实数x， y 的值18如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知acb

4、90， aa，bcac 1，o 为 ab 的中点求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线 ac 与平面 abba所成的角的大小19设 m，n r，关于 x 的方程 x2+mx+n0 的两个根分别是和 （1）当 1+i 时，求 与 m、n 的值；（2）当 m2，n 4 时，求 | |+| |的值20如图， 某种水箱用的 “浮球” ，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100 克，共需胶多少？21如图，在直角梯形pbcd 中， pbdc，dc

5、bc，pbbc 2cd2，点 a 是 pb 的中点，现沿ad 将平面 pad 折起，设 pab （1）当 为直角时，求异面直线pc 与 bd 所成角的大小；（2）当 为多少时，三棱锥pabd 的体积为？（3）剪去梯形中的pad，留下长方形纸片abcd ，在 bc 边上任取一点e，把纸片沿ae 折成直二面，问e 点取何处时，使折起后两个端点b、d 间的距离最短参考答案一、填空题1复数 z 1+i 的共轭复数是1i解：由共轭复数的定义可得，复数z 1+i 的共轭复数是1 i故答案为：1i2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则点 c1到直线 bc 的距离为1解：如图所示，几何体是正方体，

6、所以cc1是点 c1到直线 bc 的距离距离为1故答案为： 13复数 z 23i2021对应的点在复平面内位于第三象限解： z 2 3i202123i，对应的点（2， 3）位于第三象限故答案为：三4 3 的平方根是解：设（ a+bi）2 3，其中 a，b r化为 a2b2+2abi 3，解得 a0，b 3 的平方根为：i故答案为：5若 z8+8i，则 |z|8解：因为z8+8i，则 |z|8故答案为： 86底面边长为a 的正四棱锥体积与棱长为a 的正方体体积相等，则正四棱锥的侧棱与底面所成角大小为解：设正四棱锥的高为h，则 vh?a2a3， h3a，设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 ，则 tan

7、 3，正四棱锥的侧棱与底面所成角为arctan3故答案为： arctan37若 z c 且|z+3+4i|2，则 |z|的取值范围为3， 7解： |z+3+4i|2 的几何意义为复平面内动点z 到定点a（ 3， 4）的距离小于等于2的点的集合，如图所示：|oa|，|z|min52 3，|z|max 5+2 7|z|的取值范围为3，7故答案为： 3， 78若一圆柱的侧面积为6 ，则经过圆柱的轴的截面积为6解：设圆柱的底面半径为r，高为 h，则 2h6 ，所以 rh3，所以经过圆柱的轴的截面积为：2rh6故答案为： 69地球（地球半径为r）表面上从a 地（北纬 45，东经 120）到 b 地（北纬

8、 45，东经 30）的球面距离为解：地球表面上从a 地（北纬45，东经120）到 b 地（北纬 45，东经 30），b 的纬圆半径是，经度差是90，所以 abr，球心角是，则 a、 b 两地的球面距离是故答案为：10在直三棱柱abca1b1c1中， acb 90， aa12，acbc1，则异面直线a1b与 ac1所成角的余弦值是解：以 c 为原点， ca 为 x 轴， cb 为 y 轴， cc1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 a（1，0， 0）， b（0，1，0）， a1（1，0，2）， c1（0，0，2），（ 1，1， 2），（ 1， 0，2），设异面直线a1b 与 ac1所成角为 ，则

9、 cos 异面直线a1b 与 ac1所成角的余弦值是故答案为：11如图，已知三棱柱abca1b1c1的体积为4，则四面体ca1bc1的体积为解：如图，在三棱柱abca1b1c1中，而，又三棱柱abca1b1c1的体积为 4，则四面体ca1bc1的体积为故答案为：12如图， ab 是底面圆o 的直径，点c 是圆 o 上异于 a、b 的点， po 垂直于圆o 所在的平面，且 poob 1， bc， 点 e 在线段 pb 上， 则 ce+oe 的最小值为解：如图，po底面 ocb，则 po ob，pooc，由 poob1，得 pb，由 pooc，得 pc，又 bc， pbc 为等边三角形，则pbc6

10、0，又 pbo45，沿 pb 翻折平面pbc，使平面pbc 与平面 pab 重合，则 obc 105，ce+oe 的最小值oc，在 obc中，由余弦定理可得：故答案为：二、选择题13以下命题中，正确的是（）a若 a，b r，复数 a+bi 中，实部为a，虚部为bib若 a，b r，当 a+bi 是虚数时，则a0 且 b0c若 a，b r，当 a0 时，复数a+bi 为纯虚数d若 a，b r，当 b0 时，复数a+bi 为实数解：复数a+bi 中，实部为a，虚部为 b，a 错误；a+bi 是虚数时，则b0，b 错误；当 a0， b0 时，复数a+bi 为纯虚数， c 错误；b 0 时，复数a+b

11、i 为实数， d 正确故选： d14“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件解：由“两条直线没有公共点“得“两条直线为异面直线或两直线平行“，不是充分条件，由“两条直线为异面直线“得“两条直线没有公共点”，是必要条件，故选： b15已知直线l 和平面 ，无论直线l 与平面 具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l（）a相交b平行c垂直d异面解：当直线l 与平面 平行时，在平面内至少有一条直线与直线l 垂直，当直线 l? 平面 时，在平面内至少有一条直线与直线l 垂直，直线 l 与平面 相交时，在平面内至少有一

12、条直线与直线l 垂直，无论直线l 与平面 具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线l 垂直故选： c16在下列四个正方体中，a、b 为正方体的两个顶点，m、n、q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线ab 与平面 mnq 不平行的是（）abcd解：对于选项b，由于 abmq，结合线面平行判定定理可知b 不满足题意；对于选项c，由于 abmq，结合线面平行判定定理可知c 不满足题意；对于选项d，由于 abnq，结合线面平行判定定理可知d 不满足题意；所以选项a 满足题意，故选： a三、解答题17已知，试求实数x， y 的值解：，1+i，解得 x1，y1118如图，直三棱柱内接于高为的

13、圆柱中，已知acb90， aa，bcac 1，o 为 ab 的中点求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线 ac 与平面 abba所成的角的大小解：（ 1）直三棱柱内接于高为的圆柱中，acb90， aa，bcac1，o 为 ab 的中点圆柱的半径rab，圆柱的全面积s+3 圆柱的体积为v（2）以 c 为原点， ca 为 x 轴， cb 为 y 轴， cc为 z 轴，建立空间直角坐标系，a（ 1， 0，）， c（ 0，0，0）， a（1，0，0）， b（0，1，0），（ 1，0，），（ 0，0，），（ 1， 1，0），设平面 abba的法向量（ x，y，z），则，取 x1，得（ 1，1，0），

14、设直线 ac 与平面 abba所成的角为 ，则 sin ，直线 ac 与平面 abba所成的角的大小为19设 m，n r，关于 x 的方程 x2+mx+n0 的两个根分别是和 （1）当 1+i 时，求 与 m、n 的值；（2）当 m2，n 4 时，求 | |+| |的值解：（ 1）由题意得 1+i 是关于 x 的方程 x2+mx+n0 的一个根，（ 1+i）2+m（1+i）+n0，整理得： m+n+（m+2）i0，m，n r，解得：，故关于 x 的方程为x22x+20，根据根与系数的关系得： + 2，故 2 2（ 1+i） 1i，综上， 1i，m 2，n2；（2）当 m2，n 4 时，方程为x

15、2+2x+40，解得： x 1i，不妨设 1i， 1+i，则| |+| |1i|+|1+i|+4，综上： | |+| |420如图， 某种水箱用的 “浮球” ，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100 克，共需胶多少？解：（ 1）该“浮球”的圆柱筒直径d6cm，半球的直径也是6cm，可得半径r3cm，两个半球的体积之和为cm3而cm3该“浮球”的体积是：vv球+v圆柱36 +18 54 169.6cm3（2）根据题意，上下两个半球的表面积

16、是cm2而“浮球”的圆柱筒侧面积为：s圆柱侧 2 rh2 3 212 cm21 个“浮球”的表面积为m2因此， 2500 个“浮球”的表面积的和为m2每平方米需要涂胶100 克，总共需要胶的质量为：10012 1200 （克）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200克21如图，在直角梯形pbcd 中， pbdc，dcbc，pbbc 2cd2，点 a 是 pb 的中点，现沿ad 将平面 pad 折起，设 pab （1）当 为直角时，求异面直线pc 与 bd 所成角的大小；（2）当 为多少时，三棱锥pabd 的体积为？（3）剪去梯形中的pad，留下长方形纸片abcd ，在 bc 边上任取一点e，把纸片沿ae 折成直二面，问e 点取何处时，使折起后两个端点b、d 间的距离最短解：（ 1）取 pa 中点 n，连接 ac 交 bd 于 o，连接 on、nb，由题意知四边形abcd 为矩形，所以aooc，所以 onpc，因为 ab1，bc2，所以 ac，又因为pa1，所以 pc，于是 on，oboa， nb，所以 cosbon，于是 bon arccos，所以当 为直角时，异面直