上海市崇明区2018届高三一模数学试卷及答案解析

1、第 1页（共 16页）2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题5 分）1（4 分）已知集合 a=1， 2， 5 ， b= 2， a ， 若 ab=1， 2， 3， 5 ， 则 a=2 （4 分）抛物线 y2=4x的焦点坐标为3 （4 分）不等式0 的解是4 （4 分）若复数 z满足 iz=1+i（i 为虚数单位），则 z=5 （4 分）在代数式（ x）7的展开式中，一次项的系数是 （用数字作答）6 （4 分）若函数 y=2sin （x）+1 （ 0）的最小正周期是 ，则=7 （5 分）若函数 f（x）

2、=xa的反函数的图象经过点（，） ，则 a=8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27cm3，则该几何体的侧面积为cm29 （5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=2xax，且 f（2）=2，则 a=10 （5 分）若无穷等比数列 an的各项和为 sn，首项a1=1，公比为 a，且sn=a，则 a=11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长 1 人，普通队员2人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有种不同的选法（用数字作答）12 （5分）在 abc中，bc边上的中垂线分别交bc

3、 ，ac于点 d，e若?=6，| =2，则 ac=二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分）第 2页（共 16页）13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（）abcd14 （5 分）设 a，b r，若 ab，则（）ablgalgb csin asin b d2a2b15 （5 分）已知等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 sn，则“d0” 是“s4+s62s5” 的（）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件16 （5 分）直线 x=2与双曲线y2=1 的渐近线交于 a，b两点，设 p为双曲线上任一点，若=a+b（a，b r，o 为坐标原点），则

4、下列不等式恒成立的是（）aa2+b21b| ab| 1 c| a+b| 1d| ab| 2三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，长方体abcd a1b1c1d1中，ab=bc=2 ，a1c与底面 abcd所成的角为 60 ，（1）求四棱锥 a1abcd的体积；（2）求异面直线 a1b 与 b1d1所成角的大小18 （14分）已知 f（x）=2sinxcosx +2cos2x1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在 abc 中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，若 a=，b=，且f（）=，求边 c 的值第 3页（共 16页）19（14

5、 分） 2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资2 千万元用于此项目 .2016年该项目的净收入为5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n（n n*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 =累计净收入累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由20 （16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆c ：+y2=1 （a0

6、，a1）的两个焦点分别是 f1，f2，直线 l：y=kx+m（k，m r）与椭圆交于 a，b两点（1）若 m 为椭圆短轴上的一个顶点，且mf1f2是直角三角形，求a 的值；（2）若 k=1，且oab是以 o 为直角顶点的直角三角形， 求 a 与 m 满足的关系；（3）若 a=2，且 koa?kob=，求证： oab的面积为定值21 （18 分）若存在常数 k（k0） ，使得对定义域 d 内的任意 x1，x2（x1x2） ，都有| f（x1）f（x2） | k| x1x2| 成立，则称函数 f（x）在其定义域d 上是“k利普希兹条件函数 ” （1）若函数 f（x）=， （1x4）是“k利普希兹条

7、件函数 ” ，求常数 k 的最小值；（2）判断函数 f（x）=log2x 是否是 “2 利普希兹条件函数 ” ，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若 y=f（x） （x r ）是周期为 2 的“1 利普希兹条件函数 ” ，证明：对任意的实数 x1，x2，都有| f（x1）f（x2） | 1第 4页（共 16页）2018 年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题5 分）1 （4 分）已知集合 a= 1，2，5 ， b= 2，a ， 若 ab=1，2，3，5 ， 则 a=3【解答】 解：集合

8、 a=1，2，5，b= 2，a，ab=1，2，3，5 ，a=3故答案为： 32 （4 分）抛物线 y2=4x的焦点坐标为（1，0）【解答】 解：抛物线 y2=4x是焦点在 x轴正半轴的标准方程，p=2焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3 （4 分）不等式0 的解是（1，0）【解答】 解：不等式0，即 x（x+1）0，求得 1x0，故答案为：（1，0） 4 （4 分）若复数 z满足 iz=1+i（i 为虚数单位），则 z=1i【解答】 解：由 iz=1+i，得 z=1i故答案为： 1i5 （4 分）在代数式（ x）7的展开式中，一次项的系数是21 （用数字作答）第 5页（共 16页）【解

9、答】解： （x）7的展开式的通项为=，由 73r=1，得 r=2，一次项的系数是故答案为： 216 （4 分）若函数 y=2sin （x ）+ 1（ 0）的最小正周期是 ，则=2【解答】 解：根据正弦函数的图象与性质，知函数 y=2sin（x）+ 1（ 0）的最小正周期是t= ，解得 =2 故答案为： 27 （5 分）若函数 f（x）=xa的反函数的图象经过点（，） ，则 a=【解答】 解：若函数 f（x）=xa的反函数的图象经过点（，） ，则： （，）满足 f（x）=x，所以：，解得：，故答案为：8 （5 分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为 27cm3，则该几

10、何体的侧面积为18 cm2【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为v=a2?a=27 ，第 6页（共 16页）解得 a=3cm；该圆柱的侧面积为s=2 33=18cm2故答案为： 18 9 （5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=2xax，且 f（2）=2，则 a=【解答】 解：函数 y=f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）=2xax，x0 时， f（x）=2xa（x） ，f（x）=2xax，f（2）=2，f（2）=222a=2，解得 a=故答案为：10 （5 分）若无穷等比数列 an的各

11、项和为 sn，首项a1=1，公比为 a，且sn=a，则 a=2【解答】 解：无穷等比数列an 的各项和为 sn，首项 a1=1，公比为 a，且sn=a，可得=a，即有=a，即为 2a25a+2=0，解得 a=2或，由题意可得 0| q| 1，即有 0| a| 1，检验 a=2成立； a=不成立故答案为： 2第 7页（共 16页）11 （5 分）从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长 1 人，普通队员2人组成 4 人志愿者服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有780种不同的选法（用数字作答）【解答】 解：根据题意，要求服务队中至少有1 名女生，则分 3 种情况讨论：、选出志

12、愿者服务队的4 人中有 1 名女生，有 c53c31=30 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有a42=12种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况，此时有 3012=360种不同的选法，、选出志愿者服务队的4 人中有 2 名女生，有 c52c32=30 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有a42=12种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况，此时有 3012=360种不同的选法，、选出志愿者服务队的4 人中有 3 名女生，有 c51c33=5 种选法，这 4 人选 2 人作为队长和副队有a42=12种，其余 2 人为普通队员，有 1 种情况，此时有 512=60种不同的选

13、法，则一共有 360+360+60=780；故答案为： 78012 （5分）在 abc中，bc边上的中垂线分别交bc ，ac于点 d，e若?=6，| =2，则 ac=4【解答】 解：建立平面直角坐标系如图所示，设 b（a，0） ，c（a，0） ，e（0，b） ，abc= ，由| =2，知 a（a+2cos ，2sin ） ，=（a2cos ，b2sin ） ，=（2a，0） ，?=2a（a2cos ）+ 0=2a24acos=6 ，a22acos=3 ；又=（2a2cos ，2sin ） ，第 8页（共 16页）=（2a2cos ）2+（ 2sin ）2=4a28acos +4=4（a22ac

14、os ）+ 4=43+4=16，| =4，即 ac=4 故答案为： 4二、选择题（本大题共有4 题，满分 20 分）13 （5 分）展开式为 adbc 的行列式是（）abcd【解答】 解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，由题意得，=adbc故选 b14 （5 分）设 a，b r，若 ab，则（）ablgalgb csin asin b d2a2b【解答】 解：由 ab，利用指数函数的单调性可得：2a2b再利用不等式的性质、 对数函数的定义域与单调性、 三角函数的单调性即可判断出 a，b，c不正确故选： d第 9页（共 16页）15 （5 分）已知等差数列 an 的公差为 d，前 n

15、项和为 sn，则“d0” 是“s4+s62s5” 的（）a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【解答】 解： s4+s62s5，4a1+6d+6a1+15d2（5a1+10d） ，21d20d，d0，故“d0” 是“s4+s62s5” 充分必要条件，故选： c16 （5 分）直线 x=2与双曲线y2=1 的渐近线交于 a，b两点，设 p为双曲线上任一点，若=a+b（a，b r，o 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）aa2+b21b| ab| 1 c| a+b| 1d| ab| 2【解答】 解：双曲线y2=1 的渐近线为： y=x把 x=2代入上述方程可得：

16、 y=1不妨取 a（2，1） ，b（2，1） =a+b=（2a+2b，ab） 代入双曲线方程可得：（ab）2=1，化为 ab=ab，化为：|a+b| 1故选： c三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，长方体abcd a1b1c1d1中，ab=bc=2 ，a1c与底面 abcd所第 10页（共 16页）成的角为 60 ，（1）求四棱锥 a1abcd的体积；（2）求异面直线 a1b 与 b1d1所成角的大小【解答】 解： （1）长方体 abcd a1b1c1d1中，ab=bc=2 ，aa1平面 abcd ，ac=2，a1ca是 a1c与底面 abcd所成的角，a1c

17、与底面 abcd所成的角为 60 ，a1ca=60，aa1=ac?tan60 =2 ?=2，s正方形abcd=abbc=2 2=4，四棱锥 a1abcd的体积：v=（2）bd b1d1，a1bd是异面直线 a1b与 b1d1所成角（或所成角的补角） bd=，a1d=a1b=2，cos a1bd=a1bd=arccos异面直线 a1b 与 b1d1所成角是 arccos第 11页（共 16页）18 （14分）已知 f（x）=2sinxcosx +2cos2x1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在 abc 中，a，b，c分别是角a，b，c所对的边，若 a=，b=，且f（

18、）=，求边 c 的值【解答】 解：f（x）=2sinxcosx +2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin （2x+）（1）当 2x+=时，即 x=（k z） ，f（x）取得最大值为 2；（2）由 f（）=，即 2sin（a+）=可得 sin（a+）=0aaa=或a=或当 a=时，cosa=a=，b=，解得： c=4当 a=时，cosa=0a=，b=，解得： c=2第 12页（共 16页）19（14 分） 2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资2 千万元用于此项目 .2016年该项目的净收入为5 百万元，并预

19、测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n（n n*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 =累计净收入累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由【解答】解： （1）由题意知，第 1 年至此后第 n（n n*）年的累计投入为 8+2（n1）=2n+6（千万元），第 1 年至此后第 n（n n*）年的累计净收入为+ +=（千万元）f（n）=（2n+6）=2n7（千万元）（2）方法一： f（n+1） f（

20、n）=2（n+1） 7 2n7 = 4 ，当 n3 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递减；当 n4 时，f（n+1）f（n）0，故当 n4 时，f（n）递增又 f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）=232523=20该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利；方法二：设 f（x）=2x7（x1） ，则 f （x）=，令 f（x）=0，得=5，x4第 13页（共 16页）从而当 x 1，4）时， f（x）0，f（x）递减；当 x （4，+）时， f（x）0，f（x）递增又 f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）=232523=2

21、0该项目将从第 8 年开始并持续赢利答：该项目将从 2023 年开始并持续赢利20 （16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆c ：+y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是 f1，f2，直线 l：y=kx+m（k，m r）与椭圆交于 a，b两点（1）若 m 为椭圆短轴上的一个顶点，且mf1f2是直角三角形，求a 的值；（2）若 k=1，且oab是以 o 为直角顶点的直角三角形， 求 a 与 m 满足的关系；（3）若 a=2，且 koa?kob=，求证： oab的面积为定值【解答】 解： （1）m 为椭圆短轴上的一个顶点，且mf1f2是直角三角形，mf1f2为等腰直角三角形，of1=om，当 a1

22、 时，=1，解得 a=，当 0a1 时，=a，解得 a=，（2）当 k=1时，y=x+m，设 a（x1，y1） ， （x2，y2） ，由，即（ 1+a2）x2+2a2mx+a2m2a2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（x1+m） （x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+ m2=，oab是以 o 为直角顶点的直角三角形，?=0，第 14页（共 16页）x1x2+y1y2=0，+=0，a2m2a2+m2a2=0m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当 a=2时，x2+4y2=4，设 a（x1，y1） ， （x2，y2） ，koa?kob=，?=，x1x2=4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0 x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m） （kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+ m2=+m2=，=4，2m24k2=1，| ab| =?=?=2?=o到直线 y=kx+m 的距离 d=，soab=| ab| d=?=1第 15页（共 16页）21 （1