2021年浙江省杭州高级中学高考数学仿真模拟试卷

1、第1页（共 21页）2021年浙江省杭州高级中学高考数学仿真模拟试卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （ 4 分）椭圆22149xy的离心率是()a53b52c133d1322 （ 4 分）已知复数z1+2i，i 为虚数单位，则等于（）abcd3 （ 4 分）设点( , )p x y 所在区域为11,1xyxy，则 2xy 的最大值为()a1b0c1d24 （ 4 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abc8d165 （ 4 分）设(, ) |,(, ) |21ax yykxbx yyx，则“11k

2、”是“ ab”的 ()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6 （ 4 分）已知在盒中有编号分别为1，2，3，4 的红色黄色白色的球各4 个，现从中任意摸出4 个球，则摸出白球个数的期望是()a13b23c43d537 （ 4 分）函数( |2|)sin2xyxx的图象大致是()第2页（共 21页）abcd8 （ 4 分）已知函数( )()()f xxaxbx，其中01ab，则下列不等式不成立的是()a()2abfabb()fababc()2abfbd()2abfa9 （ 4 分）在数列 nx中，21,12nnnxxxn，设其前 n 项和为ns ，则下列命题正确的是(

3、)a1012110()xxxxb1101011099xxsxxc122kkxxxd若11nnnxxn，则1(1)2nnn nsnx10 （4 分）正2021 边形122021a aa内接于单位圆o，任取它的两个不同的顶点a，ja ，构成一个有序点对(,)ja a，满足 |1joaoa的点对1( a ，)ja的个数是 ()a2021673b2021674c20211346d20211348二、填空题：本大题共7 小题，共36 分多空题每小题6 分，单空题每小题6 分11 （6 分）已知数列an 满足 sn2an1，则 a1，sn12 （6 分）已知,2x，且1sin(2)23x，则cos 2x，

4、tanx13 （6分）设323401234(1)(2)xxaa xa xa xa x，则0a，1234234aaaa14 （6 分）有 3 个少数民族地区，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师，现将3 名支医医生 (1男 2 女）和 6 名支教教师(3男 3 女）分配到这3 地区去工作，第3页（共 21页）（1）要求每个地区至少有一名男性，则共有种不同分配方案；（2）要求每个地区至少有一名女性，则共有种不同分配方案15 （4 分）在三棱锥dabc中，abc是边长为2 的等边三角形，2dadb，二面角dabc为120，则三棱锥dabc外接球的半径为16 （4 分）设函数sin3xy在 t ，1

5、t上的最大值为( )m t ，最小值为( )n t ，则( )( )m tn t在3722t上的最大值为17 （4 分）在四边形abcd中，已知( 1,0)a，(2,0)b，2abcbac， |2|dbda ，若c，d两点关于y轴对称，则 |cd三、解答题：本大題共5 小题，共74 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤18 （14 分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a ，b，c ， 已知sinsinsinbbaaca（1）求证：2ba；（2）若abc是锐角三角形，求sinsinac的取值范围19 （15 分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，2abad，60abc，pa平面

6、,3abcd pa（1） 点e在线段pc上，37pepc ， 点f在线段pd上，35pfpd ， 求证：pc平面aef；（2）设m是直线ac上一点，求cm的长，使得mp与平面pcd所成角为4520 （15 分）已知数列na满足：111,( 2)nnnnaaqa（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求q的值；（2）若 |1q，求证：11|32nnna21 （15 分）如图，已知和抛物线是圆 c1上一点， m 是抛物线 c2上一点， f 是抛物线c2的焦点（1）当直线 pm 与圆 c1相切，且 |pm|fm |时，求 x0的值；第4页（共 21页）（2）过 p 作抛物线c2的两条切线pa，pb

7、，a，b 分别为切点，求证：存在两个x0，使得 pab 面积等于22 （15 分）设21( )12xf xex ，xr，证明：（1）2141122xxxex，0 x， 1；（2）若正实数0 x 满足012()1f xnn，则必有*012,12xnnnn第5页（共 21页）2021年浙江省杭州高级中学高考数学仿真模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （ 4 分）椭圆22149xy的离心率是()a53b52c133d132【解答】 解：由椭圆方程为22149xy可知，29a，24b，2225cab，5

8、c椭圆的离心率53cea故选：a2 （ 4 分）已知复数z1+2i，i 为虚数单位，则等于（）abcd【解答】 解：复数z1+2i，i 为虚数单位，故选： a3 （ 4 分）设点( , )p x y 所在区域为11,1xyxy，则 2xy 的最大值为()a1b0c1d2【解答】 解：由约束条件作出可行域如图，第6页（共 21页）由图可知，(1,0)a，令2zxy，化为2yxz，由图可知，当直线2yxz过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2故选：d4 （ 4 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）abc8d16【解答】 解：由题意可知几何体的是三棱锥，一个侧面与底面垂直

9、，所以 v故选： b5 （ 4 分）设(, ) |,(, ) |21ax yykxbx yyx，则“11k”是“ ab”的 ()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【解答】 解：若 ab，则 ykx 与121()2yxx的图象有交点，如图，第7页（共 21页）若相切时，设切点为(, )m n ,212 2121yxx,则12121kmkmm,1m,1k,由图知0k,01k,0 ,1 1,1,11k是 ab的必要不充分条件，故选：b6 （ 4 分）已知在盒中有编号分别为1，2，3，4 的红色黄色白色的球各4 个，现从中任意摸出4 个球，则摸出白球个数的期望是()a13

10、b23c43d53【解答】 解：设摸出的白球的个数为x，则x的可能取值为0,1,2,3,4，所以4841214(0)99cp xc,1348412224(1)495c cp xc,1248412168(2)495c cp xc,314841232(3)495c cp xc,40484121(4)495c cp xc,所以摸出白球个数的期望是142241683214()01234994954954954953e x故选：c第8页（共 21页）7 （ 4 分）函数( |2|)sin2xyxx的图象大致是()abcd【解答】 解：当(0,1)x时，0y,所以排除bc；函数的图象关于1x对称，而且1x

11、时，2y，排除选项d，故选：a8 （ 4 分）已知函数( )()()f xxaxbx，其中01ab，则下列不等式不成立的是()a()2abfabb()fababc()2abfbd()2abfa【解答】 解：2()()()1() fababaabbababab，01ab，201()1ab,又2abab,()2abfabab,选b不选a；2( )()()(1)f xxa xbxxabxab ，对称轴为122ababx,( )bf a ,( )af b ,122ababab,函数( )f x 在1(2ab,) 上是单调递增的，( )()( )2abf aff b ,即()2abafb,不选cd故选：

12、b9 （ 4 分）在数列 nx中，21,12nnnxxxn，设其前 n 项和为ns ，则下列命题正确的是()a1012110()xxxxb1101011099xxsxxc122kkxxx第9页（共 21页）d若11nnnxxn，则1(1)2nnn nsnx【解答】 解：a由212nnnxxx得121nnnnxxxx，设1nnnxxd ，则12nddd ，10112912199()xxddddxx，故a错b取110 x，101x，知b错；c3k时，数列10， 9，8，7，6，5 不满足，知c错d由101nnnxxn，知nx递增，11121321112()3()()(1)()(1)nnnnnnnx

13、xsxxxxxn xxnxxnx111(1)12(1)2nnn nxnnxnx所以1(1)2nnn nsnx，知d正确故选：d10 （4 分）正2021 边形122021a aa内接于单位圆o，任取它的两个不同的顶点a，ja ，构成一个有序点对(,)ja a，满足 |1joaoa的点对1( a ，)ja的个数是 ()a2021673b2021674c20211346d20211348【解答】 解：设 oa 、joa夹角为，211|22cos1,cos2joaoa，所以1,joa oa的夹角不超过23，对于任意给定的1oa ，因为22673.6632021，满足| 1joaoa的向量joa的取法

14、共有67321346，再让1oa 动起来，点对1( a ，)ja的个数是20211346故选：c二、填空题：本大题共7 小题，共36 分多空题每小题6 分，单空题每小题6 分11 （6 分）已知数列an 满足 sn2an1，则 a11，sn2n1【解答】 解：数列 an满足 sn2an1，s12a11? a1 1，且 n2 时， sn12an11，可得： an2an2an1，即 an2an1，数列 an是首项为1，公比为2 的等比数列，故 sn2n1，第10页（共 21页）故答案为： 1，2n112 （6 分）已知,2x，且1sin(2)23x，则cos 2x13，tanx【解答】 解：因为1

15、sin(2)cos223xx ,则1cos23x所以2222221113cos xsin xtan xcos xsin xtan x,解得 tan2x,因为,2x，所以tan0 x,所以 tan2x故答案为：13,2 13 （ 6分 ） 设323401234(1)(2)xxaa xa xa xa x， 则0a8，1234234aaaa【解答】 解：323401234(1)(2)xxaa xa xa xa x，则令0 x，可得08a，对所给的等式，两边对x 求导数，可得32231234(2)3(1) (2)234xxxaa xa xa x，再令1x，可得123423427aaaa，故答案为：8；

16、2714 （6 分）有 3 个少数民族地区，每个地区需要一名支医医生和两名支教教师，现将3 名支医医生 (1男 2 女）和 6 名支教教师(3男 3 女）分配到这3 地区去工作，（1）要求每个地区至少有一名男性，则共有324种不同分配方案；（2）要求每个地区至少有一名女性，则共有种不同分配方案【解答】 解：根据题意， 不考虑限制条件，将 3 名支医医生(1男 2 女）和 6 名支教教师(3 男3 女）分配到这3 地区，有222336423333540c c caaa种安排方法；（1）若存在有地区没有男性，即存在某个地区全部为女性的情况，第11页（共 21页）有2212122423322222(

17、)()216c cc c caaa种安排方法，若要求每个地区至少有一名男性，有540216324种符合题意的安排方法；（2）若存在有地区没有女性，即存在某个地区全部为男性的情况，有22122242332222()()108c cc caaa种安排方法，若要求每个地区至少有一名男性，有540108432种符合题意的安排方法；故答案为：（ 1）324， （2） 43215 （4 分）在三棱锥dabc中，abc是边长为2 的等边三角形，2dadb，二面角dabc为120，则三棱锥dabc外接球的半径为133【解答】 解：取ab的中点e,连结ce,de，因为abc为等边三角形，所以acbc，adbd，

18、又e为ab的中点，所以deab，ceab，故dec为二面角dabc的平面角，所以120dec，在平面dec中，过点e作efde，因为deab，ceab，cedee，ce,de平面dec，所以ab平面dec，又ef平面dec，所以efab,又 abdee ，ab,de平面abd，所以ef平面abd，则球心o在直线ef上，又球心o在cd的中垂线上，则球心o为线段cd的中垂线与ef的交点，设外接球的半径为r，在oce中，3ec,30ceo，21eor,由余弦定理可得2222cos30ocecoeec oe，故22233(1)2312rrr,第12页（共 21页）所以133r,所以三棱锥dabc外接球

19、的半径为133故答案为：13316 （4 分）设函数sin3xy在 t ，1t上的最大值为( )m t ，最小值为( )n t ，则( )( )m tn t在3722t上的最大值为1【解答】 解：函数sin3xy的周期为6，函数sin3xy在3 9,2 2上递减，当3722t时，3 9 ,1,2 2t t，(1)( )( )sinsin2cos()sin()cos()13336636ttttm tn t当52t时取最大值1故答案为： 117 （4 分）在四边形abcd中，已知( 1,0)a，(2,0)b，2abcbac， |2|dbda ，若c，d两点关于y轴对称，则 |cd3【解答】 解：2

20、abcbac，tantan 2abcbac，22tantan1tanbacabcbac，当点c在 x 轴上方时，tanacback， tanbcabck，第13页（共 21页）故有221acbcackkk，当点c在 x 轴下方时，tanacback， tanbcabck，故有221acbcackkk，两者都有2201acbcackkk，2(1)20bcacackkk，设c点的坐标为( , )x y ，又( 1,0)a，(2,0)b，22(1)202(1)1yyyxxx，化简得2213yx，abc的顶点c的轨迹方程为221(1)3yxx，由 |2|dbda ，设2222( , ), (2)2 (

21、1)d x yxyxy，得点d的轨迹方程为22(2)4(0)xyy，把圆22(2)4(0)xyy沿y轴翻折，得到圆的方程为22(2)4(0)xyy，翻折后圆的方程与221(1)3yxx联立，解得32x，|3cd，故答案为： 3三、解答题：本大題共5 小题，共74 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤18 （14 分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a ，b，c ， 已知sinsinsinbbaaca（1）求证：2ba；（2）若abc是锐角三角形，求sinsinac的取值范围【解答】 解： （1）由sinsinsinbbaaca得22baac ，由余弦定理2222cosbacacb，代入2

22、2baac得22cosaccacb ，则2cosacab，由正弦定理得sinsin2sincosacab，第14页（共 21页）所以 sinsin()2sincosaabab，得 sinsin()aba ，由220baac知ba，故ba，所以aba或()aba（舍去）所以2ba，（2）3ca，由 0,02,03222aaa得64a，sinsinsinsinsinsin 3sin(2 )sincos2cossin 2aaaacaaaaaaa，32sin11(,1)3sin4sin34sin2aaaa19 （15 分）如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，2abad，60abc，pa平面,

23、3abcd pa（1） 点e在线段pc上，37pepc ， 点f在线段pd上，35pfpd ， 求证：pc平面aef；（2）设m是直线ac上一点，求cm的长，使得mp与平面pcd所成角为45【解答】 解法1 :（1）证明：337,cos77pcapcpe，由余定理得：9332 33237777ae，所以222aepepa ，peae，774533cos,7755277cpdpfpd，2222162cos175efpepfpe pfcpd，满足222peefpf，所以peef，又 aeefe ，所以pc平面aef（2）设cma，点m到平面pcd的距离为h，第15页（共 21页）则由pabcdmp

24、cdvv，得：112sin60327sin22apcdh ，解得32 6ha ，所以 sin 45hpm，即2232 6sin45,16280(2)3aaaa，解得2a或14a，从而得m点与a点重合或在ac的反向延长线上，则得2cm或14cm解法2:（1）证明：以ab所在直线为x轴，以ap所在直线为z 轴建立空间直线坐标系，则(2,0,0),(1,3,0),( 1,3,0),(0,0,3)bcdp，33 3 33 3(1, 3,3),(,)7777pcpepc，3 3 3 4 3(,),0777aeappeae pc，所以pcae，又 aeefe ，所以pc平面aef（2）(2,0,0),(

25、2,0,3),( 1,3,0)dcdpbc，( 2,0,3)bp，设1111(,)nxy z是平面pcd的一个法向量，则111120330 xxyz，得1(0,1,1)n，(1,3,0)ac，设(,3 ,0)amac，( ,3 ,3)pm，12|33 |sin 45| |432pmnpmn，得到0或6从而得m点与a点重合或在ac的反向延长线上，则得2cm或14cm第16页（共 21页）20 （15 分）已知数列na满足：111,( 2)nnnnaaqa（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求q的值；（2）若 |1q，求证：11|32nnna【解答】（1）解：因为111,( 2)nnnnaa

26、qa，所以123211111,()2222aaq aqaqq ，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2213aa a ，则2111()()222qqq ，所以12q；（2）证明：由| 1q，得1| |( 2)( 2)22nnnnnnnnnnnnnaqaqaqaa，所以11|()2nnnaan，当2n时，112211|(|)(|)(|)|nnnnnaaaaaaaa221111112 ()(2) ()(1)( )|2222nnnna，设22111112 ()(2) ()(1)( )2222nnsnn，则23111111( )2 ()(2) ()(1)( )22222nnsnn，由可得，231

27、111111111()()()(1)( )1()(1)( )22222222nnnnsnn，第17页（共 21页）所以1111122()2(1)( )2222nnnnsn，故111|32nnnasa21 （15 分）如图，已知和抛物线是圆 c1上一点， m 是抛物线 c2上一点， f 是抛物线c2的焦点（1）当直线 pm 与圆 c1相切，且 |pm|fm |时，求 x0的值；（2）过 p 作抛物线c2的两条切线pa，pb，a，b 分别为切点，求证：存在两个x0，使得 pab 面积等于【解答】 解： （1）焦点 f 坐标为（ 0，1） ，设，则，由抛物线定义，m 到焦点距离等于到抛物线准线y 1

28、 的距离，可得，由|pm|fm，得所以或，所以或，此时 pm 与准线 y 1 垂直，所以或（2）证明：设p（x0， y0） ，则设直线 pa 方程为 yy0 k1（ xx0） ，代入 x2 4y，第18页（共 21页）得 x24k1x4（y0k1x0） 0，所以 16k12+16（y0k1x0） 0，整理得， 同理，直线pb 方程为 yy0k2（xx0） ，有，由 知， k1， k2是方程 k2 kx0+y00 的两根，所以 k1+k2x0，k1k2y0，由切线意义知，在x24k1x 4（y0k1x0） 0 中， xa+xa 4k1，则 xa2k1，所以，同理，直线 ab 方程为，即，所以，所

29、以，所以p（x0，y0）到直线ab的距离，所以，联立，得，所以 x01 或，设，显然，又 f（x0）在上递增，所以在上有唯一零点，所以存在两个x0，使得 p ab 面积等于22 （15 分）设21( )12xf xex ，xr，证明：（1）2141122xxxex，0 x， 1；第19页（共 21页）（2）若正实数0 x 满足012()1f xnn，则必有*012,12xnnnn【解答】 证明： （1）设21( )12xg xexx，则( )1xg xex，当0 x， 1时，( )1 0 xgxe所以( )1xg xex在 0 ， 1上单调递增，又(0)0g，故( )1(0)0 xg xexg，所以21( )12xg xexx在 0 ， 1上单调递增，又(0)0g，( )(0)g xg，2112xexx （3 分）而412(2)02xxexxex，设( )2(2)xh xxxe，0 x， 1则( )1(1)xh xxe，( )0 xhxxe所以( )1(1)xh xxe在 0 ， 1上递增，又( )(0)0h xh所以( )2(2)xh xxxe在 0 ， 1上递增，又(0)0h所以( )(0)0h xf，即412xex所以2141