2020-2021学年山东省济南市德润高级中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

1、2020-2021 学年山东省济南市德润高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分） .1复数（ 2+i）（ |3+4i|i）的虚部为（）a3b 7ic 3id 72设向量，向量，若向量与向量共线，则m 的值为（）abc6d 63 设向量， 向量， 若向量与向量垂直， 则 n 的值为（）abcd4 已知 abc 是边长为 a 的正三角形，那么 abc 平面直观图 abc的面积为（）aa2ba2ca2da25如图，在 abc 中，点 d 在 bc 边上， adc60， cdad2，bd4，则 sinb 的值为（）abcd6已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的

2、高为3， 体积为 6， 则这个球的表面积为（）a16b20c24d327用与球心距离为1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（）abcd8如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）a7 cm2b8 cm2c9 cm2d11 cm2二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。9已知 ，是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）a若 m ，n ，则 mnb若 m ，m ，则 c若 ，m ，则 md若 ，m ，则

3、m10一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2r 相等，下列结论正确的是（）a圆柱的侧面积为2 r2b圆锥的侧面积为2 r2c圆柱的侧面积与球面面积相等d圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：211如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）aaf 与 cn 平行bbm 与 an 是异面直线caf 与 bm 是异面直线dbn 与 de 是异面直线12在棱长为1 的正方体abcda1b1c1d1中，下列结论正确的是（）a异面直线bd1与 b1c 所成的角大小为90b四面体 d1dbc 的每个面都是直角三角形c二面角 d1bcb1的大小为30d正方体abcda1b1c1

4、d1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13空间两个角 ，的两边分别对应平行，且 60，则 14在四边形abcd 中，（4，2），（ 7，4），（ 3，6），则四边形abcd的面积为15在 abc 中， ab ac 5， bc 6，pa平面abc， pa 8，则p 到 bc 的距离为16如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点a、b，望对岸的标记物c，测得 cab45， cba75，ab120 米，则 ab：bc，这条河的宽度为四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知平面向量（ 3，

5、4），（ 9，x），（ 4，y），且，（1）求与；（2）若2 ，+，求向量、的夹角的大小18在 ， 2ccoscacosb+bcosa 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答在 abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，_（1）求角 c；（2）若 c，求 abc 的面积19如图，矩形adef 与梯形 abcd 所在的平面互相垂直，adcd，abcd， abad2，cd4，m 为 ce 的中点（）求证：bm平面 adef；（）求证：bc平面 bde20如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱abca1b1c1中， f，f1分别是ac，a1c1的中点求证：（1）平

6、面 ab1f1平面 c1bf；（2）平面 ab1f1平面 acc1a121在四棱锥pabcd 中，底面abcd 是正方形，侧面pad 是正三角形，平面pad底面 abcd（1）证明： ab平面 pad；（2）求面 pad 与面 pdb 所成的二面角的正切值22如图，四边形abcd 中， adc， adabbccd，aeec，沿对角线ac 将 acd 翻折成 acd，使得 bdbc（1）证明： becd；（2）求直线 be 与平面 abd所成角的正弦值参考答案一、选择题（共8 小题） .1复数（ 2+i）（ |3+4i|i）的虚部为（）a3b 7ic 3id 7解：（ 2+i）（ |3+4i|i

7、）（ 2+i）（ 5i） 11+3i，其虚部为3故选： a2设向量，向量，若向量与向量共线，则m 的值为（）abc6d 6解：与共线，32（ 1）?m0，解得 m 6故选： d3 设向量， 向量， 若向量与向量垂直， 则 n 的值为（）abcd解：向量，向量，若向量与向量垂直，则 （）?（） 611+36（ n2+9） 119+390，则 n，故选： d4 已知 abc 是边长为 a 的正三角形，那么 abc 平面直观图 abc的面积为（）aa2ba2ca2da2解： 正三角形 abc 的边长为a， 故面积为a2， 而原图和直观图面积之间的关系，故直观图 abc的面积为故选： a5如图，在 a

8、bc 中，点 d 在 bc 边上， adc60， cdad2，bd4，则 sinb 的值为（）abcd解： adc 60， cdad2，可得 adc 为等边三角形，可得ac2，c60，bc4+26，由余弦定理可得ab2ac2+bc2 2ac?bc?cosc4+362?2?6?28，即 ac2，由正弦定理可得sinb，故选： d6已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥的高为3， 体积为 6， 则这个球的表面积为（）a16b20c24d32解：正四棱锥pabcd 的外接球的球心在它的高po1上，记为 o，poaor， po1 3，oo1 3r，在 rtao1o 中， r23+（3r）2得 r2，球的表

9、面积s16故选： a7用与球心距离为1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（）abcd解：截面面积为?截面圆半径为1，又与球心距离为1? 球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选： b8如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为（）a7 cm2b8 cm2c9 cm2d11 cm2解： s 9 ，故选： c二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。9已知 ，是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）a若 m ，

10、n ，则 mnb若 m ，m ，则 c若 ，m ，则 md若 ，m ，则 m解：对于a，若 m ，n ，则 m n，故 a 正确；对于 b，若 m ，m ，则 或 与 相交，故b 错误；对于 c，若 ，m ，则 m或 m? 或 m 与 相交，故 c 错误；对于 d，若 m ，则 m 垂直 内的所有直线，又 ，则 m 垂直 内的所有直线，则m ，故 d 正确故选： ad10一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2r 相等，下列结论正确的是（）a圆柱的侧面积为2 r2b圆锥的侧面积为2 r2c圆柱的侧面积与球面面积相等d圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2解： a圆柱的侧面积2 r

11、2r4 r2，因此 a 不正确；b圆锥的侧面积2 r r2，因此 b 不正确；c圆柱的侧面积4 r2，因此与球面面积相等，可得c 正确；d圆柱的体积 r22r2 r3，圆锥的体积 2r，球的体积r3，可得它们的体积之比为3：1： 2，因此 d 正确故选： cd11如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（）aaf 与 cn 平行bbm 与 an 是异面直线caf 与 bm 是异面直线dbn 与 de 是异面直线解：把正方体的平面展开图还原原正方体如图，由正方体的结构特征可知，af 与 cn 异面垂直，故a 错误；bm 与 an 平行，故b 错误；bm? 平面 bcmf ，f 平

12、面 bcmf ，a?平面 bcmf ，f?bm，由异面直线定义可得，af 与 bm 是异面直线，故c 正确；de? 平面 adne，n 平面 adne，b?平面 adne，n? de，由异面直线定义可得，bn 与 de 是异面直线，故d 正确故选： cd12在棱长为1 的正方体abcda1b1c1d1中，下列结论正确的是（）a异面直线bd1与 b1c 所成的角大小为90b四面体 d1dbc 的每个面都是直角三角形c二面角 d1bcb1的大小为30d正方体abcda1b1c1d1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为解：如图，在棱长为1 的正方体abcda1b1c1d1中，d1c1平面 b

13、b1c1c，则 d1c1 b1c，又 b1cbc1，d1c1bc1c1， b1c平面 bc1d1，则 b1cbd1，即异面直线bd1与 b1c 所成的角大小为90，故 a 正确；dd1底面 abcd， dd1db，dd1dc，再由 bc平面 dd1c1c，可得 bcdc，bcd1c，得四面体d1dbc 的每个面都是直角三角形，故b 正确；由 bc平面 dd1c1c，可得 bcd1c，bccc1，即 d1cc1为二面角 d1bc b1的平面角，大小为45，故 c 错误；正方体 abcd a1b1c1d1的内切球的半径为，外接球的半径为，则正方体abcd a1b1c1d1的内切球上一点与外接球上一

14、点的距离的最小值为，故 d 正确故选： abd三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13空间两个角 ，的两边分别对应平行，且 60，则 60或 120解：如图，空间两个角 ，的两边对应平行，这两个角相等或互补， 60， 60或 120故答案为： 60或 12014在四边形abcd 中，（4，2），（ 7，4），（ 3，6），则四边形abcd的面积为30解：（ 4， 2），（ 7，4），（ 3， 6），? 4326 0，（ 3，6），（ 4，2），四边形abcd 为矩形，|，|，四边形abcd 的面积为30，故答案为： 3015 在 abc 中， abac5， bc 6， pa

15、平面 abc， pa8， 则 p 到 bc 的距离为4解：如下图所示：设 d 为等腰三角形abc 底面上的中点，则pd 长即为 p 点到 bc 的距离又 ad 即为三角形的中线，也是三角形bc 边上的高bc 6，abac5，易得 ad4在直角三角形pad 中，又 pa 8pd故答案为16如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点a、b，望对岸的标记物c，测得 cab45， cba75， ab120 米， 则 ab： bc， 这条河的宽度为（ 60+20）米解：在 abc 中， cab 45， cba75， acb 60，由正弦定理得， ac60+20，作 cdab，则 cd 的长为河宽，在 rt

16、adc 中， cab45，cdac?sincad（60+20） 60+20故答案为：，（ 60+20）米四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知平面向量（ 3，4），（ 9，x），（ 4，y），且，（1）求与；（2）若2 ，+，求向量、的夹角的大小解：（ 1）由得 3x 490，解得 x12；由得 94+xy0，解得 y 3；所以（ 9，12），（ 4， 3）；（2）2 （ 3， 4），+（ 7，1）；所以? 3741 25，| |5，| |5；所以 cos，所以向量、的夹角为18在 ， 2ccoscacosb+bcosa 这两个条件中任选一个，

17、补充在下面问题中的横线上，并解答在 abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，_（1）求角 c；（2）若 c，求 abc 的面积解：若选择 ，（1）由正弦定理可得：，整理可得：a2+b2c2ab，由余弦定理可得cosc，因为 c （0， ），所以 c（2）因为 c，c，所以由余弦定理c2a2+b22abcosc，可得 5a2+b2ab（ a+b）23ab113ab，解得 ab 2，所以 sabcabsinc若选择 ， 2ccoscacosb+bcosa，（1）由正弦定理可得：2sinccoscsinacosb+sinbcosasinc，因为 c 为三角形内角，sinc0，所以可得c

18、osc，因为 c （0， ），所以 c（2）因为 c，c，所以由余弦定理c2a2+b22abcosc，可得 5a2+b2ab（ a+b）23ab113ab，解得 ab 2，所以 sabcabsinc19如图，矩形adef 与梯形 abcd 所在的平面互相垂直，adcd，abcd， abad2，cd4，m 为 ce 的中点（）求证：bm平面 adef；（）求证：bc平面 bde【解答】证明：（）取de 中点 n，连结 mn，an在 edc 中， m，n 分别为 ec，ed 的中点，所以 mncd，且由已知 abcd，所以 mnab，且 mnab所以四边形abmn 为平行四边形所以 bman又因为

19、 an? 平面 adef，且 bm? 平面 adef ，所以 bm平面 adef （）在矩形adef 中， edad又因为平面adef平面 abcd ，且平面 adef平面 abcdad，所以 ed平面 abcd所以 edbc在直角梯形abcd 中， abad 2，cd4，可得在 bcd 中，因为 bd2+bc2cd2，所以 bcbd因为 bdded，所以 bc平面 bde 20如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱abca1b1c1中， f，f1分别是ac，a1c1的中点求证：（1）平面 ab1f1平面 c1bf；（2）平面 ab1f1平面 acc1a1【解答】证明：（1）在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱abca1b1c1中，f，f1分别是 ac，a1c1的中点，b1f1bf，af1c1f；又 b1f1af1f1， c1f bff，平面 ab1f1平面 c1bf（2）在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱abca1b1c1中，aa1平面 a1b1c1，b1f1aa1；又 b1f1a1c1，a1c1aa1a1，b1f1平面 acc1a1，又 b1f1? 平面 ab1f1，平面 ab1f1平面 acc1a121在四棱锥pabcd 中，底面abcd 是正方形，侧面pad 是正三角形，平面pad底面 abcd（1）证明： ab平面 pad；（2）求面 pad