2020届河北省衡水中学高三下学期第八次调研数学(文)试题(解析版)

1、2020 届河北省衡水中学高三下学期第八次调研数学（文）试一、单选题21设全集为 R，集合 A x|x2 2x 0 ，集合 B x| x 1 ，则 AI B （ ）A 1,1B 1,2C 0,1D 0,2【答案】 C【解析】 化简集合 A,B ，根据交集的定义，即可求解 .【详解】A 0,2 ， B 1,1 ，所以 AI B 0,1 ， 故选： C.【点睛】 本题考查集合的运算，属于基础题 .20202已知复数 z i2020 1 i ，则 z 的模z （ ）A1B 2C 3D4【答案】 B【解析】 由i 2020 1,z 1 i ，根据模长公式，即可求解【详解】已知 z 1 1 i 1 i

2、，所以 z 2 ，故选： B【点睛】本题考查虚数的定义，以及复数的模长，属于基础题 .3在 2019年的国庆假期中，重庆再次展现 “网红城市 ”的魅力，吸引了 3000 多万人次 的客流 .北京游客小李慕名而来，第一天打算游览“洪崖洞 ”， “解放碑 ”，“朝天门 ”如.果随机安排三个景点的游览顺序，则最后游览 “朝天门 ”的概率为（ ）CBD5623答案】 C解析】 “洪崖洞 ”，“解放碑 ”，“朝天门 ”分别记为 A,B,C ，列出游览三个景点的所有安 排顺序，确定最后游览 “朝天门 ”安排个数，根据古典概型的概率即可求解详解】洪崖洞 ”， “解放碑 ”，“朝天门 ”分别记为 A,B,C

3、， 随机安排三个景点的游览顺序，有以下安排方法：A,B,C, A,C, B, B, A,C, B,C,A ， C,B, A, C,A,B 共有 6种安排方法，其中最后游览朝天门 ”由 2 种安排方法其概率为 P故选： C点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题4已知非零向量a，bv 满足：1,1v vv1， a bb ，则向量vvav，b 的夹角大小为(A6BC 3D答案】解析】由ab，a1,11，求出a b ，再由向量的夹角公式，即可求2 r r r有0221解.【详解】 rr 由 a b有 cos点睛】 本题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角，属于基础题5已知正方体 ABCD A1B1C

4、1D1 的棱长为 1，其内切球与外接球的表面积分别为S1 ，S2 ，则S1S2A11B21 D 4根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方答案】体的对角线，求出半径，由球的表面积公式，即可求解【详解】内切球的半径 r11外接球的半径 r23，222所以表面积之比为S1r1 1.S2r2 3故选： C.【点睛】本题考查正方体的内切球和外接球的表面积，属于基础题解析】6已知 tan2 ，则 sin2sin 的值为()2234ABCD5555【答案】 B【解析】 首先利用诱导公式化简函数解析式，之后利用正余弦平方和等于1，得到关于弦的分式型二次齐次式，之后化成切的式子，代

5、入求解得结果 .【详解】cos sin tan 2 2sin sin cos sin 2 2 2 ，2cos2 sin 21 tan21 4 5故选： B.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值的问题， 涉及到的知识点有诱导公式， 同角三角函 数关系式，属于简单题目 .7如图所示的一个算法的程序框图，则输出d 的最大值为（ ）A 2B 2C 1 2【答案】 C【解析】【详解】 模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆 y上的点到直线 xy20 的距离的最大值，如图：D 1 2 2可得： d 的最大值为 OP+r +1故选： Cf x ，当 x 0,3 时，xf x 2 ，则 f log 2

6、 192 (）11ABC223【答案】 D8已知 f x 是定义在 0, 的函数，满足 f x 3解析】 根据条件确定函数的周期为D36，利用函数周期性进行转化即可详解】f x 3 f x f x 6 f x ，T 6f log2 192log2 64 3 f 6 log2 3 f log23 2log2 3 3，故选： D.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有函数的周期性， 对数式的运算法则，属于简单题目 .9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）11 22344 113C 44 11D 11 22答案】 B【解

7、析】 借助长方体作出棱锥，利用球心到顶点的距离相等确定 性质求出半径，即可计算 .【详解】O 的位置，利用球的由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 A BCD ，F 为 BD的中点，外接球球心 O在过 CD的中点 E且垂直于平面 BCD的直线 l上，又点 O到 A, B,D的距离相等，所以 O 又在过左边正方体一对棱的中点M,N 所在直线上，在 OEN中，由 NNFE MOFE ，即 23 O2E ，得OE 3，所以三棱锥 ABCD 外接球的球半径R OE 2 BE232 ( 2) 211 ，44 113点睛】本题主要考查了三视图，棱锥的外接球，球的体积，属于中档题f(x2),x 1f (x

8、)loga(x1) 恰有10已知函数 f(x)x1,1x1，关于 x 的方程5 个解，则 a 的取值范围为()11111111A aBaCaDa75756464【答案】 B【解析】 根据 f(x) 求出 f(x) 有表达式，可用图象来分析，再由f(x) 的图象与g(x) loga(x 1)有 5个交点可得 a 的范围【详解】由题意函数 y f(x) 的图象与 y loga(x 1)的图象有 5个交点f(x) 的图象只有象与 1,1上相同，如图，若 a 1，则 y loga (x 1) 是增函数，它与一个交点，不合题意， 当 0 a 1时 y loga(x 1)是减函数，要有 5 个交点，log

9、a (4 1)111因此有 a ，解得 1 a 1 loga (6 1) 175故选： B.【点睛】本题考查方程解的个数与函数零点问题解题时转化为函数图象交点个数， 通过数形结合思想求解11已知抛物线 x2 4 y的焦点为 F ,过直线 y x 2上任一点引抛物线的两条切线切点为 A,B,则点 F 到直线 AB的距离 (A 无最小值C 有最小值 ,最小值为 1【答案】 D2【解析】 设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,可得 x12程 l1 和以 B 为切点的切线方程 l 2 ,设过直线B无最大值D有最大值 ,最大值为 524y1,x22 4 y2 ,即可求得 A为切点的切线方y x 2上任

10、一点为 P x0,y0 ,将P x0,y0 代入 l1和l2,即可求得直线 AB的方程 ,进而求得点 F 到直线 AB的距离. 【详解】设 A x1,y1 ,B x2,y2 , 可得 x12 4y1,x22 4y2Q 以A 为切点的切线方程为l1: yy1x1xx1,即 yx1 xy1 22同理可得 ,以 B 为切点的切线方程为 l2: y x2 x y2 222设过直线 y x 2上任一点为 P x0,y0x1y0 2 x0 y1,P x0,y0 代入 得 2x2 y0x0 y2 ,2所以直线 AB 的方程为 y0x2x0y,即 y x20 xy0,x又Q y0 x0 2,即 y x0 x2

11、 1 2Q AB 过定点 P 2,2 ,当 PFAB时,F 0,1 到l的距离的最大值为 : 2 0 2 1 2 25.当 AB 过点 F 时 , 距离的最小值为 0 故选 :D.点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强 ,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识 ,解题时要注意合理地进行等价转化12已知函数 f x a 2a 1 e2x3a2 exx2有 4 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 (1A 2,eB1 e 12, 2C12,1U 1,eD12,11,e2答案】解析】因为 f0,故 a 2a2xe 3a 122 2 0,化简为 : aexx22a 1 e

12、x20,即 a2,2ax x 2 ,构造函数egxx2xe,求其最值即可求得实数a 的取值范围详解】x 得 aex可得 :a0,a 2ax22,2a1 e2x2a 1x2xe3a1x2 ex0,x2gxx , 则 g ex 0 时,x<0 时,x1x 在 , 1 上单调递增 ,在1,上单调递减故g20,g x maxg1 e,当x2, g x 0.Qx,g x,x,g x0 . 要使方程有 4 个不同的零点0ae则02a11 e, 可得a1e,a 1,222a1a故选 :D.【点睛】本题考查了函数零点问题 ,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题

13、关键 .二、填空题x 3y 4013设 x， y满足约束条件3x y 40，则 2x y 的最小值是xy0【答案】 -3【解析】 设 z 2x y，根据约束条件画出可行域， 可知 z 取最小值时， y 2x z在 y 轴截距最大； 由图象可知当 y 2x z过 A 时截距最大， 求出 A 点坐标，代入可得结果 .【详解】设 z 2x y ，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则 z取最小值时， y 2x z在 y 轴截距最大 由图象可知，当 y 2x z过 A 时，截距最大由 x 3y 4xy00 得： A 1,1zmin2 13 ，即 2x y min本题正确结果：点睛】本题考查线性规划

14、中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在 y 轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果314 对于三次函数 f x axbx2cx d a 0 ，定义：设 f x 是 f x 的导数，若方程 f x 0 有实数解x0 ，则称 x0, f x0 为函数 f x 的拐点 .某同学经过探索发现任何一个三次函数都有拐点 ”；任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点”就是对称中心 .设函数 g53x 12 ，则12g 2021 g 2021g 2020 g 20212020i11g i g 2021答案】 2020 0解析】 利用二阶导数求出三次函数gx的拐点，进而可得出三次函数图象的对称中心坐标，

15、由此可计算出1202122021g 2020 g 2021以及2020i1i120i21 的值.详解】Qg12x23x5123，g2x 1 ，令g0，得x112，又g1，所以，三次函数x 图象的对称中心坐标为12,1，即gx2，所以，1202122021g 2020g 202110102020，Q12n2 g 2n g 20212n2n20212n2021g 2n g 202122n 2n2021 20212022 4n2021222n 1 2n 132021 2021因此，2020i120211010n12n 21g2n 120212n 1g2n20211010 2022 4n2 n 1 2

16、02122022 10101010 1 101042220212故答案为： 2020； 0.点睛】 本题考查新定义 “拐点 ”的应用，涉及三次函数的对称中心以及等差数列求和问题，考查 计算能力，属于难题 .2 x 15 已知双曲线 C : 2 a22y2 1(a 0,b 0)的左 ,右焦点为 F1,F2,以 F1F2为直径的圆 b与双曲线 C的渐近线在第一象限交于点 P,线段 PF2与双曲线的交点 M 为PF2的中点,则双曲线 C 的离心率为 【答案】 5 1解析】 因为以 F1F2 为直径的圆与双曲线 C 的渐近线在第一象限交于点 P ,故222 xyca c bM a2 c ,b2 ,将其

17、代入x a,b 解得,求得 P a,b , 由中点坐标公式解得y x y b,a22x2 y2 1 ,即可求得双曲线 C 的离心率 . ab详解】Q 以 F1F2 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P,222 xycx a,b解得 :故 P a,by x y b,a又 Q F2 c,0,代入双曲线方程a c b2 ,2可得 :c2 2ac 4a2 0 ,化简可得 e2 2e 4 0e 1 5 ,又 e 1,e 5 1.故答案为 : 5 1.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题 ,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键 ,查分析能力和计算能力 ,属于中档题 .

18、16已知数列an,满足 nann 1 an 12 nN*,an的前 n项和为Sn ,对任意的n N* ,当 n 5时,都有 Sn S5,则 S5的取值范围为 .【答案】 5,6nan n 1 an 1 2【解析】 由 nan n 1 an 1 2,当 n 1,得 a1 2.由n n 1 可得n 1 an 1 nan 2 2anan22an 1 ,即可求得an为等差数列,结合当 n 5时,都有SnS5 ,即可求得S5的取值范围 .【详解】Q 由 nan n 1 an 1 2,当 n 1, 得 a1 2.Q nan n 1 an 1 2 可得 n 1 an 1 nan 2 2 由 得:an an

19、2 2an 1,故 an 为等差数列 又Q a1 2 0,S5最大 ,则 d 0,a5 0,a6 0,4d 0,5d 0又 S5 10 10d ,可得 S5 5,6故答案为 : 5,6【点睛】,掌握数列单调性是解本题的关键本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列考查了分析能力和计算能力 ,属于基础题 三、解答题 17已知数列 an ,是一个等差数列 ,且 a2 2,a1 a4 5,数列 bn 是各项均为正数的11 等比数列 ,且满足 :b1 1 ,b2 b4 1 .1 2 2 4 64（ 1）求数列 an 与 bn 的通项公式 ;2)求证 :a1b1 a2b2anbn答案】（ 1）an

20、n ，bn2）证明见解析解析】（ 1）因为 an为等差数列,设公差为 d ,则a1a1a12,3d5,即可求得首项和公差 ,即可求得an .因为bn为等比数列 ,b264,b32b1q2,即可求得公比 ,进而求得 bn2）因为 ann ,bnn,所以1Tn 1 12 21213n11 n, 根据数列求和错位2相减法 ,即可求得Tn ,进而求得答案 .详解】1)Qan 为等差数列 ,设公差为 d ,a1 d 2,a1 a1 3d 5,a1 1,d 1,an a1 n 1 d n.Q bn 为等比数列 ,bn 0 ,设公比为 q,则 q 0,b2b4 b32614 ,b31b1q264 38n1n

21、11 1 n1 n .q,bn2n222.2）令 Tna1b1a2b2a3b3anbn,Tn 1n可得:12Tn由-得:12Tn112n112Tn 2n1n22.故 a1b1 a2b2anbn 2.点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和 ,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 ,考查了学生的计算能力 ,属于基础题型 .18如图，已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD PA ，E点为 AD1）求证：平面 PAD 平面 ABCD ；2）若正方形的边长为 4，求 D 点到平面 PEC 的距离 .答案】（ 1）见解析；（ 2） DH 4 5

22、5解析】（1）PD PA，E点为 AD的中点，可知 PE AD ，再由已知条件 PE CD， 可证PE 平面 ABCD ，即可证明结论；2）连CE ，由（ 1）可得平面 PEC 平面 ABCD ，过 D作DH CE与H ，根据面 面垂直的性质定理，可得 DH 平面 PCE ，即 DH 为所求，且 DH 为 Rt CDE 斜边 上的高，可得出结论【详解】（ 1）证明：由 PD PA， E 点为 AD 的中点， 可知 PE AD ，再已知 PE CD ，且 AD ， CD 相交于 D ，则 PE 平面 ABCD.又 PE平面 ADP ，所以平面 PAD 平面 ABCD.（ 2）解：由（ 1）知 P

23、E 平面 ABCD ， 则平面 PEC 平面 ABCD，相交于 EC .作 DHEC，可知 DH 为D点到平面 PEC的距离，且 DH2 4 4 522 42 5点睛】本题考查面面垂直的证明以及面面垂直性质的应用， 考查空间垂直的转化， 属于基础题 . 192019 年双十一落下帷幕，天猫交易额定格在268（单位：十亿元）人民币（下同） ，再创新高，比去年 218（十亿元）多了 50（十亿元），这些数字的背后，除了是消费者 买买买的表现， 更是购物车里中国新消费的奇迹， 为了研究历年销售额的变化趋势， 一 机构统计了 2010 年到 2019 年天猫双十一的销售额数据 y （单位：十亿元） ，

24、绘制如下 表 1：表1年份2010201120122013201420152016201720182019编号 x12345678910销售额 y0.98.722.4416594132.5172.5218268根据以上数据绘制散点图，如图所示1）把销售额超过 100（十亿元）的年份叫 “畅销年 ”，把销售额超过 200（十亿元）的 年份叫 “狂欢年 ”，从 2010 年到 2019 年这十年的 “畅销年 ”中任取 2 个，求至少取到一个狂欢年 ”的概率；22）根据散点图判断， y a bx与y cx2 d哪一个适宜作为销售额 y关于 x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） ；（ 3）

25、根据（ 2）的判断结果及下表中的数据，建立y关于 x的回归方程，并预测 2020年天猫双十一的销售额 （注：数据保留小数点后一位）2参考数据： ti xi ，参考公式：对于一组数据 ui ,vi ， u2 ,v2， ， un,vn，其回归直线 v$ u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 nuivi nuv i1 n2uii12 nuv u 52答案】（1） 56（2） y cx2 d更适宜3) $y2.7x22.0，324.7 十亿元解析】（ 1）由表中数据可记畅销年中不是狂欢年为a,b，狂欢年为 A,B ，列举出基10yi 1020i110xi yi 8088i110ti385i1102

26、ti2 25380i110ti yi 67770i12(t)2 1483本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解 .（ 2）由散点图可得出回归方程类型 .（ 3）根据公式代入数据，求出 b$、 a$ ，得出回归方程，从而可求解 .【详解】解：（1）畅销年个数： 4，其中的狂欢年个数： 2，记畅销年中不是狂欢年为 a,b； 狂欢年为 A, B ，则总共有 （a,b），（a,A），（b,A）， （a,B），（b,B）， （A,B）5则 P（A） 562（ 2）由题意 y cx2 d 更适宜10ti yi 10ty3)b$i 1102ti2 10t i167770 1038.5 1022850

27、0570 2.7 ，211253801483010550$ y b$t 102 2.738.5 2.0 ，y$ 2.7x2 2.0 ，当x 11时， $y 324.7（十亿元），预测 2020 年双十一的销售额为 324.7 十亿元【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、 回归方程的求法， 考查了学生的数据分析与处理 能力，属于中档题 .2220已知椭圆 C ： x2 y2 1 a b 0 的两个焦点为 F1, F2 ,焦距为 2 2 ,直线 ab31l : y x 1与椭圆 C 相交于 A,B 两点 , P ,为弦 AB 的中点 .44（ 1）求椭圆的标准方程 ;（ 2）若直线 l : y

28、 kx m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M ,N ,Q 0,m ,若uuuuvOMuuuvONuuuv3OQO 为坐标原点）,求 m 的取值范围2 答案】（ 1） x3y2 1（ 2） 1 m 1或 1 m3解析】（ 1）因为 P 3, 1 为弦 AB的中点,设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,将其代入4422x2 y2 1利用点差法 ,即可求得答案a2 b2uuur 1 uuuur2）因为 M ,Q,N 三点共线 ,OQ 3OMuuur3ON , 根据三点共线性质可 31得:13 3 1,则2,将直线 l 和椭圆 C 联立方程kx3y2m,3消掉 y ,结合已知 ,利用韦达定理即可求得

29、答案【详解】1）Q 焦距为 2 2,则 c2,设 A x1,y1 ,B x2,y23:x1 x2 2 , y1 y231Q P ,为弦 AB 的中点 ,根据中点坐标公式可得4422又 Q 将其 A x1,y1 ,B x2 ,y2 代入椭圆 C : x2 y2 1 ab2 2 2 2 2 2 b x1 a y1 a b2 2 2 2 2 2 b x2 a y2 a b将两式作差可得:b2 x1 x2x1 x22a y1y2 y1 y2 0,kAB y1 y2x1x22 b x1 x22ay1y23b22a1,22a2 = 3b2.Q a2 b2c2由得:2 a b2椭圆的标准方程为1.uuur2

30、)Q M ,Q,N 三点共线 ,OQ1 uuuur OM3uuurON3设M1 根据三点共线性质可得 :31x1,y1 ,N x2,y2 ,则 33x1x12x2 .将直线l 和椭圆 C 联立方程1,则323x2 0,kx m, k3xy2m,3消掉y.2可得 : 1 3k 26kmx23m3 0.0 3k 20 ,根据韦达定理 : x1x26km ,x x2 ,x1x21 3k2 1 223m 31 3k2代入 x12x2 ,可得: x26km1 3k2, 2x223m2 31 3k 22236k2m23k223m2 31 3k2,即9m221 3k22m.Q 9m220,m3k22m20

31、,9m2 12代入 式得 1 2m m29m2 10,即9m2m2 110,m2 m2 1 9m2 1 0 ,12m2 1满足 式,91 m 1 或 1 m3点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系 ,所使用方法为韦达定理法 :因直线的方程是一次 的 ,圆锥曲线的方程是二次的 ,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题 ,最终 转化为一元二次方程问题 ,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一 尤其是弦中点问题 ,弦长问题 ,可用韦达定理解决 .x21已知函数 f (x) ex ax.11）若函数 f（x）在x （ ,2） 上有 2个零点，求实数 a的取值范围 .（注 e3

32、19）22）设 g（x） f（x） ax2 ，若函数 g（ x）恰有两个不同的极值点 x1， x2 ，证明：x1 x22ln(2 a) .【答案】（1） a （e,2 e） （2）见证明【解析】x（1）将 a 分离，构造函数 h x e ，利用导数研究 h x 的图像，得到 a 的x范围 .（ 2）由已知 g x ，求其导函数，由 x1， x2是 g（ x）的两个不同极值点，可得 a>0， 结合 g（x1）0，g（x2）0得到 ex1 2ax1 a 0，ex2 2ax2 a 0进一步得到e e e e2a ，把问题转化为证明 e 2 < ，将其变形后整体换元构造函数 x1 x2x1

33、 x2t 再利用导数证明 t >0 得答案【详解】（1）x1,2时，由xf x 0 得 a e2xx exe x 1令 h xhx2xx1 x 1 时，hx0，21x2 时， hx01h x 在 ,1 上是减函数，在 1,2 上是增函数又h2122 e ，h44ee4 16e4e4422 e ，h 1 e2e e3 160，4 h 2 h 1 ， h（x）的大致图像：2利用 y h x 与 y a 的图像知 a e,2 e2）由已知 g x ex ax2 ax ， g x ex 2ax a，因为x1， x2是函数g x 的两个不同极值点（不妨设 x1 x2 ），易知a00 ，则函数 f

34、x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾） ，且gx10，x20.所以 ex12ax1a 0 ， ex2 2ax2 a两式相减得2ax1x2e1 e 2 ， x1 x2于是要证明x1x22ln 2a ，即证明x1 x2e2e e ，两边同除以ex2 ，x1 x2x1 x2即证 e 2x1 x21 ，即证x1 x2x1 x2x1 x2 eex1x2 1 ，即证x1x2x1 x2e2ex1 x2 10，令 x1x20.即证不等式tte2当 t 0 时恒成立 .t2则t et2tt1 e2ttt 2 2 ee2 e2t1.22设htt e2t 1 ，则 ht1 t 1 1e2 11 e2 1 ，2222当t0时，h t 0 ，ht单调递减，所以 h th00，即tte2 t 1 0 ，所以2所以t在t 0 时是减函数.故t 在 t0 处取得最小值0所以t0得证 .所以 x1x2ln 2a .0.2点睛】本题考查利用导数研究函数