匀强磁场对平行粒子束汇聚的两类情况分析

1、    匀强磁场对平行粒子束汇聚的两类情况分析    刘擎锐匀强磁场对平行粒子束的汇聚作用，即为粒子经过磁场的偏转后，能聚焦于场中的某点.为达到汇聚的目的，在粒子基本属性（质量和电量）相同的前提下，一般地，粒子射入的速度矢量（速度的大小和方向）、磁场边界的形状需要满足一些特殊的要求.涉及此种问题，在习题中比较常见的有两类情况.1两类汇聚情况基本原理在xoy平面内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为b，方向垂直纸面向里.一质量m，电荷量q（q>0）的粒子组成的平行粒子束，在第象限内沿着-x方向射入该磁场，经偏转汇聚于坐标原点o.依据磁场边界和粒子速度的

2、不同情形，可分为两类情况：第一类是圆弧边界等速、不同向粒子；第二类是直线边界不等速、同向粒子.1.1圆弧边界等速、不同向粒子若以y 轴上点o1为圆心，r为半径的圆构成圆弧磁场边界，射入粒子的速度大小v0.如图1所示，选取第象限磁场边界上的任意一点p（x、y），一粒子过p点后，经偏转汇聚于o点.设对应粒子运动半径r，圆心o2.其轨迹如图1中虚线所示，p点为轨迹的最高点.连接po2延长交x轴于a点，在rtao2o中，各边关系满足勾股定理x2+（y-r）2=r2，此即为磁场边界满足的方程.分析可知：只要磁场边界在第象限内是以o1（0、r）为圆心，r为半径的半圆，那么粒子必将被汇聚于o点，也就是说，粒

3、子运动的半径r与已知圆形边界的半径r相等是平行粒子束被汇聚的条件.被汇聚于o点的粒子速度大小相等，方向分布在与+x轴夹0°180°范围内.1.2直线边界不等速、同向粒子若过坐标原点o的直线构成磁场边界，如图2所示，设直线方程y=kx，选取磁场边界上的任意一点p（x、y），粒子过p点偏转后，汇聚于o点.设对应粒子在磁场中运动的半径r，圆心o1，其轨迹如图2中虚线所示，p点为轨迹的最高点.连接po1交x轴于a点，在rtao1o中，各边关系满足勾股定理x2+（r-y）2=r2，再结合直线方程y=kx，得x=2kr1+k2.设aoo1=，则cos=xr=2k1+k2.为一定值，即汇

4、聚于o点的粒子具有相同的速度方向.该方向为与+x方向夹2+角，且斜向左下.为保证射向直线边界的粒子能被汇聚于o点，要求平行粒子束具有不同的速度大小，其速度大小v沿y轴纵向的分布满足v=（1+k2）qb2mk2y，相应的运动半径r应满足1+k22k2y，其值与边界射入点的位置及直线边界的斜率等有关.被汇聚于o点的粒子速度大小不等，方向相同.2两类汇聚情况比较3.1圆弧边界等速、不同向粒子题型变式（1）粒子源射出的粒子偏转为平行粒子束只要改变粒子的电性或使磁场方向反向，由处于坐标原点o的粒子源向各个方向射出的等速粒子，经磁场偏转就会形成平行粒子束，如图3所示.若粒子射向第、象限，或只在第象限，那么

5、相应的磁场边界只需要第象限内的半圆或四分之一圆即可.（2）汇聚情况的最小磁场面积要能够使粒子汇聚或者形成平行粒子束，对于不同向、等速的粒子而言，存在着磁场最小面积的问题.一个典型的变式如图4所示，射向第象限的粒子经磁场偏转后均沿+x方向，那么磁场的最小面积应是由两个等半径的四分之一圆弧围成的面积.其中上边界恰好为沿+y方向射出的粒子运动的轨迹，下边界是其余所有粒子轨迹最高点的集合，恰好构成以（0，r）为圆心，运动轨迹半径为半径的圆弧.类似的，如粒子向其他方向射出，也同样存在最小磁场的问题.据可逆性，对平行粒子束的汇聚磁场最小面积也可依据相同的方法得出.3.2直线边界不等速、同向粒子题型变式（1）粒子源射出的粒子偏转为平行粒子束只要改变粒子的电性或使磁场方向反向，由处于坐标原点o的粒子源向确定方向射出的不等速粒子，经磁场偏转就会形成平行粒子束，如图5所示.粒子的速度随y轴坐标的增大而增加.（2）汇聚情况的速率极值如果对直线边界的端点加以限制，那么就存在着平行粒子束的速率极大值问题，常见的是直线与