2018高中数学初高中衔接读本专题4.2一元二次不等式的解法精讲深剖学案

1、第 2 讲一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一 元二次不等式的解法。问题1:二次函数y=x2-x6的对应值表与图象如下：观察：由对应值表及函数图象可知2当x=2,或x=3时，y=0，即xx=6=0;当xv2,或x3时，y0，即xx60;当2vxv3时,yv0，即xx6v0.思考：这就是说，如果抛物线y=x2x6与x轴的交点是(2,0)与(3,0), 那么一元二次方程x2x6=0的解就是xi=2,X2=3;同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是xv2,或x3;元二次不等式x2x6v0的解是

2、一2vxv3.上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.问题2:对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式 0 =0 v0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象LUpqKyJ2o oX|-Jr2x一兀二次方程2ax+bx+c=0(a0)的根有两相异实根Xi,X2(xivX2)有两相等实根Xi=X2=b无实根ax2+bx+c0(a0)的解集xX2bx 2a一切实数ax2+bx+cv0(a0)的解集xivxvX2无解无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利

3、用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.【典例解析】解下列一元二次不等式：2(1)x+2x3W0;2(2)xx+6v0;2(3)4x+4x+10;2(4)x6x+9W0;2(5) 4+xxv0.【解析】(1)方程卫+2xT=0的解是m二丸助=1.二不等式的解为 T 卒(2)整理得卫_JC66Q Q. .方程 hxTT 的解为JC1JC12?2?T23 .二所以，原不等式的解为2,或x0. 0,所以，原不等式的解为一切实数.【解题反思】注意一元二次不等式的解题步骤为一看（二次项系数的正负） 根求根

4、）；四写出解集。【变式训练】1.解下列不等式:2(1)-x 2x 2 0的解是1 1 1 1 111 /I 11 1 J5 -4 -3 -2 -11/2 3 4 5【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴得出答案即可；利用关于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解，即为：y时，求出x的取值范围求出即可.【解析】二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标（-1, -3.2）,图象与横轴的正半轴交点为（2,0）,图象的对称轴为：x=-1,图象与横轴的负半轴交点为：（-4,0）;二判（的情况）；三算（有(2)x -1x 34图象开口向上，a0,T图象的对称轴为：x=-1,当xv-1时，函数值随

5、着x的增大而减小；2 . .关于x的一元二次不等式ax+bx+c0的解即为：y时，求出x的取值范围：x2或xv-4.【点评】主要考查了利用函数图象求自变量的取值范围以及二次函数的增减性等知识，根据图象得出是解 题关键3.已知不等式ax2bx c : 0(a屮0)的解是x：2,或x - 3求不等式bx2ax c 0的解.【解析】由不等式+ix+c0(0)的解为英2,或工A3,可知且方程ox2+c=O的两根分别为2和3,即 _ =_5 = = 6 6 a aa ak kr r由于a0,a0,所以不等式+可变为-J?+X+-0 ,a aa a即-5 + +60,整理得5宀“6A0,所以，不等式b+a

6、x-oOb+ax-oO的解罡x| .【点评】本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.234.关于x的一元二次不等式2kx +kx-v0的解集为R,求实数k的取值范围.O10（1）5【分析】（1）由题意得口才 由此能求出实数k的取值范围.Ak2-4X2kX（0-*（2）LO【解析】由题意得：10（1）二k Jx2kX（曽0，LO不等式（2）化作：k2+3k v 0,解得：-3v kv 0.则实数k的取值范围是-3v kv 0.【点评】已知不等式解集的情况，求参数。可通过根的判别式来建立不等式求参数值。_ 25.解关于x的一元二次不等式x ax 1 0（ a为实数）.【分析】对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式 厶的符号，而这里的厶是关于未知系数的代数式，厶的符号取 决于未知系数的取值范围，因此，再根据解题的需要，对厶的符号进行分类讨论【解析】由厶二a2-4,1当.：0,即a：-2或a2时，方程x2ax0的解为；-a-Ja2_4-a十Ja2_4XiX2 2a_4 a