《高等数学》知识在物理学中的应用举例

1、学习必备欢迎下载高等数学知识在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时， 应结合问题的物理意义， 明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上， 灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。例 1 如图，曲柄, roa以均匀角速度饶定点 o转动.此曲柄借连杆 ab 使滑 块 b 沿 直 线 ox 运 动.求 连 杆上 c 点 的 轨 道 方 程 及 速 度 .设,acbac,aob.aboy解 1) 如图，点 c 的坐标为：c o sc o sarx，(1)a.sinay(2) c由

2、三角形的正弦定理，有b,s i n2s i narox故得.2sin2sinryra(3) 由(1)得ryaxrax22coscos(4) 由, 1cossin)4()3(2222得, 12422222222ryaxyaxry化简整理 ,得c 点的轨道方程为 : .)3()(422222222rayxyax2) 要求 c 点的速度 ,首先对 (1),(2)分别求导 ,得,s i nc o s2c o ss i nrrx,2c o sry其中.学习必备欢迎下载又因为,sin2sinar对该式两边分别求导 ,得.c o s2c o sar所以 c 点的速度22yxv4c o s)s i nc o

3、s2c o ss i n(2222rrr. )s i n (c o ss i n4c o sc o s22r例 2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin1(ttca式中c及t 为常数 ,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程 . 解: 由题设及加速度的微分形式dtdva,有,)2sin1(dtttcdv对等式两边同时积分vtdtttcdv00,)2sin1(得: ,2cos2dtttcctv其中 d 为常数 . 由初始条件 :,0,0tv得,2ctd于是).12(cos2ttttcv又因为,dtdsv得,)12(cos2dtttttcds对等式两

4、边同时积分 ,可得: ).2sin2(2212ttttttcs学习必备欢迎下载例 3 宽度为 d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为. c一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解 以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴，如图建立坐标系。所以水流速度为y.2),(,20,dydydkdykyvdox由河流中心处水流速度为c，故)2(2ddkdkc，所以dck2. 当20dy时，ydcv2，即,2ydcdtdx,uty(1) 得tdtdcudx2. 两边积分，有xtdttdcudx00,22tdcux, (2) 由(1

5、)-(2)，得,2yudcx20dy. (3) 同理，当dyd2时，)(2yddcv，即),(2)(2utddcyddcdtdxdtutddcdx)(2，dyudcyucx22，(4) 学习必备欢迎下载其中d为一常数。由 (3)知，当2dy时，ucdx4，代入(4)，得ucdd2，于是,222ucdyudcyucxdyd2. 所以船的轨迹为.2,22,20,22dyducdyudcyucxdyyudcx船在对岸的靠拢地点，即dy时有.2ucdx例 4 将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即.22gvmkr如上掷时的速度为0v，试证此质点又落至投掷点时的速度为.12

6、0201vkvv解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：vr上升：,22ygmkmgym。下降：.22ygmkmgymmgv上升时r下降时mg对上升的阶段：)1 (22vkgdtdv，即),1(22vkgdyvdvdtdydydv于是gdyvkvdv221. 两边积分002201vhgdyvkvdv，得质点到达的高度)1ln(212022vkgkh. (1) 对下降的阶段：),1(22vkgdyvdvdtdydydv即得100221vhgdyvkvdv,得)1ln(212122vkgkh. (2) 由(1)=(2) 得.120201vkvv学

7、习必备欢迎下载二 积分的应用分析 利用积分的概念与运算， 可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。例 5 一半径为r的非均质圆球，在距中心r处的密度为：),1 (220rr式中0和都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。解：设 dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则drrrrdrrdm)1(22202，所以此球对球心的转动惯量为.3557)1(50

8、2204002rdrrrrdmrirr(1) 在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为ii32，(2) 又因球的质量为rrrdrrrrdmm03022020.1535)1(3) 又饶直径的回转半径,mik(4) 由(1)-(4)，得.21351014rk例 6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为23dk， 式中 d 为对角线的长度。解：建立坐标系，设 o为立方体的中心，轴,ox,oyoz分别与立方体的边平行。由对称性知，,ox,oyoz轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为.a学习必备欢迎下载由以上所设，平行于 ox 轴的一小方条的体积为adydz，于是立方体饶 ox 的转动惯量为.6)

9、(2222222amdydzzyaiaaaax根据对称性得：.62amiiizyx易知立方体的对角线与,ox,oyoz轴的夹角都为,且,31cos故立方体饶对角线的转动惯量为.6coscoscos2222amiiiizyx(1) 又由于ad3, (2) 饶其对角线转动时的回转半径为,mik(3) 由(1)-(3)得.23dk例 7 一个塑料圆盘，半径为,r电荷 q均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度。解：电荷运动形成电流， 带电圆盘饶中心轴转动， 相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为2，圆盘表面上所带的电荷面密度为2rq，在圆盘上取一半径为

10、r，宽度为 dr 的细圆环，它所带的电量为rdrdq2，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为rdrrdrdi22，它在轴线上距盘心x处的 p 点所产生的磁感应强度为rdrxrrxrdirdb232220232220)(2)(2,)(2232230drxrr学习必备欢迎下载故 p 点处的总磁感应强度为rdrxrrb0232230,)(2变换积分drxrrxdrxrrdrxrr23222212223223)()()(所以22222220 xxrxxrb222222220 xxrxrrq，b 的方向与方向相同 (0q)或()0q. 于是在圆盘中心0 x处，磁感应强度.20rqb例 8 雨滴

11、下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：设雨滴的本体为.m由物理学知.)(fmvdtd(1) 1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为,r 则雨滴质量m是与半径r的三次方成正比，密度看成是不变的，于是31rkm，(2) 其中1k为常数。2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即,4222rkrkdtdm(3) 其中2k为常数。由 (2)，得.321dtdrrkdtdm(4) 由(3)=(4)，得.312kkdtdr(5) 学习必备欢迎下载对(5)两边积分：,0rattddr得,atr(6) 将(6)代

12、入(2)，得.)(31atkm(7) 3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式,)()(3131gatkvatkdtd(8) ,)()(301310gdtatkvatkdtv,)(41)(34131katgkvatk（3k为常数）当0t时，0v，故,4413gakk.)(434ataatgv三 曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。例 9 设力,kfjfiffzyx其中,206233ybxyabzfx36abxzfy,104ybx,182abxyzfz验证

13、f 为保守力，并求出其势能。解：为验证 f 是否为保守力，将题设中力f 的表达式代入f，得xxxfffzyxkjifkyfxfjxfzfizfyfxyzxyz)()()(jyabzyabziabxzabxz)1818()1818(2222kyabxabzyabxabz)406406(3333,0于是 f 是保守力。故其势能为学习必备欢迎下载drfv)(),()0,0,0(dzfdyfdxfzzyxyx)0,0,()0,0,0()0,()0,0,(43233)106()206(xyxxdyybxabxzdxybxyabz),()0,(218zyxyxdzabxyz.65324abxyzybx例

14、10 一个半径为 r的球体内，分布着电荷体密度,kr式中r是径向距离，k 是常量。求空间的场强分布，并求e 与r的关系。解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1) 当rr时，qdse01, 而24 redse，(1) ,41114002000rkdrrkrdvqr(2) 由(1)=(2)，得,4)(20rkre方向为径向方向。2) 当rr时，由高斯定理qdse01, 有24 redse, (3) ,41114002000rkdrrkrdvqr(4) 由(3)=(4)，得,4)(204rkrre方向沿径向方向。

15、例 11 一根很长的铜导线， 载有电流 10a， 在导线内部通过中心线作一平面s试计算通过导线m1 长的 s平面内的磁感应通量。解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解。取 以 轴 线 为 圆 心 的 半 径 为r的 同 心 圆 环 为 积 分 环 路 ， 由 安 培 环 路 定 理idlb0，有rbdlb2, (1) 学习必备欢迎下载:)(rr,12200rri(2) 由(1)=(2)，所以有.220rrib在剖面上取面积微元ldrds，有.220ldrrridsbd所以单位长)1(ml的导线内通过剖面的磁通量为.1041010442670020wbidrrirdsr例 12 在半径为 r的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为.r 设电介质的相对电容率为,r金属球的电荷量为,q求：1) 介质