三角函数最全知识点总结

1、三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按_逆时针_方向旋转形成的角负角：按_顺时针_方向旋转形成的角零角：如果一条射线_没有作任何旋转_，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与终边相同的角可表示为：|2k，kz，或|k·360°，kz(3)象限角：角的终边落在_第几象限_就称为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角2弧度制(1)1度的角：_把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角_.(2)1弧度的角：_弧长等于半径的圆弧所对的圆心

2、角叫1弧度的角_.(3)角度与弧度的换算：360°_2_rad,1°_rad,1rad(_)57°18.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，则此扇形的弧长l_|·r_，面积s_|r2_lr_.3任意角的三角函数定义(1)设是一个任意角，的终边上任意一点(非顶点)p的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sin_，cos_，tan_.(2)三角函数在各象限的符号是：sincostan_记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向

3、线段mp，om，at分别叫做角的_正弦_线、_余弦_线和_正切_线4终边相同的角的三角函数sin(k·2)_sin_，cos(k·2)_cos_，tan(k·2)_tan_(其中kz)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等重要结论1终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角终边相同的角时，单位必须一致2确定(kn*)的终边位置的方法(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角的范围写出的范围根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置(2)等分象限角的方法：已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第几象限角等分：将每个象限分成k等份标注：从x轴正半轴开始，

4、按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴选答：出现数字m的区域，即为所在的象限如判断象限问题可采用等分象限法二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_sin2xcos2x1_. (2)商数关系：_tanx_.2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kz)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_重要结论1同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinxtanx·cosx，tan2x1，(sinxcosx)212sinxcosx

5、等2特殊角的三角函数值表角0°30°45°60°90°120°150°180°270°角的弧度数0sin0101cos1010tan0103.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”“奇”与“偶”指的是诱导公式k·中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k·中，将看成锐角时k·所在的象限4.sinxcosx、sinxcosx、sinxcosx之间的关系sinxcosx、sin

6、xcosx、sinxcosx之间的关系为(sinxcosx)212sinxcosx，(sinxcosx)212sinxcosx，(sinxcosx)2(sinxcosx)22.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值三、两角和与差的三角函数二倍角公式 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2_2sincos_；(2)cos2_cos2sin2_2cos2_11_2sin2_；(3)tan2_(且k，kz)3半角公式(不要求记忆)(1)sin±；(2)cos±；(3)tan±.重要结论 1降幂公式：

7、cos2，sin2.2升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.3公式变形：tan±tantan(±)(1tan·tan)tan()；tan()cos，sin2，cos2，1±sin2(sin±cosx)2.4辅助角(“二合一”)公式：asinbcossin()，其中cos_，sin_.5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：abc；2a2b2c2；.三角函数的结论有：sin(ab)sinc，cos(ab)cosc，tan(ab)tanc，sincos，cossin.a>bsina>sinbcosa&

8、lt;cosb.四、三角函数的图象与性质1周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做_周期函数_.非零常数t叫做这个函数的_周期_.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小_正周期_.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，_2k(kz，k0)_都是它们的周期，最小正周期是_2_.2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysinxycosxytanx图象定义域xrxrxr，且xk，kz值域_y|1y1_y|1y1_r_单调性在_ 2k，2k

9、 _，kz上递增；在_ 2k，2k _，kz上递减在_ (2k1)，2k _，kz上递增；在_ 2k，(2k1) _，kz上递减在(k，k)，kz上递增最值x_2k(kz)_ 时，ymax1；x_2k(kz)_ 时，ymin1x_2k(kz)_ 时，ymax1；x_2k(kz)_ 时，ymin1无最值奇偶性_奇_偶_奇_对称性对称中心_(k，0)，kz_, kz _(，0)，kz_对称轴_xk，kz_xk，kz_无对称轴最小正周期_2_2_重要结论1函数ysinx，x0,2的五点作图法的五个关键点是_(0,0)_、_(，1)_、_(，0)_、_(，1)_、_(2，0)_.函数ycosx，x0,

10、2的五点作图法的五个关健点是_(0,1)_、_(，0)_、_(，1)_、_(，0)_、_(2，1)_.2函数yasin(x)和yacos(x)的最小正周期为t，函数ytan(x)的最小正周期为t.3正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期4三角函数中奇函数一般可化为yasinx或yatanx的形式，而偶函数一般可化为yacosxb的形式五、函数yasin(x)的图象及应用1五点法画函数yasin(x)(a>0)的图象(1)列表：x·x02x_sinx01010y_0_a_0

11、_a_0_(2)描点：_(，0)_，_(，a)_，(，0)，(，a)_，(，0)_.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到yasin(x)在区间长度为一个周期内的图象(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yasin(x)在r上的图象2由函数ysinx的图象变换得到yasin(x)(a>0，>0)的图象的步骤3函数yasin(x)(a>0，>0，x0，)的物理意义(1)振幅为a. (2)周期t_.(3)频率f_. (4)相位是_x_. (5)初相是.重要结论1函数yasin(x)的单调区间的“长度 ”为.2“五点法”作图中的五个点：yasin(x)，两个最

12、值点，三个零点；yacos(x)，两个零点，三个最值点3正弦曲线ysinx向左平移个单位即得余弦曲线ycosx.六、正弦定理、余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2r(其中r是abc外接圆的半径)a2_b2c22bccosa_b2_a2c22accosb_c2_a2b22abcosc_常见变形a_2rsina_，b_2rsinb_，c_2rsinc_；sina_，sinb_，sinc_；abc_sinasinbsinc_asinbbsina，bsinccsinb，asinccsinacosa_；cosb_；cosc_解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两

13、条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边一角，求第三边和其他两个角2在abc中，已知a，b和a时，解的情况如下a为锐角a为钝角或直角图形关系式a< bsinaabsinabsina< a<baba>bab解的个数无解一解两解一解一解无解3三角形常用面积公式(1)sa·ha(ha表示a边上的高)(2)sabsincacsinbbcsina.(3)sr(abc)(r为内切圆半径)重要结论在abc中，常有以下结论1abc.2在三角形中大边对大角，大角对大边3任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边4sin(ab)sinc；cos(ab)cosc；tan(ab)tanc；sincos，cossin.5tanatanbtanctana·tanb·tanc.6a>ba>bsina>sinbcosa<cosb.7三角形式的余弦定理sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa，sin2bsin2asin2c2sinasinccosb，sin2csin2asin2b2sinasinbcosc.8若a为最大的角，则a，)；若a为最小的角，则a(0，；若a、b、c成等差数列，则b.9.三角形形状的判定方法(1)通过正