万有引力与航天典型题集

1、1.已知地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是： A B C D2.用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，用h表示它离地面的高度，R0表示地球半径，g0表示地球表面处的重力加速度，0表示地球自转的角速度。则通讯卫星所受的地球对它的万有引力大小： A等于 0 B等于 C等于 D以上均不对3.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则 A B C D 4.宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周

2、运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为 ，则A. 飞船绕地球运动的线速度为B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0C. 飞船每次“日全食”过程的时间为D. 飞船周期为T=5. 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射6.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿

3、近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。7.侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍

4、摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？(设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T .)8.地球赤道上的某城市N想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光反射到地球上，使这座城市在午夜有“日出”时的效果若此时的N城正是盛夏季节，地球的半径为R，其自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方求：(1)地球同步卫星离地心的距离；(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差；(3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角9.神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双

5、星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m（用m1、m2表示）；（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速

6、率v2.7×105m/s，运行周期T4.7×104s，质量m16ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G6.67×1011N·m2/kg2，ms2.0×1030kg） 10.若近似认为月球绕地公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为295 天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期）。（提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法）。11.经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统

7、，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是，两者相距。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 (1) 试计算该双星系统的运动周期T1 ；(2)若实验上观测到的运动周期为T2，且T2:T1=1: (N>1)。为了解释T2与T1的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗

8、物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。122000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬，已知地球半径R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。13如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0。（1）中央恒星O的质量是多

9、大？（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期性的每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象和假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？14.设A、B为地球赤道圆的一条直径的两端，利用地球同步卫星将一电磁波信号由A传播到B，至少需要几颗同步卫星？这几颗同步卫星间的最近距离是多少？用这几颗同步卫星把电磁波信号由A传播到B需要的时间是多少？已知地球半径R，地表面处的重力加速度g，地球自转周期T.不考虑

10、大气层对电磁波的影响，且电磁波在空气中的传播速度为c.第10题图15假设太阳系内某行星和地球的公转轨道均为圆形，且在同一平面内，如图所示，半径较小的轨道是某行星公转的轨道，半径较大的轨道是地球公转的轨道。在地球上观测，发现该行星与太阳可呈现的视角（太阳与行星均看成质点，它们与眼睛连线的夹角）有最大值，并且最大视角的正弦值为16/25。则该行星的公转周期为多少年？16如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。求两星球做圆周运动的周期。在地月系统中，若忽略其它星球的

11、影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）17.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为石油密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖

12、直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常QxdPRO（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在与k（k>1）之间变化,且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积18.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的

13、运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）19.如图所示，A是地球的同步卫星.另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h.已知地球半径为 R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心。 （1）求卫星B的运行周期。 （2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？20已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高

14、度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由 得请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。21.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA8.0×104 km和r B1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）求岩石颗粒A和B的线速度之比；求岩石颗粒A和B的周期之比；土星探测器

15、上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？22.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G6.67×1011m3kg·s2)23.2004年，现代版“嫦娥奔月”将正式开演如图5所示，登月飞船以速度0绕月球做圆周运动，已知飞船质量为1.2×104，离月球表面的高度为

16、100飞船在A点突然向前做短时间喷气，喷气的相对速度为1.0×104，喷气后飞船在A点的速度减为A，于是飞船将沿新的椭圆轨道运行为使飞船能在图中的B点着陆(A、B联线通过月球中心，即A、B点分别是椭圆轨道的远月点和近月点)，试问喷气时需消耗多少燃料?已知月球的半径为1700，月球表面的重力加速度为g1.7ms2(选无限远处为零势能点，物体的重力势能大小为p(）/ 24地球的半径为R，自转的角速度为，地表重力加速度为g现在要发射一颗质量为m的人造卫星请你担当该项目的工程师，计算有关发射该卫星的重要数据（提供信息：以地面为0势能参考面，物体所具有重力势能的数学表达式为 ，其中h是物体距离

17、地面的高度计算在什么位置，卫星的机械能最小在考虑地球自转的情况下，要完成发射任务，我们给卫星的最小发射能量是多少？（注意：不作为已知量）25.设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g ，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？26.阅读下列材料，然后解题：开普勒19091919年发表了著名的开

18、普勒行星运行三定律，其中第三定律的内容是：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，实践证明，开普勒三定律也适用于人造卫星的运行。2001年3月23日，前苏联建造的“和平”号空间站在正常运行十五年后，完成其历史使命，在地面控制下，成功坠入南太平洋指定海域。“和平”号在轨道上正常运行时，其圆轨道平面正好经过南太平洋海域，其坠落过程可简化为：在半径为r的圆轨道上运行的空间站，在适当的位置开始制动发动机一小段时间（计算时当作一瞬间），使空间站速度减小，并由圆轨道转移到与地面相切的椭圆轨道上，如117图所示，椭圆轨道与地面的切点即空间站的坠落点，设地球半径为R，地球表面重力加速度

19、为g，圆轨道作为椭圆轨道的一种特殊情况，空气阻力不计，问：（1）制动点应该选用在圆轨道上相对地球的什么位置，才能使空间站坠落在南太平洋区域？制动发动机是采用喷射加速后的质子流来制动的，那么发动机应向什么方向喷射质子流？ （2）制动之后，空间站经过多长时间坠入大海？27宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。28一组航天员乘坐飞船前往位于离地球表面6. 0×105 m

20、的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H机组人员使飞船S进入与H相同的轨道并关闭火箭发动机，如图所示设F为引力，M为地球质量已知地球半径R=6.4×106 m.（1)在飞船内，一质量为70 kg的航天员的视重是多少？（2)计算飞船在轨道上的速率；（3)证明飞船总机械能跟成正比，r为它的轨道半径（注：若力F与位移r之间有如下的关系：,K为常量，则当r由无穷远处变为零，F做功的大小可用以下规律进行计算，设无穷远处的势能为零）29宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线

21、上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？30神舟五号载入飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37×103km，地面处的重力加速度g=10m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）。31在勇气号火星探测器着陆的

22、最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。32在一个行星上，一昼夜的时间为T0=6 h。若在行星上用弹簧秤测同一物体的重力，发现在赤道上仅为在两极的90%设想该行星的自转角速度加快到某一值时，赤道上的物体会自动飘起来试计算这时行星上的一昼夜是多长？33.假定地球、月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器，假定探测器在地球表面附近脱离火

23、箭，用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功，用表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则：（ ）A. 必须大于或等于W，探测器才能到达月球； B. 小于W，探测器也可能到达月球；C.，探测器一定能到达月球； D.，探测器一定不能到达月球。34.2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。（1）若将S2星的运行轨道视为

24、半径r=9.50102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep= (设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太阳质量Ms=2.01030kg，太阳半径Rs=7.0108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径与太阳半径之比应小于多少（结

25、果按四舍五入保留整数）。35.2004年，所有的目光都集中在火星继美国宇航局的两台火星探险漫游者“勇气”号和“机遇”号之后，欧洲的火星快车飞船已顺利地将“猎兔犬2”号火星登陆车投放至火星表面 阅读下列信息，并结合该信息解题： (1)开普勒从1609年1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方与其公转周期的平方的比值都相等实践证明，开普勒三定律也适用于其他中心天体的卫星运动 (2)从地球表面向火星发射火星探测器设地球和火星都在同一平面上绕太阳作圆周运动，火星轨

26、道半径为地球轨道半径R0的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上(如图6所示)，当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60°，如图7所示，问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面

27、?(时间计算仅需精确到日，已知地球半径Re6.4×106m) 图6 图7例我国航天的下一个目标是登上月球，当飞船靠近月球表面的圆形轨道绕行几圈后登陆月球，飞船上备有以下实验仪器： 计时表一只 弹簧秤一把 已知质量为的物体一个 天平一只(附砝码一盒) 已知宇航员在绕行时及着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求月球的半径R及月球的质量M(已知万有引力常量为G) (1)两次测量所选用的器材分别为_、_(用选项符号表示) （）两次测量的物理量是_、_ （）试用所给物理量符号分别写出月球半径R和质量M的表达式_，_ 例析(1)两次测量所选用的器材分别为AB （）两次测量的物理量是：飞船绕月运

28、行的周期T、质量为m的物体在月球上的重力大小 （）质量为m的物体在月球上时，用弹簧秤竖直悬挂，静止时弹簧秤的计数F即为物体在月球上所受重力的大小，在月球上忽略月球的自转可知 月， (/2)月 物体在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知 (/2)(2/2)，所以，由、式可知 (2)/(2)将式代入式，得 (24)/(164G2) 六、关于火星探测相关问题的探究 解析这是一道取材于现今世界宇航界的热点话题探测火星，属于立意高、新，落点低的典型信息题 为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的发动机，使得探测器沿椭圆

29、轨道到达与火星轨道的相切点，火星也恰好运行到这一点，为此，必须首先确定点燃时刻两者的相对位置，探测器在地球的公转轨道上运行的周期与地球公转的周期相同，即 e天根据开普勒第三定律，火星公转周期为 me×1.840671天火星绕太阳转动的角速度为 m°/天.°天而探测器在椭圆轨道上的半长轴为 0（.00）/.0，所以探测器在椭圆轨道上的运行周期为 e×.天 因此探测器从点火至到达火星，需要时间为 /天 探测器在点火前绕太阳转动的角速度为 e°/天.°天 由于探测器运行至火星需要用255天，火星在此期间运行的角度为 1m.×

30、76; 即探测器在椭圆轨道近日点点火时，火星应在其远日点的切点之前137°，如图8所示亦即点燃火箭发动机时，探测器与火星的角距离应为 图82°1° 已知某年3月1日零时，探测器与火星的角距离为°(火星在前，探测器在后)，为使其角距离变为°，必须等待二者在各自轨道运行至某个合适的时间，设二者到达合适位置，探测器又经历的天数为，则 m°43°，(60°43°)(m)38天 故点燃火箭发动机的时刻应为当年的3月1日之后的38天，即同年的4月7日 七、“伽利略计划”问题探究 例82004年，我国和欧盟合作的建国以来最大的国际科技合作计划伽利略计划将进入全面实施阶段，正式启动伽利略（Galileo）卫星导航定位系统计划这标志着欧洲和我们都将拥有自己的卫星导航定位系统，并将