2018版高考数学一轮复习第十一章统计与概率11.2用样本估计总体理

1、第一章 统计与概率11.2用样本估计总体 理基础知识自主学习基础知识自主学习ET知识梳理-1作频率分布直方图的步骤(i)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数.(3) 将数据分组.(4) 列频率分布表.(5) 画频率分布直方图.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 _ 就得到频率分布折线图. 总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.3.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的

2、旁边生长出来的数.4.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.标准差：/1 2 2 25=X1X+X2X+XnX.V n_1_ _ _方差：s2=n【(X1X)2+ (X2X)2+ (XnX)2(Xn是样本数据，n是样本容量，X是样本平均数).【知识拓展】1.频率分布直方图的特点频率频率(1) 频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示组距，频率=组距 x 组距.(2) 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,因为在频率分布直方图中组距是一个固定2值，所以各小长方形高的比也就是频率比.(3) 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直

3、观.2 .平均数、方差的公式推广3（1）若数据xi,X2,，xn的平均数为x，那么mx+a,mx+a,m%+a,，mx+a的平均数是mx+a.数据xi,X2,，xn的方差为s2.21数据xi+a,X2+a,，xn+a的方差也为s；2数据axi,ax2,，axn的方差为a2s2.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“x”）（1）平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.（V）（2）组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论.（X）（3）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.（V）（4）茎叶图一般左

4、侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.（x）（5）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（V）（6）在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.（X）考点自测8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A. 91.5 和 91.5C. 91 和 91.5答案 A解析这组数据由小到大排列为91 + 92 中位数是=91.5 ,87 + 89 + 90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 96 平均数x= = 91.5.82 . （2015 陕西）某中学初中部共有 110 名教师，

5、高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所i.（教材改编）B. 91.5 和 92D. 92 和 9287,89,90,91,92,93,94,964示，则该校女教师的人数为（）5A. 93 B . 123 C . 137 D . 167 答案 C解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为3. （2016 四川宜宾模拟）若数据X1,X2,X3，xn的平均数为x= 5,方差s2= 2,则数据3X1+ 1,3X2+ 1,3X3+ 1,，3xn+ 1 的平均数和方差分别为（）A. 5,2B. 16,2C. 16,18D. 16,9答案 C解析/X1,X2,X3，Xn的平均数为 5 ,底部周怏Fem1

6、10X70% 150X（1 60%）= 137.故选 C.X1+X2+X3+ +nXn=5,3X1+ 3X2+ 3X3+3xn+1=3X5+1=16,X1,X2,X3,，Xn的方差为 2,一，23X1+ 1,3X2+ 1,3X3+ 1,，3xn+ 1 的方差是 3X2= 18.4. （2016 江苏）已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是 _答案 0.1解析4.7 + 4.8 + 5.1 + 5.4 + 5.5“x= 5.1 ,212 2 2 2 2则方差s=尹.7-5.1） + （4.8-站）+切+（54切+（55-5）工5.为了了解一片经济林的生长情况，随

7、机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，_株树木的底部周长小于100 cm.初中弗）（冉中6答案 247解析 底部周长在80,90)的频率为 0.015X10= 0.15 ,底部周长在90,100)的频率为 0.025X10= 0.25 ,样本容量为 60,所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15 + 0.25)X60= 24.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一频率分布直方图的绘制与应用例 1 (2016 北京)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按 4 元

8、/立方米收费，超出w立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1) 如果w为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w至少定为多少？(2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w= 3 时，估计该市居民该月的人均水费.解(1)如图所示，用水量在0.5,3) 的频率的和为(0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.3)X0.5 = 0.85.用水量小于等于 3 立方米的频率为 0.85，又w为整数，为使 80%以上的居民在该月的用水价格为4 元

9、/立方米，w至少定为 3.(2)当w= 3 时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1X1+0.15X1.5+0.2X2+0.25X2.5+0.15X3)X4+0.1 5X3X4+0.05X(3.53)+ 0.05X(4 3) + 0.05X(4.5 3)X10= 7.2 + 1.8 + 1.5 = 10.5(元).即该市居民该月的人均水费估计为10.5 元.思维升华(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据.跟蹿训练1(2015 课标全国H)某公司为了解用

10、户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.8A地区用户满意度评分的频率分布直方图9B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)在图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均数及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)B地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级:满意度评分低于 70 分70 分到 8

11、9 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由. 解(1)如图所示.通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均数高于A地区用户满意度评分的平均数；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.10记G表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.由直方图得F(CA)的估计值为(0.01 + 0.02 + 0.03)X10= 0.6 ,F(CB)的估计值为(0.005 +0.02）X10=0.2

12、5.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.题型二茎叶图的应用例 2 （1）（2015 山东）为比较甲、乙两地某月14 时的气温情况，随机选取该月中的5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据（单位：C）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.B . C . D .（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩甲组9x 2()195 y 87 424已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8，则x,y的值分别为（）A. 2,5 B . 5,5 C . 5,8 D . 8,8答案（1）B（2）C解析（1）甲地 5 天的

13、气温为 26,28,29,31,31,26+ 28+ 29+ 31 + 31 x甲=29;屮乙9869i-A891 130 1 214 时的平均气温;14 时的平均气温低于乙地该月甲地该月甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温;甲地该月14 时的气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差;甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差.（单位： 分）.其平均11212 2 2 2 2万差为$甲=?(26 29) + (28 29) + (29 29) + (31 29) + (31 29) = 3.6 ;标准差为s甲=寸 3.6.乙地 5 天的气温为 2

14、8,29,30,31,32,28+ 29+ 30+ 31 + 32其平均数为x乙=30;12212 2 2 2 2方差为szi= (28 30) + (29 30) + (30 30) + (31 30) + (32 30) = 2; 5标准差为s乙=/2.X甲VX乙，s甲s乙.解得y= 8.引申探究1 .本例(2)中条件不变，试比较甲、乙两组哪组成绩较好.解由原题可知x= 5,则甲组平均数为9+12+丁24+27= 1745而乙组平均数为 16.8，所以甲组成绩较好.2 .在本例(2)条件下：求乙组数据的中位数、众数；求乙组数据的方差.解 由茎叶图知，乙组中五名学生的成绩为9,15,18,1

15、8,24.故中位数为 18,众数为 18.212 2 2 2s=(916.8)+(1516.8)+(1816.8)X2+(2416.8) =23.76.5思维升华茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似它优于频率分布 直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记 录和表示其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.阶详门濟：(1)某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的 茎叶图如图所示，以组距为 5 将数据分组成0,5) , 5,10)，30,35) , 35,40时, 的频率分布直方图是()17

16、644307554320385430由茎叶图及已知得 x= 5，又乙组数据的平均数为16.8，即9+ 15+ 10+y+ 18+ 24516.8 ,所作513则 7 个剩余分数的方差为口7B，应选 A.-91)2+ (90 - 91)2+ (91 -91)2+ (90 -91)2+ (94 -91)2+ (91 - 91)2=7(16 + 9+ 1+ 0 + 1+ 9+ 0) = 36.题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例 3 (1)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5 次训练成绩(单位：环)，结果如下:运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲8791908993乙8990

17、918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 _答案 2(2)由题意知87+94+9+919+9+x+91= 91,解得x= 4.所以s2扌(87 - 91)2+ (940J(M0LO3002oni0ao4OuOG( (JU021 010 $0 3(41J人數(2)将某选手的 9 个得分去掉 1个最高分，去掉1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有1 个数据模糊, 无法辨认，在图中以x表示:116代可答案(1)A(2)B解析(1)由于频率分布直方图的组距为5,排除 CD,又0,5)，5,10)两组各一人，排除人数D141解析x甲=一(8

18、7 + 91 + 90 + 89 + 93) = 90,1x乙=(89 + 90+ 91 + 88+ 92) = 90 ,512 2 2 2 2 2$甲=(87 90) + (91 90) + (90 90) + (89 90) + (93 90) = 4, 521s乙=(89 90) + (90 90) + (91 90) + (88 90) + (92 90) = 2.5 (2)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.得分1分别求出两人得分的平均数与方差；2根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.解 由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10 分，13

19、 分，12 分，14 分，16 分；乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分. 10+ 13 + 12+ 14+ 16x甲=13;13+ 14 + 12+ 12+ 14x乙=13,1s*= (10 13)2+ (13 13)2+ (12 13)2+ (14 13)2+ (16 13)2 = 4; 5212 2 2 2 2s乙= 5【(13 13) + (14 13) + (12 13) + (12 13) + (14 13) = 0.8.由s甲si，可知乙的成绩较稳定.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高， 而乙的成绩则无明显提高.思维升华

20、平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.跟蹌训练 3 (2016 全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损15零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得以下柱状图：记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上

21、所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n= 19,求y与x的函数解析式；若要求需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于 0.5，求n的最小值；假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？解(1)当x19 时，y= 3 800 + 500(x- 19) = 500 x 5 700.所以y与x的函数解析式为3 800 ,x19由柱状图知，需更换的零件数不大于18 的频率为 0.46，不

22、大于 19 的频率为 0.7，故n的最小值为 19.(3)若每台机器在购机的同时都购买19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机 器在购买易损零件上所需费用的平均数为1 一而(3 800X70+ 4 300X20+ 4 800X10) =4 000(元),若每台机器在购机同时都购买20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000 元，10 台的费用为 4 500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用 的

23、平均数为1 一(4 000X90+ 4 500X10) = 4 050(兀).100比较两个平均数可知，购买1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.高频小考点9高考中频率分布直方图的应用16考点分析 频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档.用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布 直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解 及应用在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致通过频率分布表和频 率分布直方图可以对总体作出估计.频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面

24、积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条 形图是常见的错误.典例(12 分)(2016 四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案， 对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨),将数据按照0,0.5), 0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1) 求直方图中a的值；(2) 设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，说明理由；(3) 估计居民月均用水量的中位数.规范解答解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在0,0.5)的频率为 0.

25、08X0.5 = 0.04.同理，在0.5,1), 1.5,2), 2,2.5), 3,3.5), 3.5,4), 4,4.5等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.3分由 1(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5Xa+0.5Xa,解得a= 0.30.5 分由(1)知，100 位居民月均用水量不低于3 吨的频率为 0.06 + 0.04 + 0.02 = 0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30 万居民中月均用水量不低于3 吨的人数为 300 000X0.12 = 36000.8 分(3)设中位数为x吨.因为前

26、5 组的频率之和为 0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.21 + 0.25 = 0.730.5.而前 4 组的频率之和为0. 04 + 0.08 + 0.15 + 0.21 = 0.480.5.所以 2x2.5.由 0.50X(x- 2) = 0.5 0.48，解得x= 2.04.17故可估计居民月均用水量的中位数为2.04 吨.12 分18课时作业课时作业1. （2017 铁岭月考）在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减 5 后所得数据，则A, B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A.平均数B.标准差C.众数D

27、.中位数答案 B解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减 5 后所得数据，可得平均数、众数、中位数 分别是原来结果减去 5,即与A样本不相同，标准差不变，故选B.2 . （2016 山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20）, 20,22.5），22.5,25），25,27.5），27.5,30.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（）A. 56 B . 60 C . 120 D . 140答案 D解析 设所求人数为 N,贝 U N=

28、2.5X（0 .16 + 0.08 + 0.04）X200= 140,故选 D.3. （2017 北京西城区质检）下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22,30）内的频率为（）A.0.2 B . 0.4 C . 0.5 D . 0.6答案 B解析10 个数据落在区间22,30）内的数据有 22,22,27,294，共 4 个，因此，所求的频率为 10O17 52022.5 25 27.530自习时间 / 刃、时19=0.4.故选 B.20y土y2+ymX1+X2+Xn+y1+y2+ymn+mn X1+X2+xnmy1+y2+ym + n+mnn+m

29、m4. （2016 西安模拟）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为xi,X2,，xio，其平均数和方差分别为 7 和S2，若从下月起每位员工的月工资增加100 元，则这 10 位员工下月工资的平均数和方差分别为（）2 2B.x+ 100,s+ 100C.x,s22D.x+ 100,s答案 Dx1+X2+X10解析 -10- =x,yi=Xi+ 100,所以 屮，y2,，屮。的平均数为x+ 100,方差不变，故选 D.5. （2016 山西大学附中诊断测试）已知样本（为，X2,，Xn）的平均数为x,样本（y1,y2,yd的平均数为y（x丰y），若样本（X1,X2,，Xn,y,y2,，yn）

30、的平均数z=a x+1（1 a）y，其中 0a2，贝 Un,m的大小关系为（ ）A.nmD.不能确定解析由题意可得 7 =X1+ +Xnn21又 0a2，所以 0旦2，故nm2n+m2n+m6. （2016 北京朝阳区期末）在一段时间内有 2 000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为 90 km/h120 km/h，试估计 2 000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过 该处的汽车约有（）nn+mmn+my=a x+ (1 a)y,所以nmn+m=a,n+mr1a,221 - (0.01 +

31、 0.005)X10= 0.85 ,所以以正常速度通过该处的汽车约有 0.85X2 000 = 1 700（辆）.7 样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为 1，则样本方差为答案 2解析由题意可知样本的平均数为1,解得a=- 1，所以样本的方差为12 2 2 2 2-(-1- 1)2+ (0 - 1)2+ (1 - 1)2+ (2 - 1)2+ (3 - 1)2 = 2.58. （2015 湖北）某电子商务公司对 10 000 名网络购物者在 2014 年度的消费情况进行统计, 发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示.A. 3

32、0 辆C. 170 辆答案 D解析以正常速度通过该处的汽车频率为所以a+ 0 + 1 + 2+ 35频率D. 1 700 辆23（1）直方图中的a=_;在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 _ .答案（1）3（2）6 000解析由频率分布直方图及频率和等于1 可得 0.2X0.1 + 0.8X0.1 + 1.5X0.1 + 2X0.1 +2.5X0.1 +ax0.1 = 1,解得a= 3.于是消费金额在区间0.5,0.9内的频率为0.2X0.1 +0.8X0.1 + 2X0.1 + 3X0.1 =0.6，所以消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.6X10

33、000=6 000.9.若样本数据X1,X2，X10的标准差为 8,则数据 2x1- 1,2X2 1,，2x10-1 的标准差为答案 16解析 若xi,X2,，xn的标准差为s，则axi+b,ax2+b,，axn+b的标准差为as.由题意s= 8，则上述标准差为 2X8= 16.10 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20) , 20,40)，40,60) ，60,80) ，80,100.贝 U(1) 图中的x=_；(2) 若上学所需时间不少于1 小时的学生可申请在学校住宿，