2018版高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.5二项分布及其应用试题理

1、第十二章 概率、随机变量及其分布 12.5 二项分布及其应用试题 理北师大版基础知识自主学习基础知识自主学习Ef知识梳理-i.条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A BP AB来表示，其公式为 R A B =D(R Do).P B2 .相互独立事件(1) 一般地，对两个事件A,B,如果P(AB=P(A)RD，则称A, B相互独立.如果A,B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立.(3)如果Ai,A2,，A相互独立，则有P(A1A2A) = RA)P(A2)P( Ai).3 .二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1) 每次试验只有两个

2、相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2) 每次试验“成功”的概率均为p, “失败”的概率均为 1 p；(3) 各次试验是相互独立的.用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X=k) = Cipk(1 p)nk(k= 0,1,2，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n,p的二项分布，简记为XB(n,p).【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别(1) 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2) 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 条件概率一定不等于它的非条件概率.(X

3、)(2) 相互独立事件就是互斥事件.(X)(3) 对于任意两个事件，公式P(AB=PA)P(B)都成立.(X)2(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式，其中a= p,b=1-P-(x)(5)RBA)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AE)表示事件A B同时发生的概率.(V)考点自测1 .袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球， 从中依次摸出两个小球， 则在第一次摸得红球 的条件下，第二次仍是红球的概率为()答案 B解析 第一次摸出红球，还剩 2 红 5 黑共 7 个小球，所以再摸到红球的概率为|22 .(2016 江西于都三中月考)两

4、个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 -和334，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为()1511A. C. -D.21246答案B23解析因为两人加工为一等品的概率分别为-和 4,3A.8 B.23C. 8D.743答案 0.8解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得戸=將=0.8.0.75一 一 1 15.(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 3，乙去北京旅游的概率为 4，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1 人去北京旅游的

5、概率为 _ 答案 2解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A, “乙去北京旅游”为事件B,又P(AP)111=P(A) P(B) = 1 -P(A)1 -P(B) = (1 -3)(1 -4) = 2,“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，11故所求概率为 1-P(A B) = 1 -2=2.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一条件概率例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件A为“取到的 2 个数之和为偶数”，事件B为“取到的 2 个数均为偶数”，则P(BA)等于()1A.8C.5如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为 1 的

6、圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该 圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE阴影部分)内”，贝 UP(B|A) =_答案(1)B(2)11B.414解析P(A) = CfC2= 5,P(AB= |5= 10,45AB表示事件“豆子落在OEH内”，P AB_ OEH的面积1P(B|A)=PA=正方形EFGI面积=4.引申探究则结果如何?P(B) = C3=3，又A?B,则P(AB=RB)=鲁,2 在本例(2)的条件下，求P(A|B) 解 由题意知，/EOHk90,故P(B) = 思维升华条件概率的求法P AB(1)定义法：先求P(A)和P(AB，再由P(

7、B|A) P A求P(B|A) (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数“(AB，得P(B|A)=冒二亡门黒. (2016 开封模拟)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外 形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2 次抽到的是卡口灯泡的概率为()2B.27C.7P(B|A)=P ABPA1 若将本例(1)中的事件B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的2 个数均为奇数”，C2+ C25,P AB所以RBA) =34

8、.厂.OEH的面积又，FAB*=圆O的面积12X1X12n XI12?， P(A|B)P ABP B12n2r=76答案 D7解析 方法一 设事件A为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第 2 次抽到的是卡口灯泡”，小3377则 =而RAB=才 9= 30,方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口CC 7灯泡的概率为 g= 9.题型二相互独立事件的概率例 2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关，对其容量为100 的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010求T的分布列；(

9、2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率.解(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”.方法一-(A)=P(+T2W70) =P(T1= 25,Ta45)

10、 +P(T= 30,T270) =P(T1= 35,T2= 40) +P(= 40,T2= 35) +P(= 40,Tz= 40)=0.4X0.1+0.1X0.4+0.1X0.1=0.09,故P(A) = 1- R 入)=0.91.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法则所求概率为RBIA) =-P-J-7 - 9-7一303一108(1) 首先判断几个事件的发生是否相互独立.(2) 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：1利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.弓谅训 2(2016 青岛模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听

11、众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22 千米的地铁票价如下表：乘坐里程x(单位：km)0 x66x1212x0,.Xw4.TX服从XB(5 ,空), -P(X 1) = 9 贝URY1)=解析 XB(2 ,p),C.322一5=A.D.的值不能确定, 它与A,A,答案解析由题意A,Aa,A是两两互斥的事件,P(A)5110= 2，HA105由此C 正确;答案1917P（Xi）= 1 p（x= 0）= i c2（i p）2=9,1解得p= 3.又YB（3 ,p）,答案 8之间彼此独立，且P(A) = RD =P(C) = 2,由独立事件概率公式知RABC)=P(A)P(B)RC)1111=-

12、x X =.2 2 2 89 (2017 广州质检)设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若解析 设事件A发生的概率为P,由题意知(1 p)3= 1 64 =右，解得p=3，则事件A恰好10. (2016 荆州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，贝 UP(B|A) =_ .答案 7 解析 由题意知，P(AE)=爭=3,P（Y 1） = 1 P（Y=0）=1c3（1p）3=27.8如图所示的电路有a,b,c三个开关，每个开关开或关的概率都是2，且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为解析 灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开

13、，b开关必须断开,否则短路.设“a闭合”为事件A“b闭合”为事件B,“ABC,且AB, C事件A至少发生一次的概率为6364则事件A恰好发生一次的概率为答案964发生一次的概率为* 4x（4）2=6418P(A) = 1 -卜8,3所以RBA=prL=7=3 11 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏.(1) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数

14、的概率；用X, Y分别表示这 4 个人中去参加甲，乙游戏的人数，记E= |X-Y|，求随机变量E的分布列.解(1)依题意知，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1,去参加乙游戏的概率为2.设“这 4 个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件 A(k= 0,1,2,3,4)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P(A=C4?32=27.(2)设“这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 由于A与A互斥，故P(B) =P(A) + RAO = 魯 i+垮19.所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为E的所有可能取值为 0,2,4. 由于A与A

15、互斥，A与A互斥，故8P(E= 0) =RA)=27，40P(E =2)=RA)+RA)=81，17P(E =4)=RA)+RA)=81.所以E的分布列是P(A)=吋l4-kB,贝 VB=A3+A19E024P8401727818112. (2016 西安模拟)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：元，此作物的市作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1) 设X表示在这块地上种植1 季此作物的利润，求X的分布列；(2) 若在这块地上连续 3 季种植此作物， 求这 3

16、 季中至少有 2 季的利润不少于 解(1)设A表示事件“作物产量为 300 kg”，B表示事件“作物市场价格为 题设知 RA)= 0.5 ,P(B) = 0.4 ,因为利润=产量x市场价格-成本.所以X所有可能的取值为500X101 000=4 000,500X6-1 000=2 000,300X101 000=2 000,300X61 000=800.P(X=4 000)=F(_A)P_B)=(10.5)X(10.4)=0.3,P(X= 2 000) =F(A)RE) +F(A)F(B)2 000 元的概率.6 元/kg ”，由=(10.5)X0.4+0.5X(10.4)=0.5,P(X=8

17、00)=P(A)F(E)=0.5X0.4=0.2,故X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2设C表示事件“第i季利润不少于 2 000 兀”(i= 1,2,3),由题意知C, 由(1)知，P(C) =F(X= 4 000) +P(X= 2 000) = 0.3 + 0.5 = 0.8(i= 1,2,3),3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为3P(CQG) =F(G)P(G)RG) = 0.8 = 0.512 ;3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为G,G相互独立,P(C QG)+P(C C2C3) +F(CC2C3)2021=3X0.82X(10.8

18、)=0.384,所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512 + 0.384 = 0.896.13.李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场 1188主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512(1) 从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6 的概率；(2) 从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过 0.6 的概率.解(1)根据投篮统计数据，在10 场比赛中，李明投篮命中率超过0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2,主场 3，主场 5，客场 2,客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6 的概率是 0.5.(2)记事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6