职高数学概念公式

1、名师推荐精心整理学习必备职高数学概念与公式预备知识：（必会）1. 相反数、绝对值、分数的运算2. 因式分解（ 1）十字相乘法 如： 325x2(31)(x2)xx（ 2）两根法如： x2x1(x125 )( x1 5 )23.配方法如： 2x2x32(x1) 225484. 分数（分式）的运算5. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法（ 1） 代入法（ 2） 消元法6.完全平方和（差）公式：a 22abb2(ab) 2a 22ab b2(a b) 27.平方差公式： a 2b2(ab)(ab)8.立方和（差）公式：a3b3(ab)(a2abb2 )a3b3(a b)(a 2ab b

2、2 )9.注：所有的公式中凡含有“”的，注意把公式反过来运用。第一章集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、 图像法（文氏图） 。注：描述法 x|x,x；另重点类型如： y |yx23 1,x( 1,3x元素元素性质取值范围3. 常用数集： N （自然数集） 、 Z （整数集）、 Q （有理数集） 、 R （实数集）、 N * （正整数集）、 Z （正整数集）4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（ 1） 元素与集合是“”与“ ”的关系。（ 2） 集合与集合是“” “ ”“ ”“ ”的关系。注：（1）空集是任何集合的子集，任何

3、非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（ 2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n1 个，非空真子集有2n2 个。5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（ 1） AB x | xA且xB ： A 与 B 的公共元素（相同元素）组成的集合名师推荐精心整理学习必备（ 2） AB x | xA或xB ： A 与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。（ 3） CU A： U 中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。注： CU(AB)CUACUBCU(AB)CUACUB6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7. 命

4、题：能判断真假的语句。8. 逻辑联结词：且（）、或（）非（）如果 那么 （）量词：存在（）任意（）真值表：p q ：其中一个为假则为假，全部为真才为真；p q ：其中一个为真则为真，全部为假才为假；p ：与 p 的真假相反。（同为真时 “且” 为真，同为假时 “或” 为假，真的 “非” 为假， 假的“非” 为真；真“推” 假为假， 假“推”真假均为真。 ）9. 命题的非（ 1）是 不是都是不都是（至少有一个不是）（ 2） ，使得p 成立对于 ，都有p 成立。对于 ，都有p 成立 ，使得p 成立（ 3）( pq)pq( pq)pq10. 充分必要条件p 是 q 的 条件p 是条件， q 是结论充

5、分pqp是q的充分不必要条件（充分条件）不必要不充分pqp是q的必要不充分条件（必要条件）必要充分pqp是q的 充 分 必 要 条(充件要条件 )必要不充分pqp是q的 既 不 充 分 也 不 必 件要 条不必要注：另外一种情况，p 的条件是 q 。（ q 是条件，p 是结论）第二章不等式名师推荐精心整理学习必备1. 不等式的基本性质： （略）注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：20102009与20092008 （倒数法）等。（ 2）不等式两边同时乘以负数要变号！ ！（ 3）同向 的不等式可以相 加（不能相减），同正的同向 不等式可以相乘。2. 重要

6、 的不等式：（ 均值定理 ）（ 1） a 2b 22ab ，当且仅当 ab 时，等号成立。（ 2）b2ab a bR) ，当且仅当 a b 时，等号成立。a( ,（ 3）b c3abc a b c R) ，当且仅当 a bac 时，等号成立。( , ,注： ab （算术平均数）ab （几何平均数）23. 一元一次不等式的解法（略）4. 一元二次不等式的解法（ 1） 保证二次项系数为正（ 2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：（ 3） 定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间注： 若0或0 ，用配方的方法确定不等式的解集。5. 绝对值不等式的解法若

7、 a0 ，则| x |aaxa|或|xax axa6. 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.7. 多因式不等式的解法：穿根法。标根后，从右上角开始划线， “奇次一穿而过，偶次穿而不过”第三章函数1.映射一般地，设A、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作：f : AB 。注：理解原象与象及其应用。（ 1） A 中每一个元素必有惟一的象；（ 2）对于 A 中的不同的元素，在B 中可以有相同的象；（ 3）允许 B 中元素没有原象。2. 函数（ 1） 定义：函数

8、是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。（ 2） 函数的表示方法：列表法、 图像法、解析式法 。注： 在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。3. 函数的 三要素：定义域、值域、对应法则名师推荐精心整理学习必备（ 1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围主要依据：分母不能为0偶次根式的被开方式0特殊函数定义域yx0 , x0y a x ,( a 0且a 1), x Ry且a1), x0log a x,( a 0ytan x, xk,( k Z)2（ 2）值域的求法：y 的取值范围正比例函数： ykx 和 一次函数： y kxb 的值域为 R二

9、次函数： y ax2bxc 的值域求法：配方法。如果x 的取值范围不是R 则还需画图像反比例函数： y1的值域为 y | y 0xaxbaycx的值域为 y | ydcymx n的值域求法：判别式法ax2bx c另求值域的方法：换元法 、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。（ 3）解析式求法：在求函数解析式时可用换元法 、构造法、待定系数法等。4. 函数图像的变换（1） 平移y向右平移yf ( x a)yf ( x)向左平移f ( x a)f ( x)ya个单位a个单位y向上平移yf ( x) ayf ( x)向下平移f ( x) af ( x)ya个单位a个单位（ 2）翻折yf

10、 ( x)沿 x轴yyf ( x)上、下对折yf ( x)保留 y轴右边图像f (| x |)y右边翻折到左边f ( x)保留 x轴 上 方 图 像y | f ( x) |下方翻折到上方5. 函数的奇偶性（ 1）定义域关于原点对称名师推荐精心整理学习必备（ 2）若 f (x)f (x)奇若 f (x)f (x)偶注：若奇函数在x0处有意义，则f (0)0常值函数f ( x)a （ a0 ）为偶函数 f ( x)0 既是奇函数又是偶函数6. 函数的单调性对于 , 且，若x1、 x2a b x1x2f ( x1 ) f ( x2 ),称在上为增函数f ( x) a,bf ( x1 ) f ( x2

11、 ), 称f ( x)在a, b上为减函数增函数： x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。减函数： x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性：h( x)f ( g(x)f ( x) 与 g( x) 同增或同减时复合函数h( x) 为增函数； f ( x) 与 g ( x) 相异时（一增一减）复合函数h( x) 为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。7. 二次函数（ 1）二次函数的三种解析式一般式： fxax2bx c （ a0 ）() 顶点式：fxa xk)2h（ a0 ），其中(k, h)为顶点( )(两根式： f ( x)a(x

12、x1 )( xx2 )（ a0 ），其中 x1、x2 是 f ( x)0 的两根（ 2）图像与性质二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：开口a0开口向上a0开口向下b对称轴： x2a2顶点坐标：(b , 4ac b )2a4a0 有两交点与 x 轴的交点：0有1交点0 无交点一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）名师推荐精心整理学习必备x1x2bax1x2caf x ax2bxc 为偶函数的充要条件为b0() 二次函数（二次函数恒大（小）于0）f ( x)0a0图像位于 x轴上方0f ( x)0a0图像位于 x轴下方0 若二次函数对任意x 都有 f (t x)f (tx) ，则其对称

13、轴是 xt 。 若二次函数 f ( x)0 的两根 x1、 x2 . 若两根 x1、x2 一正一负0则x1x20 . 若两根 x1、x2 同正（同负）00若同正，则 x1x20若同负，则 x1 x2 0x1x20x1 x20 .若两根 x1、x2 位于 (a, b) 内，则利用画图像的办法。00若a 0, 则f (a)0若a0,则 f (a) 0f (b)0f (b)0注：若二次函数f (x)0的两根 x1、x2 ； x1 位于 ( a, b) 内， x2位于 (c, d ) 内，同样利用画图像的办法。8. 反函数（ 1）函数 yf ( x) 有反函数的条件x与 y 是一一对应的关系（ 2）求

14、 yf ( x) 的反函数的一般步骤：确定原函数的值域，也就是反函数的定义域由原函数的解析式，求出x名师推荐精心整理学习必备将 x, y 对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。（ 3）原函数与反函数之间的关系 原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域二者的图像关于直线yx 对称原函数过点( a, b) ，则反函数必过点(b, a)原函数与反函数的单调性一致第四章指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算（ 1）根式的性质： n 为任意正整数， (na)na当 n 为奇数时， na na ；当 n 为偶数时， na n| a |零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。（ 2

15、） 零次幂： a 01(a0)（ 3）负数指数幂：a n1(a 0, nN * )an（ 4）分数指数幂：ma nn a m(a 0, m, n N 且 n 1)（ 5）实数指数幂的运算法则：(a0, m,nR) am a nam n (a m )na mn (a b)na n bn2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。3. 幂函数 yx a 当a 0时， y xa 在（0， ）上单调递增当a 0时， y xa 在（0， ）上单调递减4. 指数与对数的互化abNlog a Nb(a0且a1)、(N0)5. 对数基本性质： log a

16、a 1 log a 1 0 a log a NN log a a NN loga b与 log b a互为倒数log a b log b a1log a b1log b a log a m b nn log a bm6. 对数的基本运算：名师推荐精心整理学习必备log a (M N ) log a M log a Nl o gaMl o ga M l o gaNNlog b N(b 0且b1)7.换底公式： log a Nlogb a8. 指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定x(a的常数y logax(a 0, a 1的常数 )ya0, a 1)义图像(1)xR, y 0(1)xR

17、, y0性图像经过 (0,1)点(2)图像经过 (1,0)点(2)质a1, ya x为增函数；（ 3）a1, ylog a x在( 0,)上为增函数；（ 3）0a1, yax为减函数0a1, ylog a x在(0, )上为减函数9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值 0，1 来过渡。10. 指数方程和对数方程（ 1） 指数式和对数式互化（ 2） 同底法（ 3） 换元法（ 4） 取对数法（ 5）超越方程（作图法）注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常数每一项与

18、前一项之比为同一个常数定a2 a1a3a2an an 1 da2a3anq (q0)a1a2an 1义注：当公差 d0时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0；当公比为1 时，数列为常数列名师推荐精心整理学习必备通项ana1(n 1)dan a1qn 1公式推（ 1） danam（ 1） qnmannmam论（ 2） anam(n m)d（ 2） anamq n m（ 3）若 mn p q ，则 am an a p aq（ 3）若 m np q ，则 amana p aq中项三个数 a、 b、 c 成等差数列，则有三个数 a、 b、 c 成等比数列，则有公式2bacba cb2ac前

19、n2n(n 1) dnan q （ q项和Snn(a1 an )na1Sna1 (1 q) a11）公式221 q1q其S2n(2n1) an 如： S77a4它1等差数列的连续n 项之和仍成等差数列等比数列的连续n 项之和仍成等比数列1. 已知前 n 项和 Sn 的解析式，求通项 ananS1(n1)SnSn 1(n2)2.弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。 （见教材）第六章三角函数1. 理解正角、负角、零角的定义，并能表示终边相同的角。2. 弧度和角度的互换180o弧度1o弧度0.01745 弧度1801弧度(180)o57 o18'3. 扇形弧长公式和面积公式L

20、扇| rS扇1 Lr1| r2（记忆法：与SABC1 ah 类似）222注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。重要例题： 3+X 书 P106 例 4.4. 任意三角函数的定义：对边倒数csc1sin记忆法： S、C 互为倒数斜边sin名师推荐精心整理学习必备邻边倒数1cossec斜边cos对边倒数1tancot邻边tan5. 特殊三角函数值记忆法： C、 S 互为倒数00030 045060090 0一象限6432sin0123422222cos43210222223tan013不存在36. 三角函数的符号判定（ 1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的，其余的为负）（ 2

21、） 图像记忆法7. 三角函数基本公式tansin1（可用于化简、证明等）coscotsin221.cos2.1cos1求；或者反过来运用。注意的运用）（ 可用于已知 sin1tan 2sec2（可用于已知 cos（或 sin）求 tan或者反过来运用）8. 诱导公式（ 1）口诀：奇变偶不变，符号看象限。解释：指 k(kZ ) ，若 k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。2（ 2）分类记忆去掉偶数倍（即 2k）将剩下的写成（一象限）、（二象限）、（三象限）、（四象限） 再看象限定正负号（函数名称不变） ；或写成-（一象限）、（二象限） ，再看象限定正负号（要变函数名22称）要特别注

22、意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。9. 已知三角函数值求角（ 1）确定角所在的象限（ 2）求出函数值的绝对值对应的锐角'（ 3） 写出满足条件的 0 2 的角（ 4） 加上周期（同终边的角的集合）名师推荐精心整理学习必备10. 和角、倍角公式sin()sincoscossin注意正负号相同cos()coscossinsin注意正负号相反tan()tantantantantan()(1 t a n t a n )1tantan特别注意当时的运用sin 22 sin cos4cos 2cos2sin 22cos21 12 sin 2tan 22

23、 tan1tan 2sin 33sin4sin 3cos34 cos33 cos注：半角公式可由倍角公式推得。另重点类型：tan1cossin1cossin1cos1cos2重要例题： 3 X书 P119P121 例 1例 3.11. 三角函数的图像与性质性质函数图像值域同期奇偶定义域单调性性 2k,2ky sin xx R 1,1T 222奇3 2k,2k22 2k,2k ycosxxR 1,1T2偶 2k ,2k名师推荐精心整理学习必备y tan xxkRT奇(k, k)222k Z12. 正弦型函数 y Asin( x)( A 0,0)(1)定义域 R ，值域 A, A（ 2）周期：2T

24、（ 3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。（ 4） y a sin x b cos x 类型y a sin xbcos xa 2b2 sin(x )13. 正弦定理abc（ R 为ABC 的外接圆半径）sin A2Rsin B sin C其他形式：（ 1） a2R sin Ab2R sin Bc 2R s i nC （注意理解记忆，可只记一个）（ 2） a : b : c sin A : sin B : sin C14. 余弦定理a2b2c22bc cos Acos Ab 2c 2a 2（注意理解记忆，可只记一个）2bc15. 三角形面积公

25、式S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B（注意理解记忆，可只记一个）222另海伦公式：ABC 中，三边长分别为a,b,c 则 S ABCP( P a)( P b)( Pc) （其中 P 为ABC 的半周长， Pabc2）16. 三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如两边之各大于第三边、三内角和为 1800 ，第一个内角都在 (0, ) 之间等。第七章平面向量1. 向量的概念（ 1）定义：既有 大小又有方向的量。名师推荐精心整理学习必备（ 2）向量的表示： 书写时一定要加箭头！另起点为 A ，终点为B 的向量表示为AB 。（

26、3） 向量的模（长度） ： | AB | 或| a |（ 4） 零向量：长度为 0，方向任意。单位向量：长度为 1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2. 向量的运算（ 1） 图形法则三角形法则平形四边形法则（ 2）计算法则加法： ABBCAC减法： ABACCA（ 3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律3.数乘向量：a （ 1）模为： | a |（ 2）方向：为正与 a 相同；为负与 a 相反。4.AB 的坐标：终点 B 的坐标减去起点A 的坐标。AB( xB xA , yBy A )5.向量共线（平行） ：惟一实

27、数，使得 ab 。（可证平行、三点共线问题等）6.平面向量分解定理：如果e1 ,e2 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a ，都存在惟一的一对实数 a1 ,a2 ，使得 aa1 e1a2 e2 。向量 a 在基 e1 ,e2 下的坐标为 ( a1 , a2 ) 。7.中点坐标公式： M 为 AB 的中点，则 OM1OB)(OA28.注意 ABC 中，（1）重心 (三条中线交点 ) 、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点） 、垂心（三高线的交点）的含义（ 2）若 D 为 BC 边的中点，则 AD1(AB AC)坐标：两点坐标相加除以 22

28、（3）若 O 为ABC 的重心，则 AOBO CO0; (重心坐标：三点坐标相加除以3)9. 向量的内积（数量积）（ 1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围 0, 。（ 2）内积公式：a b| a |b | cosa,b10. 向量内积的性质：名师推荐精心整理学习必备（ 1） cos a,ba b（夹角公式）| a | b |（ 2） a ba b 0（ 3） a a| a |2 或 | a | a a（长度公式）11. 向量的直角坐标运算：（ 1） AB( xBxA , yBy A )（ 2）设 a( a1 , a2 ), b(b1 , b2 ) ，则ab( a1b1 ,a2b2 )

29、a( a1 , a2 )a ba1b1a2 b2（向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积）12. 向量平行、垂直的充要条件设 a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 ) ，则a ba1b1（相对应坐标比值相等）a2b2a ba b0a1 b1 a2 b2 0 （两个向量垂直则它们的内积为0）13. 长度公式（ 1）向量长度公式：设 a(a, a ) ，则 | a | a12a2212（ 2）两点间距离公式：设点A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 则| AB | ( x2 x1 ) 2( y2 y1 ) 214.中点坐标公式：设线段AB 中点为 M ，且 A( x1 ,

30、y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x, y) ，则xx1x22（中点坐标等于两端点坐标相加除以2）y1y2y215.定比分点公式：P 为有向线段p1 p2 的分点，且 P1 ( x1 , y2 ), P2 ( x2 , y2 ), P( x, y) ，点 P 分有向线段 p1 p2成定比P1 P(注意方向 ) (1) ，则有 xx1x2 ， yy1y2 。PP211名师推荐精心整理学习必备注：遇到这种类型的题，可用向量的办法来解更简单。利用P1PPP2 用坐标来算。16. 向量平移（ 1）平移公式：点P( x, y) 平移向量 a(a1 ,a2 )到P'( x',

31、 y') ，则x'xa1记忆法：“新 =旧 +向量”y'ya2（ 2）图像平移：yf ( x) 的图像平移向量a(a1 ,a2 ) 后得到的函数解析式为：ya2f ( xa1 )第八章平面解析几何1.曲线C 上的点与方程F (x, y)0 之间的关系：（ 1）曲线C 上点的坐标都是方程F ( x, y)0 的解；（ 2）以方程F ( x, y)0的解( x, y) 为坐标的点都在曲线C 上。则曲线C 叫做方程F ( x, y)0的曲线，方程F ( x, y)0 叫做曲线C 的方程。2. 求曲线方程的方法及步骤（ 1） 设动点的坐标为 ( x, y)（ 2） 写出动点在曲

32、线上的充要条件；（ 3） 用 x, y 的关系式表示这个条件列出的方程（ 4） 化简方程（不需要的全部约掉）（ 5） 证明化简后的方程是所求曲线的方程如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。重要题型： 3+X 书 P171 题 4.3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。4. 直线（ 1）倾斜角：一条直线 l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是0, )（ 2）斜率：倾斜角为 900 的直线没有斜率； ktan注：当倾斜角（倾斜角的正切）增大时，斜率k 也随着增大；当倾斜角减小时，斜率k 也随着减小！v2已知直线 l 的方向向量为v(v1 , v2 ) ，则

33、 klv1经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2(x2y2y1( x1x2 ), y2 ) 的直线的斜率 Kx1x2名师推荐精心整理学习必备直线 Ax ByC0的斜率KAB（ 3） 直线的方程点向式： xx0yy0v(v1 , v2 ) 为 l 的方向向量，方向向量与l 平行v1v2两点式： yy1xx1y2y1x2x1点法式： A(xx0 )B( yy0 )0v' ( A, B) 为 l 的法向量，法向量与l 垂直斜截式： ykxb点斜式： yy0k(xx0 )截距式： xy1a为l在 x轴上的截距， b为l在 y轴上的截距ab一般式： AxByC0其中直线 l 的一个方向向

34、量为 ( B, A)注： ( ) 若直线 l方程为 3x4 y 50 ，则与 l 平行 的直线可设为 3x4 yC0 ；与 l 垂直 的直线可设为 4x 3 y C0 。（）求直线的方程最后要化成一般式。（）会求截距，如在 x 轴上的截距即当y0 ， x? 截距可以是负数！（）一般比较复杂的题需要设直线的方程尽量用斜截式或点斜式；同时注意考虑斜率不存在的情况是否也满足条件。（ 4）两条直线的位置关系 斜截式： l1: yk1 x b1 与 l 2: y k2 x b2l 1 l 2k1k2且b1b2l 1 与 l 2 重合k1k2 且b1b2l 1 l 2k1 k21l 1与 l 2相交k1k2 一般式： l1: A1 xB1xC10 与 l 2 : A2 x B2 x C2 0l 1 l 2A1B1C2(相对应系数成比例 )A2B2C2名师推荐精心整理学习必备l 1与 l 2 重合A1B1C2(相对应系数成比例 )A2B2C2l 1 l 2A1 A2B1 B20(与向量一样，横坐标系数之积加纵坐标系数之积