考研数学二公式高数线代(费了好大的劲)技巧归纳

1、名师推荐精心整理学习必备高等数学公式一、常用的等价无穷小当x 0 时xsinxtan xarcsinxarctan xln（ 1+ x ） ex -1ax-1 x ln a x( 为任意实数，不一定是整数)(1+ x ) -1 1-cosx1x 22增加x -sin x13对应arcsinx x13xx66tan x x1 x 3对应x - arctan x1 x 333二、利用泰勒公式xx22）e = 1 + x +2！o（ xx33sin x xo（ x ）3!名师推荐精心整理学习必备x22）cosx = 1 o（ x2！导数公式：(tgx)sec2 x( ctgx)csc2 x(sec

2、x)secx tgx(csc x)csc x ctgx( ax )a x ln a1(log a x)x ln a基本积分表：x22）ln（ 1+ x ） = x o（ x21(arcsin x)x21(arccos x)1x211(arctgx )1 x21(arcctgx )x21tgxdxln cos xCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcsc xdxln csc xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1 arctg xCcsc xctgxdxcsc xCa2x2

3、xaaa xdxaCdx1xaCln ax2a2ln2axashxdxchxCa2dxx21 ln axCchxdxshxC2aaxdxx2arcsin xCdxa 2ln( xx2a2 )Ca2ax 22sin n2cosn xdxn1 I n 2I nxdx00nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a 2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：sin x2u2 ， cos x1u 2ux2duu1u2 ，tg ，dxu2121名师推荐精心整理学习必备一些初等函数：两个重要极限：exe x双曲正弦

4、: shx2exe x双曲余弦 : chx2双曲正切 : thxshxexechxexearshxln( xx21）archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1xlim sin x1x 0xlim (11 )xe 2.7182818284 59045.x xxx三角函数公式：·诱导公式：函数角 Asincostgctg- sin cos- tg -ctg 90°-cossin ctg tg 90°+cos-sin - ctg -tg 180°-sin -cos- tg -ctg 180°+- sin -costg ctg 270&

5、#176;- cos-sin ctg tg 270°+- cossin - ctg -tg 360°- sin cos- tg -ctg 360°+sin costg ctg ·和差角公式：·和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintg()tgtg1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg()22ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：名师推荐精心整理学习必备sin 22 sincoscos22 c

6、os2112sin 2cos2sin2sin 33sin4 sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg1 3tg 2tg 2tg 21·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos21cossin1cos2·正弦定理：abc2R222·余弦定理： cab2abcosCsin A sin Bsin C·反三角函数性质：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：n(uv

7、) ( n)Cnku (n k ) v(k)k0u ( n) v nu (n 1) vn( n1) u( n 2 )vn(n1)( nk 1) u( nk )v (k)uv (n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b)f (a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()当 F( x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：.:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；：MM弧长。KssM 点的曲率： Klimdy.sds(1y 2 )3s 0直线： K0;半径为

8、的圆：1aK.a名师推荐精心整理学习必备定积分的近似计算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bba( y0抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3yn 1 )a3n定积分应用相关公式：功： W F s水压力： Fp A引力：m1 m2为引力系数Fkr 2, k1b函数的平均值：f ( x) dxyba a1b均方根：f 2 (t )dtba a多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：z dzf x

9、(x, y) xf y ( x, y)y多元复合函数的求导法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx当u，v( x, y)时，u( x, y) vduu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dyFx ，d 2 yFxFxdy0dxFydx2()()x Fyy Fydx隐函数F ( x, y, z)， zFx ，zFy0xFzyFz名师推荐精心整理学习必备F ( x, y,u,v)0(F ,G)FFFuFvuv隐函数方程组：0JGGGuGvG( x, y,u,v)(u, v

10、)uvu1(F,G)v1( F,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：设 f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： fxx ( x0 , y0 ) A,f xy ( x0 , y0 )B,f yy ( x0 , y0 ) CACB 2A 0, (x0 , y0 )为极大值0时，A 0, ( x0 , y0 )为极小值则： ACB20时，无极 值ACB20时,不确定重积分及其应用：f (x, y)dxdyf ( r cos, r sin)rdrd

11、DD22曲面的面积A1zzz f (x, y)xdxdyDyM xx( x, y)dM yy( x, y)d平面薄片的重心： xD,yDM(x, y)dM( x, y)dDD平面薄片的转动惯量： 对于 x轴I xy 2(x, y)d,对于 y轴I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于平面）对 轴上质点M (0,0,a), (a的引力：F Fx , Fy , Fz，其中：xoyz0)( x, y)xd3 ，Fyf( x, y) ydFzfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2名师推荐精心整理学习必备微分

12、方程的相关概念：一阶微分方程： yf (x, y)或 P( x, y)dxQ (x, y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 g( y)dyf (x) dx的形式，解法：g ( y) dyf (x)dx得： G ( y)F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成 dyf (x, y)( x, y)，即写成 y 的函数，解法：dxx设 uy ，则 dyux du ， udu(u)， dxduu分离变量，积分后将y 代替 u，xdxdxdxx(u)x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程： dyP(x) yQ( x)dx当 Q( x)0时 ,为齐次方

13、程， yCeP ( x) dx当 Q( x)0时，为非齐次方程，y( Q (x)eP( x) dxdxP ( x )dxC )e、贝努力方程： dyP(x) yQ( x) yn，0,1)2dx(n全微分方程：如果P(x, y)dxQ( x, y)dy中左端是某函数的全微 分方程，即：0du(x, y)P(x, y) dxQ( x, y) dy，其中： u，uQ( x, y)0xP( x, y)yu( x, y)C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：2ydy， f ( x)时为齐次d0dx2P(x) dxQ( x) yf (x)时为非齐次f ( x)0二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(

14、*) ypyqy0，其中 p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程： ( )r 2prq0，其中 r 2， r的系数及常数项恰好是(*) 式中 y , y , y的系数；2、求出 ()式的两个根 r1, r23、根据 r1 ,r2的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解：(*) 式的通解r1，r2的形式两个不相等实根 (p24 0)r1xr2 xqy c1ec2 e名师推荐精心整理学习必备两个相等实根(p240)y(c1r1 xqc2 x)e一对共轭复根(p240)yex(c1 cos x c2 sin x)qr1i，r2ip ，4q p 222二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf (

15、x)， p,q为常数f ( x)e x Pm ( x)型，为常数；f ( x)e x Pl ( x) cosxPn ( x)sinx型1、行列式1. n 行列式共有 n2 个元素，展开后有 n! 项，可分解为 2n 行列式；2. 代数余子式的性质：、 Aij 和 aij 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3.代数余子式和余子式的关系：M ij ( 1)i jAijAij (1)ij M ij4.设 n 行列式 D ：将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为n( n 1)D1 ，则 D1( 1)2D ；将

16、 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为将 D 主副角线翻转后，所得行列式为D4 ，则5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n ( n 1)D2，则 D2( 1)2D；D3，则 D3D；D4D；n( n 1)、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；n( n1)、 和 ：副对角元素的乘积( 1)2；AOACCAOA、拉普拉斯展开式：BOBA B 、OB( 1)m n A BCBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；名师推荐精心整理学习必备n6.对于 n 阶行列式 A

17、，恒有： E An( 1)k Skn k ，其中 Sk 为 k 阶主子式；k17.证明 A0 的方法：、 AA ；、反证法；、构造齐次方程组Ax0 ，证明其有非零解；、利用秩，证明r ( A)n ；、证明 0 是其特征值；2、矩阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A 0 （是非奇异矩阵）；r ( A)n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 有非零解；b R n ， Ax b 总有唯一解；A与 E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的特征值全不为0；AT A 是正定矩阵；A 的行（列）向量组是R n 的一组基；A 是 R n 中某两组基的过渡矩阵；2.对于 n

18、 阶矩阵 A ： AA*A* AA E 无条件恒 成立；3.(A 1)*(A*) 1(A 1)T(AT) 1(A*)T(AT )*(AB)TBT AT(AB )*B* A*(AB) 1B1A14. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、 B可逆：A1若 AA2，则：As、 AA1 A2As ；A11、A1A21；As1A1A 1O、O；（主对角分块）OBOB 1名师推荐精心整理学习必备OA1B 1、O；（副对角分块）BOA 1OAC11A1CB1、AOBOB 1；（拉普拉斯）AO1A1O、；（拉普拉斯）CBB1CA1B 13、矩阵

19、的初等变换与线性方程组1. 一 个 m n 矩阵 A ， 总 可经 过 初 等 变换 化 为 标 准 形， 其 标 准 形 是唯 一 确 定 的：E rO；FO O m n等价类： 所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合， 称为一个等价类； 标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、 B ，若 r (A)r ( B)AB ；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用： （初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）r、若 (A, E)(E , X)，则 A可逆，且XA 1；、对矩阵 ( A

20、, B ) 做初等行变化， 当 A 变为 E 时，B 就变成 A 1B ，即：(A,B)c(E, A 1B) ；r、求解线形方程组： 对于 n 个未知数 n 个方程 Axb ，如果 ( A, b)(E , x) ，则 A 可逆，且 xA 1b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1、2，左乘矩阵A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元n素；111、对调两行或两列， 符号 E (i , j ) ，且 E (i,j )1 E (i,j )，例如： 11；11、倍乘某行或某列，符号E(i ( k) ，)且

21、 E ( i( k )1 )E1 (i (， )例) 如 ：k名师推荐精心整理学习必备1111k( k0) ；k11 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 号 E (ij ( k), 且 E ( ij(k) 1E (ij ( k ) ， 如 ：11k1k11(k0) ；115. 矩阵秩的基本性质：、 0 r ( Am n ) min( m, n) ；、 r ( AT )r ( A) ；、若 AB ，则 r ( A) r ( B ) ；、若 P 、 Q 可逆，则 r (A)r ( PA)r (AQ )r (PAQ ) ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 max( r ( A), r ( B)r

22、(A, B)r ( A)r ( B) ；（ ）、 r ( A B)r ( A)r (B ) ；（ ）、 r ( AB )min( r (A), r ( B) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB0，则：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解（转置运算后的结论）；、 r (A)r (B)n、若 A、 B均为 n 阶方阵，则 r ( AB )r ( A)r ( B )n ；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为 列矩阵（向量） 行矩阵（向量） 的形式，再采用结合律；1ac、型如 01b 的矩阵：利用二项展开式；001二项展开(a b)

23、nCn0anCn1 an 1b1Cnm an m bmCnn 1a1bn 1 Cnn bn注：、 (a b) n 展开后有 n1 项；、 Cnmn(n 1)(n m 1)n!Cn0Cnn11 2 3mm!( nm)!、组合的性质： CnmCnnmCnm1 CnmCnm1、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：nr ( A)n、伴随矩阵的秩：r (A* )1r (A)n1；0r (A)n1式：nCnm a m bn m ；m 0nCnr2nrCnrnCnr 11 ；r0名师推荐精心整理学习必备、伴随矩阵的特征值：A (AXX,A*A A 1A* XA X)；、 A*AA1、 A*n 1A8.

24、关于 A 矩阵秩的描述：、 r ( A)n ， A中有 n 阶子式不为0， n1 阶子式全部为0；（两句话）、 r ( A)n ， A中有 n 阶子式全部为 0；、 r ( A)n ， A中有 n 阶子式不为0；9. 线性方程组： Ax b ，其中 A 为 m n 矩阵，则：、 m 与方程的个数相同，即方程组Axb 有 m 个方程；、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组Axb 为 n 元方程；10. 线性方程组 Ax b 的求解：、对增广矩阵 B 进行初等行变换（ 只能使用初等行变换 ）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组

25、构成 n 元线性方程：a11 x1a12 x2a1n xnb1、 a21 x1a22 x2a2n xnb2；am 1x1 am 2 x2anm xnbna11a12a1nx1b1、 a21a22a2nx2b2Ax b（向量方程， A 为 mn 矩阵， m 个方程，am1am 2amnxmbmn 个未知数）x1、 a1a2x2anxn、 a1 x1a2 x2an xn、有解的充要条件：r ( A)b1（全部按列分块，其中b2）；bn（线性表出）r (A,)n （ n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1,2 ,m 构成 n m 矩阵 A (

26、1, 2, m ) ；T11T ,2T ,mT 构成 m n 矩阵 BTm 个 n 维行向量所组成的向量组B ：,2；Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关Ax0 有、无非零解； （齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb 是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）名师推荐精心整理学习必备3.矩阵 Am n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0 和 Bx0 同解；( P101 例 14)4. r ( AT A) r (A) ； ( P101 例 15)5. n 维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 ；

27、、,线性相关线性相关,坐标成比例或共线（平行）；共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若1,2 ,s 线性相关，则1 ,2 ,s, s 1 必线性相关；若1,2 ,s 线性无关，则1 ,2 ,s 1 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个分量，构成n 维向量组B ：若 A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组 A（个数为 r ）能由向量组B（个数为 s ）线性表示， 且 A 线性无关， 则 rs (二版 P74 定理 7)；向量组 A 能由向量组B 线性表示，则r (A)r (B ) ；（ P86 定理 3）向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解；r (A)r ( A, B ) （ P85 定理 2）向量组 A 能由向量组 B 等价r ( A)r (B)r ( A, B) （P85定理 2推论）8. 方阵 A可逆存在有限个初等矩阵P1, P2 , Pl ，使 AP1P2Pl ；r、矩阵行等价：A BPAB （左乘， P 可逆）Ax0 与 Bx0 同解c、矩阵列等价：A BAQB （右乘， Q 可逆）；、矩阵等价：A BPAQB（P、Q可逆）；9. 对于矩阵 Am n 与 Bl n ：、若 A 与 B 行等