小学论文：小学数学运算法则的教学研究

1、小学数学运算法则的教学研究正文:什么是运算？给两个数3和5,中间放上个加号，得8,这就是在做一种运算加 法。运算，就是从给定的东西出发，施行确定的步骤以获得确定的结果。那么严格意义上的 定义是怎样的呢？所谓运算，是在运算律指导下对具体式子进行变形的演绎过程。这里的“进 行变形”如果抽掉变形的具体内容而看它本质的东西，那么实际上是一个映射（函数关系）, 所以冇人把运算理解为一个特殊的映射j我们的很少在数学教学意义上讨论运算的一般概 念，我们更多的是研究数的运算。什么是运算;去则？关于数的运算的知识是人们在h常生活和牛产实践的经验中抽象 出来的，并且逐渐形成了 “法则”。运算法则是运算方法和程序的

2、规定，运算法则的理论依 据称为算理。运算法则说的是怎样算，算理说的是为什么这样算。通俗的说，小学数学运算 法则是川文字表述的运算规定，它是根据算理对运算过程实施细则作出的具体规定，它所反 映的是一种规范化的操作程序。数学家史宁屮先生曾对运算法则作出这样的评价：数的运算 法则是重耍的，如果让人类重新开始建立数学，那么，建立起来的新的数学会有多少耳现在 的数学是一样的呢？大概运算的法则是一样的，其他的就不好说了-数学在本质上研究的是抽象了的东西。那我们是否有疑问，运算法则有怎样抽彖过程。 这样我们町以提出一些疑问：运算法则的抽彖过程蕴含什么具体环节？运算法则的抽彖过程 中学生心理有什么变化？运算法

3、则的掌握与具体算式的运算有什么关系？木文试图对上述 问题进行剖析。一个过程：从直观到抽象、概括再到具体化按照数学科学的耍求，数学运算法则的叙述必须严密、准确，都耍经过严格的论证。 但受小学生认知发展水平和接受能力的限制，众多小学数学运算法则并不进行严格的证明。 小学数学运算法则-般采用合情推理，用不完全归纳法或类比法导出。通常都是以现实情境 和具体的计算为起点，通过一定数量算式的计算。止学牛经丿力观察、实验、探索、发现同类 算式之间的关系、规律，从中发现一些带有规律性的计算方法或具有普遍适用性的运算程序, 并对它们经过归纳、猜测、验证等过程上升为运算法则，然后用概括出来的法则指导计算, 由此将

4、抽彖的运算规定变成具体化的计算过程。简言z,小学生掌握运算法则要经过由直观 到抽象、概括再到具体化的心理发展过程。这一过程即“智力活动模式”。曹才翰. 中学数学教学概论【m . 北京：北京师范大学出版社，1999年.2史宁中数学思想概论一数量与数量关系的抽象【ml长春：东北师范大学出版社，2008年.纵观各种版本的小学数学教材，有关运算法则的内容基本上都是按照这种“智力活动 模式”编排。如二位数、三位数笔算减法的运算法则。两位数减两位数是学习笔算减法的开 始，i般先讲不退位的减法，主要讲先把相同数位对齐，再从个位减起；然麻讲退位减法, 主要讲个位上不够减，从十位退1,在个位上加10再减。在此基

5、础上类推到三位数减法、 多位数减法，但是退位减法，出现了连续退位，需要学生掌握“被减数哪一位上的数不够减, 就从前一位退1作十，和本位上的数加起来，再减”的法则。教材先安排了大量有关例题, 例题中冇大量的图示、直观演示（当前的教材以小棒、方块、计数器为主）。和相关的习题 让学生用竖式计算，学生计算屮逐步发现计算的操作程序，并从这些具有普遍意义的操作程 序中概括出三条运算法则规定：相同数位对齐；从个位减起；（3）被减数哪一位上的 数不够减，就从前一位退1作十，和木位上的数加起来，再减。紧接着乂用这种计算程序进 行大量的计算，从|佃把二位数、三位数笔算减法的法则变成具体的计算过程，完成学生对其运算

6、法则认识的笫二次飞跃。运算法则掌握过程的具体模式如下:直观 > 抽象.概括具体化实物化模型（小棒）的 计算过程辨别实物化模型的计算（小棒展示过程）激活记忆中有关的计算 图式领悟实物化模型所表示 的计算意义和结果展示（用符号形式）各例题 的计算过程辨析各计算过程区分各计算过程的相同点和 不同点抽取出一类计算过程的本质 属性定义：用一法则表示此类题 计算过程的本质要素整合：把该运算法则和其它 的运算法则建立联系审构：感知题目，建立 题目的结构检索：根据题目结构栈 出该类课題相应的计算 法则归属：将运算法则与題 目结构进行对照，确定 计算程序【资料：引自林奇芸小学生运算法则掌握的实验研究k33

7、 心理发展 与教 w,1989:（4）40.1当然，这一学习过程并非在一节课中完成。它的完整形成需耍几节课，甚至几个单元 的反复理解。二种变化:从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程从明确意识法则到完全不用意识法则的过程随着数学教育的改革，人们在争议与商讨中慢慢达成了一些共识：数学学习不再仅仅看 作知识技能的获得，而是理解为思维过程3。从学习心理学角度看，导出运算法则的思、维过 程是从展开的、详尽的思想开始，过渡到压缩的、省略的思维。学生掌握运算法则的过程是唐瑞芬、李士锚数学教育评价研究m上海：上海教育出版社,1998年:228. 从明确意识法则到完全不用意识法则的心理过程。“

8、从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程"指起初开始做一类新的 运算性质的题时，要求写出详尽的过程，尽最展开。随着学生熟练程度的增强，再逐渐过渡 到压缩、省略。经过这种从展开到压缩、详尽到省略的过程，可以加深对演算过程的理解, 少岀错误。学牛学习新运算法则的初期，我们希望学牛的思维活动总是按照法则规定的运算 步骤一步一步展开的，每一个运算步骤都要在他们的思维过程中详尽地展现出来。这起码有 二方面的好处，一是学生便于模仿，二是冇助于学生理解相关的算理与运算性质。如学生开 始学习除数是小数的除法，计算12. 6 = 0. 28 （义务教冇课程标准实验教科书小学数学（人 教版

9、）五年级上册，第22页例6）吋，我们引导学生的思维过程按照除数是小数的除法是 小数的除法法则规定的程序通常要经过以下的过程：1. 除数是小数怎么计算?可以把除数转化成整数，同时；2. 将除数“0.28”的小数点向右移动两位（扩大它的100倍）变成整数“28”；3. 被除数“12.6”的小数点向右移动两位（扩大它的100倍）;4. 被除数“12.6”小数部分的位数不够（怎么办）；5. 在被除数的末尾添一个“0”补足，被除数变成整数“1260”；6. 按照除数是整数的小数除法法则计算“1260*28”。当学生对同一类型的运算冇了比较熟练地掌握，对所用的运算法则冇了全面、深刻的理解以 后。在计算中就

10、会逐步压缩运算过程中的某些屮间环节，省略和简化其思维过程，成为同一 类运算小的-个局部，不再单独地加以考虑了。这时计算除数是小数的这一类运算，就会将 其思维过程压缩为两在步骤：1.根据除法商不变性质将除数是小数的除法算式变成除数是整 数除法算式；2.根据除数是整数的除法法则计算。从上面的例了和论述我们不难发现，学生学习运算法则初期展开的、详尽的思维过程实 际上是一个学生有意识认识、深刻理解法则的过程。展开是为了理解运算性质，详尽是为了 让学生按部就班模仿运算过程，确保运算结果的正确性。这对学生发展学牛数学思维的敏捷 性、灵活性带来不利，并因运算的繁琐让学牛丧失学习数学的兴趣。因此，当学生对所学

11、运 算法则有了疋确理解，一定量的习题训练后，教师应及时引导他们压缩和简化运算的思维过 程，使其计算速度适当加快，以保证学生的思维能力和运算能力得到冇效发展。在这种思维过程屮学生的心理过程也起了变化。冇研究表明，小学生运用运算法则进 行笔算，开始时学住总是通过在头脑里明确意识法则的运算规定去进行计算。即学生运用法 则的初期，而对具体的计算任务，他们要靠在头脑里联想法则的运算规定才能计算，并且这 种计算通常都是按法则规定的运算步骤左一步一步地展开，甚至有时还伴有对法则运算规定 的默诵。如小学二年级学生刚开始学习笔算加法36 + 35时，列竖式时他们要联想“相同数 位对齐”的运算规定，具体计算时要联

12、想“从个位加起”和“个位满10向i w 1”两条 运算规定才能完成计算任务。否则，其计算过程就会因为缺乏操作的依据而无法进行。经过 一定量的练习，当学纶对运算法则掌握得比较熟练后，看到算式就产牛“我会”的想法，计 算时就完全不用意识法则了，面对具体的版式学生无须去联想法则的运算规定就能直接进行 计算，整个计算过程完全变成了一种自动化的演算过程。如学生对整数加法法则冇了比较熟 练的掌握后，计算时他们根木不用去联想三条运算规定，而是肓接连通计算任务和计算过程 得出计算的结果。一个核心：寻找关系数学是一门“关系学”，懂数学的人都不会反对这个观点。但要认真问起来，什么叫关 系？数学中的关系中怎样的？能

13、不能给关系下一个普遍适用的定义？却会使不少人为难。在 数学里，可以抽象地给关系下定义» “设a, b是两个集合，由a中元素x和b屮元素y 配成的序偶x, y）组成的每一个集合r （也就axb的每一个子集r）都叫做a到b的一 个关系。”比方说，a是b的倍数，这是整数之间的一种关系。从数学内容，史宁中先生把 数学上的关系具体分成：数量关系、图形关系和随机关系等三类关系。从数学研究的“关系” 主要是以下三类乙等价关系。其中包括数的相等、和式的相等关系；序关系。其中包括数 的大小关系；对应关系。其中包括数最之间的相互依赖关系，即函数关系。我们寻找的关系，当然也包涵上述的一-些关系。我们主要是

14、想从认知结构的建构上探 讨，寻找运算法则之间的知识层次、知识间的相互关系及内在联系。学习和掌握知识不是简单的知识积累（堆砌），它耍求学习者在头脑中建立e好的认知结 构，包括清晰的知识层次、知识间的相互关系及内在联系，以及其中所蕴涵的数学思想和方 法。一些学生之所以不能灵活运用知识，是因为他们头脑储存屮缺少网络，或者只是一些无 序各b无关的破碎的小网络，其至是孤立的知识点。当面临解决问题情境时，难以将知识激 活，或无法将知识检索出来。而优秀的学生z所以优秀是因为他们头脑中冇一张存储冇序， 严密的、立体的知识网络，其存储方式不是点状，而是由知识组块形成的链状、网状、立体 结构，易于激活与提取。教学

15、经验表明，帮助学习者构建联结冇序数学知识网络对于深化数 学理解尤为重要。可让学生通过自己的总结做单元小结，比较知识之间的联系与区别、编织“张景中，任宏硕.漫话数学m北京：中国少年儿童出版社，2003年：122.5张奠宙等.小学数学研究m北京：高等教育出版社，2009年：12.结构，使z系统化，从中提炼出思想方法，用高观点统率全局。比如做完一道题后，这道题 反映了什么样的知识，关键点在哪儿？碰壁后如何找到止确路了的，还冇别的方法吗？冇更 简单的方法吗？还可引伸吗？经常作这样i川顾性的反思总结，评判能力会逐渐提高，这些体 验便及时纳人个人认知网络zm,其知识的存储在网络屮必然是有序的，编码也是合乎

16、规律 的。一个人对学习的体验是有时效性的，如果不及时进行总结反思，体验就会消退，从而失 去了将经验上升为规律，将感性上升为理性的时机。下面我们以加法笔算教学（人教版）为 例进行分析。笔算内容教材杲现内容教材启发目标运算法则两位数加两位数的不进位加法十个十个3 63 63 6+ 3 0亠 +30亠 + 3 06 6 6小组讨论:列竖式 计算应注意什 么？列竖式时个位上 的数和个位上的数 对齐，十位上的数 和十位上的数对 齐。十个十个3 53535+4-3a+34969你是从哪位加起的？还可以怎样加？从个位加起；也可以从十位加起。两位数加两位数的进位加法3 636亠3缶25171个仅上6 > 511r向十仅雀仁个仗宵1.想：先加什么？从个位加起：个位相加满十，就向十位进