小学数学几何开放题的思维评价

1、小学数学儿何开放题的思维评价作者：杨传冈作者简介：杨传冈，江苏盐城市第二小学.原文出处：教学与管理：小学版(太原)2018年第20185期 第29- 31页内容提要：在学生学习“图形与几何”的研究屮，范希尔的几何思维 水平体系是最有影响的理论之一教师可借助其有效评价小 学生几何开放题问题解决过程中所呈现出的思维水平，以 有效改进“图形与几何”领域的教学，合理推动学生几何 思维水平的发展.期刊名称：小学数学教与学复印期号：2018年08期关键词:儿何开放题/思维水平/ “图形与儿何” /评价标题注释:【基金项目】该文为全国教育科学“十二五”规划教育部 重点课题“数学开放题学习对小学生思维发展影响

2、的评测 研究” (diia14032)的阶段性成果.在学生学习图形与几何的研究中”范希尔的几何思维水平体系是最有影响 的理论之一1.范希尔几何思维水平由低到高表示为层次0到层次4 :层次0是视觉 水平，学生无法理清概念之间的相互关系，仅能借助图像获得一些基本概念;层次1是分析水平，学生能根据概念解决简单问题，了解一些几何概念间的相互关系及 公式间的联系，能结合图形获得部分结论；层次2是非形式化的演绎水平,学生能 从不同角度理解概念意义,能根据图形或辅助材料进行推理、理解,进而发现并描 述规律；层次3是形式化的演绎水平,学生能借助概念和性质进行推理和论证；层 次4是严密性水平，学生能在数学知识系

3、统中进行严密推理.范希尔理论是评测学生几何思维水平的重要工具,教师可借助其有效评价小学 生几何开放题问题解决过程中所呈现出的思维水平，以有效改进"图形与几何领 域的教学，合理推动学生几何思维水平的发展.条件开放题的几何思维水平评价条件开放题就是条件不全或有多余条件的几何开放题条件开放题需要学生通过 观察、分析和联想等方法处理题目所提供的信息,梳理、归并、分析有用信息,及 时发现欠缺信息或干扰信息,从而补全条件或排除干扰解决问题.所谓条件不全型开放题，就是缺少条件的几何开放题这种开放题因为缺条件， 所以需要学生自主补充条件才能顺利解决.从学生根据问题情境所补充的不同条件， 可以推断该生

4、几何思维水平所处的具体层次.【案例1】一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高1厘米，()它的表面积增加多少平方厘米？层次0 :学生认识长方体，但不知道怎样才能增加长方体的表面积，无法补充条件.层次1:补充问题"把长方体切开"学生能想到把长方体切开后表面积会增加， 但根据补充的信息无法计算结果.层次2 :补充问题把长方体切成2个相同的小长方体.学生对长方体图形特 征比较熟悉,想到切开长方体后表面积会增加,能根据信息按横切、竖切、纵切进 行简单计算.层次3 :补充问题把长方体切成3个相同的小长方体.多切下一个小长方体, 表面积增加更多，计算面积的方法更复杂，思维水平也更高.层次4

5、:补充问题把长方体切成4个（或6个、8个）相同的小长方体 学生知道把长方体横切、竖切或纵切后,表面积都会增加,并能按照横切、竖切、 纵切和既横切又竖切等不同情况分别计算增加的面积，思维无疑复杂多了,层次也 更咼.条件多余型开放题就是问题中条件太多,需要学生根据问题灵活选择合适条件 解决问题这种开放题能有效评价学生的判断能力、选择能力和解决问题的能力.【案例2】桌上有四种规格的长方形、正方形硬纸片各若干张：长6厘米， 宽4厘米；长6厘米，宽5厘米；长5厘米，宽4厘米；边长4厘米.如果 要从中选6张硬纸片粘贴成一个长方体或正方体，可以怎样选？纸盒的表面积是多 少平方厘米？（粘贴处材料忽略不计.）层

6、次0 :认识长方体和正方体,知道这些硬纸片能粘贴成长方体或正方体，但 不知道怎么选，更不知道具体的粘贴方法.层次1 :能根据正方体特征选择6张边长4厘米的正方形纸片,粘贴成正方体,并能根雕息进行简单计算.层次2 :能根据长方体特征选择6张长方形纸片，6张分成3组，每组2张相 同的硬纸片，粘贴成长方体，并用不同方法计算出它们的表面积选择长方形要根据 长方体特征选择，计算表面积也有不同方法，思维水平稍微复杂些.层次3 :能根据长方体特征选择2张正方形纸片和4张长5厘米宽4厘米（或 4张长6厘米宽4厘米）的长方形纸片,粘贴成长方体,并用不同方法计算出它们 的表面积.这两种长方体都有2个相对面是正方形

7、，选择时要保证长方形和正方形匹 配，计算表面积时，不同的计算方法能体现学生不同的思维水平.层次4:能灵活选择6张纸片，把各种情况都考虑全面，并能用不同方法计算 出它们的表面积：（1）12条棱分3组，每组4条棱相等的长方体，即2张长6厘 米宽4厘米的长方形纸片，2张长6厘米宽5厘米的长方形纸片和2张长5厘米宽 4厘米的长方形纸片；（2 ） 12条棱中有8条棱相等，即4张长6厘米宽4厘米的 长方形纸片（或4张长5厘米宽4厘米的长方形纸片）和2张边长4厘米的正方形 纸片；（3）12条棱都相等，即6张边长4厘米的正方形纸片.能分类选出各种符合 要求的纸片，能计算甚至用最优方法计算表面积.二、结论开放题

8、的几何思维水平评价结论开放题就是学生根据习题信息获得不同结论的几何开放题,也就是结论不 确定的数学问题用结论开放题评价学生的思维,能有效区分他们的观察、比较、分 析、综合、猜想、归纳和类比等思维水平,从而评判学生思维的深度和广度，思维 的发散和聚敛.【案例3拿一个正方体纸盒,沿一些棱剪开,它的展开图是怎样的?层次0 :学生认识正方体，但对一个正方体纸盒的棱按照什么样的顺序剪开无 从下手，也就无法看到最终的表面展开图.层次1 :学生根据正方体特征沿棱剪开，获得"141"型展开图（第一排一个正 方形，第二排四个正方形，第三排一个正方形.其中第一和三排的正方形位置可以任 意调整，

9、如图1 ）中的一个或几个这种类型的展开图比较多，是学生最容易在剪开 后看到的展开图.有的看似不属于某类型，但旋转一下就是其中的一种了.层次2 :学生根据正方体特征沿棱剪开，不但能获得t4l型展开图，而且能 获得"231"型展开图中的一种或几种（第一排两个,第二排三个,第三排一个.其 中第三排的一个正方体位置可以调整，如图2 ）.这种展开图相对多一些，也是学生 剪开后容易看到的.层次3 :学生根据正方体特征沿棱剪开，不但能获得和"231"型展开 图，还能获得"222"型（每排都是两个正方体，但它们的位置错开，如图3 ）展开 图.222&

10、quot;型展开图是学生剪开后很少看到的，代表了学生较高的思维水平.层次4 :学生根据正方体特征沿棱剪开，除了能获得"141" ."231"和"222型展开图外,还能获得 3型（两排都是三个正方体，但位置错开，如 图4 ）展开图.这种展开图是学生剪开后几乎看不到的，代表了学生思维的最高水平.三、策略开放题的几何思维水平评价策略开放题就是从不同角度思考同一个问题，用不同策略解决问题，结果殊途 同归的几何开放题.解决策略开放题时，学生要变换思维角度，用不同策略解决问题. 这类问题解决过程的观察有利于评价学生思维的广阔性、灵活性、深刻性和创造性.【案

11、例4】王大爷要用16根1米长的栅栏靠墙围一块长方形菜地.他可以怎样 围？层次0 :认识长方形，知道长方形特征，但无法按要求围出长方形.层次1 :知道长方形特征，能用摆小棒的策略围成一种或几种长方形这是最容 易操作，也是学生最喜欢的策略.层次2 :知道长方形特征，能用画图策略画出图5长方形中的一种或几种画图 相对操作而言,比较抽象,说明学生思维水平在提高.层次3 :知道长方形特征，能用列表策略解决问题（表1）歹i举相对画图抽象 程度更高,而且长和宽是相对而言的,需要学生理清长方形两条边的关系,并且有 序列举.层次4 :知道长方形特征，能用一一列举的策略找出符合要求的长方形的长和 宽：1 , 14

12、 ; 2 , 12 ; 3 , 10 ; 4,8 ; 5 , 6 ; 6,4 或 7 , 2.列举更抽象,需要 学生列举时有序，不重复、不遗漏.四、综合开放题的几何思维水平评价综合开放题就是学生根据问题情境，灵活应用数学学科或其他学科知识解决问 题的几何开放题这种开放题不受单一知识的束缚,需要学生根据已有知识经验、生活经验和数学活动经验等综合应用所学过的知识和形成的技能发现解决问题的最佳 途径应用范希尔理论有助于评价学生全面考虑问题、综合应用知识的思维水平.【案例5】如何测量一团橡皮泥的体积？层次0 :知道体积的意义，知道橡皮泥有体积，但不知道如何进行测量.层次1 :知道橡皮泥有体积，能把橡皮

13、泥压成长方体或正方体，然后测出长宽 高（或棱长）”并根据体积公式计算出体积.一团橡皮泥是不规则物体.压成长方体或 正方体是把不规则物体转化成规则物体进行测量和计算，属于常规思维.层次2:在量杯中倒入一些水（保证橡皮泥放入后被淹没），记下水面的刻度, 然后把橡皮泥放进量杯（水不溢出），看水面升高后的刻度，根据两次水面的刻度 差计算橡皮泥的体积水不放满,把橡皮泥放入水中,计算水面升高部分的体积，体 现了学生的正向思维.层次3 :把橡皮泥放进一个量杯中,然后倒入一些水,当水正好淹没橡皮泥就 停止倒水,记下水面的刻度,然后取出橡皮泥,记录下水面下降后的刻度,根据两 次水面的刻度差计算橡皮泥的体积水不放满，把橡皮泥从水中取出，计算水面下降 部分的体积，展现了学生较好的逆向思维.层次4 :先在一个水槽中放一个玻璃杯，接着在玻璃杯中倒满水，然后把橡皮 泥放入玻璃杯中,水会溢岀,最后把溢岀的水倒入量杯中,就得到水的体积就是橡 皮泥的体积把橡皮泥的体积转化为溢出水的体积,展现了小学生的最高思维水平.总之”应用范希尔理论对学生的几何开放题学习