(山东)2015届高考数学(理)二轮复习教案：专题5综合题的解答(人教版)(山东专用)汇总

1、全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com专题五平面解析几何综合题的解答聚像考向透析裁透析期HWIHIMM BMMiM M3FBWMJGM对应学生用书 P148考向一圆锥曲线中的定点、定值问题I(2013 高考陕西卷)已知动圆过定点 A(4, 0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B( 1, 0),设不垂直于 x 轴的直线 I 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q,若 x轴是/ PBQ 的角平分线，证明直线 I 过定点.【方法分析】 题目条件：动圆被 y 轴截弦长为 8, A(4 , 0)在圆上，

2、B( 1, 0) , x 轴 平分/ PBQ.解题目标：(1)求动圆圆心轨迹方程 C.(2)求证直线 I 过定点.关系探究：设动圆心为 O,题意转化为|O1M|=|O1N| = |0 识| = r，建立方程.(2)设直线 I 的斜率，x 轴平分/ PBQ 转化为 kBQ= kBP,用根与系数的关系， 转化直线 方程中的系数.【解答过程】(1)如图，设动圆圆心 O(x , y),由题意，|0 朮| = OM|.当 O 不在 y 轴上时，过 O 作 OH 丄 MN 交 MN 于 H,贝UH 是 MN 的中点， |O1M|= x2+ 42.又 |0 识| = , ( x 4)2+ y2, , (x

3、4)2+ y2= ,x2+ 42.化简得，y2= 8x(x丰0).2当 O 在 y 轴上时，O 与 O 重合，点 O 的坐标(0 , 0)也满足方程 y= 8x, 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2= 8x.如图V考向硏析栢淮化全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com，由题意，设直线 I 的方程为 y = kx + b(k丰0), P(xi, yi) , Q(X2,目2，将 y = kx + b代入 y2= 8x 中，得 k2x2+ (2bk 8)x + b2= 0. 其中 = 32kb+ 640.由根与系数的关系得，8 2bk金X1+ X2=2 ,

4、k2b _X1X2 k2. x 轴是/ PBQ 的角平分线，屮=y2X1+ 1 =X2+ 1，即 y1(x2+ 1) + y2(x1+ 1) = 0, (kx1+ b)(x2+ 1) + (kx2+ b)(x1+ 1) = 0, 2kx1X2+ (b + k)(x1+ X2) + 2b = 0,2 2将代入并整理得2kb + (k + b)(8 2bk) + 2k b = 0,- k = b.此时 0,直线 l 的方程为 y = k(x 1)，即直线 l 过定点(1 , 0).【回归反思】(1)本题求轨迹使用了求曲线方程的直接法，利用圆的半径建立方程.(2) 直线 y = kx + b 过定点

5、，解题目标寻找k 与 b 的等式关系，不一定是具体求k 或 b.(3) 联立方程组是解决直线与圆锥曲线位置关系的主要方法，并结合根与系数的关系和判别式来转化条件.考向二圆锥曲线中变量的取值范围与最值问题2-一 一X2(2013 高考湖南卷)已知 F, F2分别是椭圆 E:5+ y = 1 的左、右焦点,F2关于直线 x+ y 2= 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点.(1)求圆 C 的方程;(2)设过点 F2的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为a, b.当 ab 最大时，求直线 l 的方程.【方法分析】题目条件：F1、F2关于 x+ y 2 = 0 对称，F1，F2是圆

6、 C 的直径，直线 I 截椭圆的弦长为 a,截圆的弦长为 b.解题目标：求圆 C 的方程.(2)当 ab 最大时，求 I 的方程.关系探究：(1)由 F1, F2关于 x + y 2 = 0 的对称点，转化为 0,关于直线的对称点为圆F1,全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com心，直径为|F1F2|.全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com(2)直线 l 若设为 y= k(x 2)，则要考虑斜率不存在时x = 2，若设为 x= my+ 2,则可直接表示弦长 a, b,转化基本不等式求最值.【解答过程】由题

7、设知，Fi, F2的坐标分别为(一 2, 0) , (2 , 0)，圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x + y 2= 0 的对称点.设圆心的坐标为(xo, yo),yo=i由 xoyo?+22= ,所以圆C的方程为(x 2)2+ (y 2)2= 4.由题意，可设直线 l 的方程为 x = my+ 2,所以b=2 22-d=名x = my+ 2, 由x22得(m2+ 5)y2+ 4my- 1 = 0.5+y=1,匕设 I 与 E 的两个交点坐标分别为(x1, y , (x2, y2),=(y1 y2)2=；(1 + m) (y1+ y2) 4y1y216m?4(m+5)2+m+5

8、2.5(m+1)2 .m+58 ，5 nf + 12(m+ 1)+ 4当且仅当，卅+ 1 =4+，即 m= ,3 时等号成立.xo= 2.解得|yo= 2.则圆心到直线l的距离则 y1+ y2= 4mm+ 512 .m+5寸(1 +卅)I从而 ab=于是 a= : (X1 X2)+全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com故当m= 3 时，ab 最大，此时，直线 I 的方程为 x= 3y + 2 或 x= 3y + 2,即 x 3y 2= 0 或 x + 3y 2= 0.【回归反思】(1)F1、F2关于直线 x + y 2= 0 的对称点为直径端点，则

9、F1F2的中点 O关于直线的对称点即为圆心.(2)过 F2的直线设为 x = my+ 2，则可省略 x = 2 的讨论，求弦长则可用公式P1，3 4 * *，离心全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com22代入椭圆方程 3x + 4y = 12,并整理,得(4k2+ 3)x2 8k2x+ 4(k2 3) = 0.设 A(xi, yi) , B(X2, y2),则有 Xi+ X2=8k24k2+ 3，XiX2=24 (k 3)4k2+ 3.在方程中令X=4，得 M 的坐标为(4 , 3k).3 yi2 从而 ki=x7,XiI3y2233k-2k2=

10、X； i，注意到 A, F, B 三点共线，则有k = kAF= kBF,即有忤弋=k.Xi i X2 i33yi2 y22 所以 ki+ k2=+Xi i X2 i3=2k2 XiX2(xi+X2)+i.将代入，得3ki+ k2= 2k 2 8k24k2+ 324(k23)车 +1=2k-1.4k + 34k2+ 31又 k3= k ，所以 ki+ k2= 2k3.2故存在常数入=2 符合题意.方法二：设 B(xo, yo)(x0工 i),则直线 FB 的方程为 y=-J(x i), 令 x = 4,求得 M4, x3 ,IXo i 丿亠，、.2yo Xo+ i联立(X k3= 7iXi+

11、X2 2i+ X2 iyiy23xi i+X2 i2yo2 2x+牛=1,全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com则直线 PA 的斜率为 ki=?厂2X052(Xo 1)2yo 3直线 PB 的斜率为 k2=-2 (xo 1)故存在常数入=2 符合题意.【回归反思】第问中方法一：把 A, B 两点坐标表示的斜率 k1, k2与根与系数的关系式结合起来是难点，即33y1一 _ y2一 22、y1y211,亠k1+ k2=-+ 彳变形为-1-彳+ 彳 是技巧，也是难点，其目的X1 1 X2 1X1 1 X2 121 1X2 1 /是用 k 来表示 k1+

12、 k2的值.2求出入=2，即说存在入.3方法二：设 B(xo, yo)建立 FB 的方程，则一线求三点 M A, B.思维简捷，但化简量较 大.考向四 解析几何中向量知识的应用4(2013 高考重庆卷)如图，椭圆的中心为原点轴上，离心率 e=，过左焦点 R 作 X 轴的垂线交椭圆于|AA | = 4.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 取垂直于 X 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.若 PQLP Q 求圆 Q 的标准方程.【方法分析】题目条件：已知通径|AA |和离心率 e;OQ过 P、P,且在椭圆内,PQL P Q.解题目标：(1)求椭圆方程.(2)求圆 Q

13、方程.关系探究：(1)|AA | = 4,即 A( c, 2)在椭圆上，建立方程组.(2)椭圆上的点在OQ夕卜，转化为|MQ|有最小值时是 M 在 P 点处，PQL P Q 转化为PQ- P 飞=0 进而转化为 P 点坐标方程求解.所以ki+ k2=2yo 2xo+ 52 (X- 1)2yo一 32 (X-2yo Xo+ 1Xo 1=2k3,P全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com【解答过程】(1)由题意知，A( c, 2)在椭圆上，贝U(c)2 .2+2= 1.ab全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. co

14、m24从而 e + b=1.由 e =*2,得b=2= 8,从而a= 16.21 e1 e2 2故该椭圆的标准方程为冷+y= 1.16 8由椭圆的对称性，可设Q(x。，0).又设 M(x, y)是椭圆上任意一点，则2 2 2 2 2|QM| = (x xo) + y = x 2xox + xo+ 8设 P(X1, y1)，由题意知，点 P 是椭圆上到点 Q 的距离最小的点，因此，上式当x = X1时取最小值.又因为 X1 ( 4, 4)，所以上式当 x= 2xo时取最小值，从而 X1= 2xo,且|QP|2 3= 8 x2. 因为PQL P Q 且 P (X1, y1)，所以QP- Q? =

15、(x1 xo, y (x1 xo, y = 0, 即(x1 xo)2 y2= 0,由椭圆方程及 X1= 2xo,得12X24X1-8 4-16 =0,解得 X=5 636, Xo= ；=236,(2) 为了表示椭圆在圆外， 借用了椭圆上的点 M 与 Q 点的距离，|MQ|2= 2(X 2xo)2 x2+8,当 M 在 P 点时|MQ|有最小值.4(3)PQ 丄 PQ转化为 PQ- PQ= 0 成为坐标之间的等式，可不用担心斜率是否存在的问题，利用向量研究垂直是首选的方法.=2(x2xo) Xo+ 8(x 4,4)2从而|QP| =2168Xo= 3.全优中高考网www.qyzywz. com全

16、优中高考网www.qyzywz. com故这样的圆有两个，其标准方程分别为【回归反思】(1)|AA= 4 为椭圆通径长，即a= 4,结合离心率求椭圆方程.216x+3+y=厂62216xT+y= 3.全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com对应学生用书 P1511. （2012 高考福建卷）如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物2线 E: x = 2py(p 0) 上.（1）求抛物线 E 的方程;设动直线 I 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=- 1 相交于点 Q,证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.解析：依

17、题意，|OB| = 8 .3，/ BOy= 30 .设 B(x , y)，则 x= |OB|sin 30 = 4 3, y = |OB|cos 30 = 12.因为点 B(4 .3, 12)在 x7= 2py 上，所以(4 . 3)2= 2pX12,解得 p= 2.故抛物线 E 的方 程为 x2=4y.法一：由（1）知 y =；x2, y；x.设 P（x。, y。），则 0, y= 4x2且 l 的方程为42Xo(X Xo),学科能力提升禺番错丨感悟 I 譎幷 I 展示KLIEKE INENiGLI nSHEhliS学科特色明了疋全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.q

18、yzywz. com；X0X ：x0.r 112由 / = 2X0X4X0,y= 1,_ 2X =宁,得 f 2X0y= 1.Ix2 4)所以Q为莎 48._歩_歩1设 M（0, yj，令 MP- MQ= 0 对满足 y=：x0（X0M 0）的 x。，y。恒成立.48全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com2Txo4yo y , MQ=2XQ2 yo yoyi+ yi+ yi= o,2即(yi+ yi 2) + (1 yi)yo= 0(*)12由于(*)式对满足 yo= 4Xo(x2工 o)的 yo恒成立,i yi= o， yi+ yi 2 = o,

19、解得 yi= i.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0, i).i2i法二：由(i)知 y = 4X , y = ?x.i2iii2设 P(xo, yo)，贝Uo, yo= 4X0，且 I 的方程为 y y= qXo(x xo)，即 y = -xox ii2y = *x -xo,由 r24，y= i,(x2 4X,得 f2xoy= i.仅2 4所以 Q 为o, ik2xoJ22_取 xo= 2,此时 P(2 , i) , Q(o, i)，以 PQ 为直径的圆为(x i) + y = 2，交 y 轴于点M(o, i)、M(o , i)；取 xo= i,此时 P i, : , Q 2

20、， i，以 PQ 为直径的圆为 x + :(3*i25(7、+ y+8 =打，交 y 轴于点M(O, 1)、M0, 4 .故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0, 1).以下证明点 M(0, 1)就是所要求的点. iXo 4、因为 MP= (xo, yo i) , MQ= , 2 ,T Tx2 4所以 MPMQ= 2yo+ 2= 2yo 2 2yo+ 2 = 0.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0, i).由于祁=(Xo,由 MP-MQ= 0，得x： 42所以全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com22x y2. (2013 高考

21、山东卷)椭圆 C:二+2= i(a b0)的左、右焦点分别是Fi、F2,离心a b全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com因为一 3m 3, 2X0b0)的焦距为 4,且过点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 Q（X0, y）（x0y丰0）为椭圆 C 上一点.过点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为2 2）.连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由.解析：（1）因为焦距为 4,所以 a2 b2= 4.又因为椭圆 C 过点 P（

22、;2,3），所以-2+-2= 1.a b因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，所以点GX0,.故直线 QG 的斜率 kQ=y8X0 X0X0yX283. （2013 高考安徽卷）已知椭圆 CP( 2、3).E.取点 A(0 ,作直线 QG.全优中高考网www.qyzywz. com全优中高考网www.qyzywz. com又因为点 Q(xo, yo)在椭圆 C 上，所以 x0+ 2y2= 8.Xo从而 kQG= 匸.2yo,、xo f8 故直线 QG 的方程为 y=亦 x .将代入椭圆 C 的方程，化简，得2 2 2 2(xo+ 2yo)x 16xox + 64 16yo= 0.再将代入，化简得x2 2xox+ x0= 0.解得 x= xo,贝Uy = yo,即直线 QG 与椭圆