旋转变换问题1

1、- 1 - 旋转变换问题11. 平面内，如图，在abcd 中， ab=10 ，ad=15 ，tana=4 3，点 p为 ad边上任意一点，连接pb ，将 pb绕点 p逆时针旋转900得到线段pq 当 dpq=100时，求 apb的大小；当tan abp : tana =3:2时，求点q与点b间的距离（结果保留根号）；若点q恰好落在abcd 的边所在的直线上，直接写出bp旋转到 pq所扫过的面积（结果保留）2. 已知直线mn是线段 bc的垂直平分线，垂足为o ，点 p为射线om 上的一点，连接bp 、pc 将线段pb绕点 p逆时针旋转， 得到线段pq （pq与 pc不重合），旋转角为（0 180

2、） 直线 cq交 mn与点 d连接 ed （1）如图 1，当 =30，且点p与点 o重合时， cdm 的度数是； （2）如图 2，当 =120，且点p 与点 o不重合时，cdm 的度数是； （3）点 p在射线 om 上运动时， cdm 的度数是 （用含 的代数式表示）3. 在abcd 中， abc=60 ， ab=4，bc=8 ，将abcd绕 ad边上任意一点p逆时针旋转（点p不与 a、d重合），得到abcd，且点c落在cd （或其延长线上） ，如图所示 （1）如图1，当旋转角为30时，求pd的长（2）当旋转角度数为n（0 n120）时， pd= （用含 n 的式子表示）- 2 - 4. 如图

3、 1，已知 abc=90 ，abe是等边三角形，点p为射线 bc上任意一点（点p与点 b不重合），连接 ap ，将线段 ap绕点 a逆时针旋转60得到线段aq ，连接 qe并延长交射线bc于点 f （1）如图 2，当 bp=ba时，ebf= ，猜想 qfc= ； （2）如图 1，当点 p为射线 bc上任意一点时，猜想qfc的度数，并加以证明； （ 3）已知线段ab=2，设 bp=x，点 q到射线 bc的距离为 y，求 y 关于 x 的函数关系式5. 如图，在 abcd中，过点 c作 ce cd交 ad于点 e，将线段 ec绕点 e逆时针旋转90得到线段ef，点 p为直线 cd上一点（不与点c重

4、合） （1）在图 1 中画图探究：当点p在 cd延长线上时，连结ep并把 ep绕点 e逆时针旋转 90得到线段eq 作直线qf交直线 cd于 h，求证： qf cd （2）探究：结合（1）中的画图步骤，分析线段 qh 、ph与 ce之间是否存在一种特定的数量关系？请在下面的空格中写出你的结论；若存在， 直接填写这个关系式当点p 在cd 延长线上且位于h 点右边时，；当点p 在边cd 上时， （3）若 ad=2ab=6 ， ae=1 ，连接 df ，过 p、f 两点作 m ，使 m同时与直线cd 、df相切，求 m的半径是多少？6. 如图 1，abcd 为正方形，直线mn分别过 ad边与 bc边

5、的中点，点p为直线 mn上任意一点，连接pb 、pc分别与 ad边交于 e、f 两点， pc与 bd交于点 k，连接 ak与 pb交于点 g探索发现当点 p落在 ad边上时，如图2，试探究pb与 ak的位置关系以及pb 、pk 、ak三者的数量关系（直接写出无需证明） ；延伸拓展当点 p落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；应用推广如图 3，在等腰rtabd中，其中 bad=90 ，腰长为3，m 、n分别为 ad边与 bd边的中点， k为线段 dn中点， f为 ad边上靠近于d的三等分点连接kf并延长与直线mn交于点 p，连接 pb分别与

6、 ad 、ak交于点 e、g 试求四边形efkg的周长及面积- 3 - 旋转变换问题 1 答案1. 解： （1）如图 1 中，当点 q在平行四边形abcd 内时， ap b=180 q pbq pd=180 9010=80，当点 q在平行四边形abcd 外时， ap b=180 （ qpb qpd ）=180（ 9010）=100，综上所述，当 dpq=10 时，apb的值为 80或 100（2）如图 2 中，连接bq ，作 pe ab于 e tan abp ：tana=3 ：2，tana=， tan abp=2 ，在 rtape中，tana=，设 pe=4k，则 ae=3k，在 rtpbe中

7、， tan abp=2， eb=2k， ab=5k=10 ， k=2， pe=8 ，eb=4 ， pb=4， bpq是等腰直角三角形，bq=pb=4（3）如图3 中，当点 q落在直线bc上时，作be ad于 e，pfbc于 f则四边形bepf是矩形在rtaeb中，tana=，ab=10，be=8 ，ae=6 ，pf=be=8 ， bpq是等腰直角三角形，pf bq ，pf=bf=fq=8 ，pb=pq=8， pb旋转到 pq所扫过的面积 =32如图 4 中，当点q落在 cd上时，作 bead于 e，qf ad交 ad的延长线于f设 pe=x易证 pbe qpf ，pe=qf=x ， eb=pf

8、=8 ， df=ae+pe+pf ad=x 1， cd ab ， fdq= a， tan fdq=tana= =， =， x=4， pe=4，=4，在rt peb 中， pb=，=4， pb 旋转到pq 所扫过的面积=20 如图5 中，当点q 落在ad 上时，易知pb=pq=8 ， pb 旋转到pq 所扫过的面积=16，综上所述，pb旋转到 pq所扫过的面积为32 或 20 或 162. 解： （1）直线mn是线段 bc的垂直平分线，bo=co ，cod=90 段pb绕点 p 逆时针旋转，得到线段pq pb=pc=pq q= c q+ c=bpq= 30， c=15 ，c+cdm=90 ， c

9、dm=75 故答案为：75（2）如图 2，直线mn是线段 bc的垂直平分线，pb=pc ，bd=cd 段 pb绕点 p 逆时针旋转，得到线段pqpb=pc=pq pqc=pcq在 pbd和 pcd中， pbd pcd （sss ） ， pbd= pcd ， pdb= pdc ， pbd= pcd= pqc pqc+ pqd=180 ， pqd+ pbd=180 pbd+ bdq+ dqp+ bpq=360 ，bpq+ bdc= 180 bpq=120 ，bdc=60 pdb= pdc ， pdc=30 即 cdm=30 故答案为： 30；（3） 直线 mn是线段 bc的垂直平分线， pb=pc

10、 ， bd=cd 段 pb绕点 p逆时针旋转， 得到线段pq pb=pc=pq pqc=pcq在 pbd和 pcd中， pbd pcd （sss ） ， pbd= pcd ，pdb= pdc ， pbd= pcd= pqc pqc+ pqd=180 ， pqd+ pbd=180 pbd+bdq+ dqp+ bpq=360 ， bpq+ bdc=180 bpq=a ， bdc=180 a pdb= pdc ， pdc=90 a即 cdm=90 a故答案为： 90a- 4 - 3. 解：（ 1） 如图 1中， 连接 pc 、 pc 作 pn cd于 n， cm ad于 m ， pc=pc ，cpc

11、 =30，pc c= pcc =75，pc c= pdc+ dpc ，b=d=60 ，dpc =15，cpm=45 ，cmp=90 ， cpm= pcm=45 ，pm=cm ，在 rtcmd 中， cmd=90 ， cd=4 ，d=60 ， dm= cd=2 ，cm=pm=2， pd=2+2，（2）如图1 中，当 c在 cd上时，由（ 1）可知， cpc =n，则 pc c=90 n，dpc =90n60=30n，cpm=30 n+n=30 +n， pd=pm+dm=+2如图2 中，当点c在线段 cd的延长线时，连接pc 、pc 作 pn cd于 n ，cm ad于 m ，同理可得 cpm=3

12、0 +n， 0n120，cpm 90，pd=pm+dm=+2， 综上所述pd=+2故答案为+24. 证明：（1） abc=90 ， bae=60 ， ebf=30 ；则猜想： qfc=60 ；（2）qfc=60 ，bap= bae+ eap=60 +eap ， eaq= qap+ eap=60 +eap ， bap= eaq 在abp 和 aeq中， abp aeq （sas ） aeq= abp=90 bef=180 aeq aeb=180 9060=30，qfc= ebf+ bef=30 +30=60；（3）在图 1中，过点f 作 fgbe于点 g abe是等边三角形，be=ab=2由（

13、1）得 ebf=30 又qfc=60 ebf= bef ， bf=ef ， fg be bg=，bf=2ef=2在 rtabp和 rtaeq中， abp aeq 设 qe=bp=x ，则 qf=qe+ef=x+2 过点 q作 qh bc ，垂足为h在 rtqhf中，y=qh=sin60 qf=（x+2） （x0）即 y 关于 x 的函数关系式是：y=x+5. 解： （1）由旋转的性质得，pe=qe ，ef=ed ， qef+ fep= peq=90 ， pec+ fep=cef=90 ， pec=- 5 - qef ，在 pec和 qef 中， pec qef （sas ） ， qfe= pc

14、e=90 ，fec+ pce=90 +90=180， ef cd ， qhc= qfe=90 ， qf cd ；（2） pec qef ， qf=pc ， pce= cef= qhc=90 ， ce=ef ，四边形efhc是正方形，ch=fh=ce，如图 1，当点 p 在 cd延长线上且位于h点右边时， qh=qf+fh=pc+fh=ph+ch+fh=ph+2ce， qh ph=2ce ；如图 2，当点 p在边 cd上时， qh=qf+fh=pc+fh=chph+fh=2ce ph ， qh+ph=2ce；（3） ad=6 ， ae=1 ， de=5，在rtcde中， ce=4， dh=ch

15、cd=ce cd=4 3=1，在rtdfh中， fd=，如图，过点m作 mn fh于 n ，则四边形pmnh 是矩形， m同时与直线cd 、df相切， dp=fd=，设 m的半径是r ，点 p在点 d的右边时， 在 rtmnf中，fn=4 r ，mn= 1，由勾股定理得， fn2+mn2=mf2，即（4r ）2+ （1）2=r2，解得 r=，点 p在点 d的左边时，在rtmnf中， fn=r4，mn=+1，由勾股定理得，fn2+mn2=mf2，即（ r 4）2+（+1）2=r2，解得 r=，综上所述，m的半径是或6. 解：探索发现 pb ak ， pb=pk+ak ；理由： 如图 2 中，点

16、p在 mn上，根据对称性易得pbc= 2 且 pb=pc ，又 abk= cbk=45 ， 在 bka和 bkc中， abk cbk ， 2=3 且 ak=ck ， pbc= 3又 pbc+ 4=90， 3+4=90，即 pb ak pb=pc=pk+ck=pk+ak延伸拓展以上两个结论仍然成立，理由如下：如图1 中，点 p在 mn上，根据对称性易得pbc= 2 且 pb=pc ，又 abk= cbk=45 ，在 bka和bkc 中， abk cbk ， 2=3 且 ak=ck ， pbc= 3又 pbc+ 4=90， 3+4=90，即pb ak pb=pc=pk+ck=pk+ak应用推广如图 3 中，过点 b作 ad的平行线交pk延长线与点c，连接 cd fdbd ， fdk cbk 又 dk ：bk=1 ：3，fd：bc=1 ：3fd：ad=1 ：3，bc=ad bcad且 ab ad且 ab=ad ，四边形abcd 为正方形 pb=pk+ak ， 即 （pe+be ） = （pf+fk ） +ak ， 又 pe=pf ， be=fk+ak