高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-3

1、2021-12-6数学与计算科学学院2021-12-6数学与计算科学学院引入引入行列式乘法规则行列式乘法规则11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbddaaabbb其中其中1 12 2ijijijin njca ba ba b11121212221212,nnnnnnccccccd dccc 则则1,nikkjka b abab,1,2,i jn 2021-12-6数学与计算科学学院定理定理1 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则,a bpn.aba b 1212| |.tta aaaaa 推广推广 为数域为数域 上的

2、上的 级方阵，则级方阵，则12,ta aapn一、矩阵乘积的行列式一、矩阵乘积的行列式2021-12-6数学与计算科学学院定义定义0a a若若 ，称，称 为为退化的退化的若若 ，则称，则称 为为非退化的非退化的；0a a注注： 级方阵级方阵 非退化非退化 ；( )0r anaan( )0.r ana 级方阵级方阵 退化退化an设设 为数域为数域 上的上的 级方阵，级方阵， apn二、非退化矩阵二、非退化矩阵2021-12-6数学与计算科学学院推论推论 设设 为数域为数域 上的上的 级矩阵，级矩阵，则则,a bpn,aba b非退化非退化 都非退化都非退化证：证：abab退化退化 或或 退化退化

3、 0abab非退化非退化0a b00ab且且都非退化都非退化 . .,a b2021-12-6数学与计算科学学院三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩定理定理2 设设 为数域为数域 上的矩阵，上的矩阵，则则,n mm sabp ()min( ),( ) .r abr a r b 证：证： 令令(),(),().ijn mijm sijn saabbabcc 设设 的行向量组为的行向量组为1,mbbb1,.nccc的行向量组为的行向量组为则向量组合则向量组合1122iiimma ba ba b 1 112 2111 12 2,iiimmisisimmsa ba ba ba ba ba b 2021-1

4、2-6数学与计算科学学院即有即有12111,nnnikkikkikkskkka ba ba b 1,2,in 1122iiimma ba ba b 12,iiisccc ,ic 故故 可由可由 线性表示线性表示. .12,nc cc12,mb bb所以所以 ( )( )r cr b ( )( ).r cr a 同理，同理， ()min( ),( ) .r abr a r b2021-12-6数学与计算科学学院三、矩阵乘积的秩三、矩阵乘积的秩定理定理2 设设 为数域为数域 上的矩阵，上的矩阵，则则,n mm sabp ()min( ),( ) .r abr a r b 推广推广 如果如果 ，则，则12taa aa 12( )min (),(),().tr ar ar ar a 2021-12-6数学与计算科学学院,0,aaea 证明：证明：例例1设设a为为n级方阵，且级方阵，且0.ae证：证：ae aaa (