几何问题-面积和等积变换2(30道,含详细解答)

1、菁优网几何问题-面积和等积变换2 几何问题-面积和等积变换2一解答题（共30小题）1如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P求四边形PEQF面积的最大值2如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3如图（1），某住宅小区有一三角形空地（三角

2、形ABC），周长为2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m的草坪，求草坪面积（精确到1 m2）由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3 m2，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为×32 m2，于是可求出草坪的面积为7 500+97528（ m2）（1）若空地呈四边形ABCD，如图（2），其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（2）若空地呈五边形ABCDE，如图（3），其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（3）若空地呈n（n3）边形，其他条件不变，这时你还能

3、求出草坪面积吗？若能，请你求出来4如图1，点P是ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有SABP=SBDP，如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，探究：（1）当AP=AD时，如图3，PBC与ABC和DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时，探究SPBC与SABC和SDBC之间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究SPBC与SABC和SDBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD（01）时，直接写出SPBC与SABC和SDBC之间的关系5锐角三角形ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，

4、CA，AB交于D，E，F；证明：6如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点若四边形ABCD的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和7设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？8设直线，（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为Sn（n=1，2，32008），求S1+S2+S3+S20089在直角三角形ABC中，A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且ABE，AED的面积分别为S1=30，S2=6，求ADC的面积S10如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分

5、别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式11已知ABCD中，若ADE、BEF、CDF的面积分别为5、3、4，求DEF的面积12有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形问：第几个梯形的面积最大？（参看图思考时间 40秒）13如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，

6、求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）14如图，是一块黑白格子布白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）15如图，中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间48秒）16（）如图1，在正方形ABCD内，已知两个动圆O1与O2互相外切，且O1与边AB、AD相切，O2与边BC、CD相切若正方形ABC

7、D的边长为1，O1与O2的半径分别为r1，r2求r1与r2的关系式；求O1与O2面积之和的最小值（）如图2，若将（）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则O1与O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值17已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，ACD=60°，ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S18探索：在图1至图3中，已知ABC的面积为a，（1）如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表

8、示）（2）如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示）（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到DEF（如图3）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图3），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在ABC的空地上种红花，然后将

9、ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花如果种红花的区域（即ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积19某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四块，种上相同种类的花四块地的面积分别为S1，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S3，S4两种需要花的棵数大致相等（1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明S3与S4之间关系的理由？）（2）请你用学过的知识探究S

10、1，S2，S3三者之间的关系？20如图，若长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，求阴影部分的面积是多少？21已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米求图中阴影部分面积22如图，ABC被分为四块，其中三块的面积分别为4，6，12平方厘米，求四边形AEDF的面积23如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？24如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E，F，G，H分别是AD，EC，FB，GA的中点，CE与DH的交点为I，求四边形FGHI的面积25长方形EFGH的长，宽分别为6厘米，4厘米

11、，阴影部分的总面积为10平方厘米，求四边形ABCD的面积26如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，P为BC的中点，N为CD的中点，Q为DA的中点，若图中中间的小四边形的面积为1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和27已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ADC的面积比EFG的面积大6平方厘米ABC的面积是多少平方厘米28已知ABC的面积为1，延长AB至点D，使BD=AB，延长BC至点E，使CE=2BC，延长CA至点F使AF=3AC求三角形DEF的面积29如图，四边形PQRS与边长为10的正方形ABCD的内侧相接，SEBC于E，PFCD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，

12、请求出四边形PQRS的面积30如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠在露出的部分中，红色面积是20，黄色面积是17，绿色面积是7求正方形盒子底的面积几何问题-面积和等积变换2参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P求四边形PEQF面积的最大值考点：面积及等积变换808518 分析：先根据梯形的对角线分得的四个三角形的面积关系，得出面积关系，再结合不等式的性质得出面积不等式，根据不等式的性质得出c+f的最大值解答：解：先证明一个结论如左图，梯形ABCD中，

13、ADBC，AC、BD交于E点，设SAED=a，SBEC=b，SABE=c，SDEC=d，有ab=cd，c=d，c=d=，（）20，a+b2=c+d，当a=b时，“=”成立；如右图，连接EF，由上述结论可知2（c+f）a+b+d+e，故4（c+f）a+b+e+d+2c+2f=8，得c+f2，当a=b、d=e时，即ADEF时，等号成立四边形PEQF面积的最大值为2点评：本题考查了图形的面积及等积变换关键是由梯形的对角线分得四个三角形，推出面积的关系式2如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位

14、置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？考点：面积及等积变换808518 分析：要在这些三角形中寻求最大者，只要比较它们顶点所在边构成的三角形面积寻找最大者就可以，进而分别求出比较即可解答：解：我们设每个小方格的边长为1个单位，则每个小方格正方形面积为1平方厘米由于三个顶点都在长方形边上的三角形的面积至多为这个长方形面积的一半，所以要在这些三角形中寻求最大者，只要比较它们顶点所在边构成的三角形面积寻找最大者就可以了直观可见，只需比较（3，10，12

15、）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形的面积顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为8×7×0.5=28；（8分）顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积为9×6×0.5=27；（16分）所以顶点在（3，10，12）或（2，10，12）时三角形的面积最大（20分）点评：此题主要考查了面积及等积变换，根据已知得出比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形的面积是解题关键3如图（1），某住宅小区有一三角形空地（三角形ABC），周长为2 5

16、00m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m的草坪，求草坪面积（精确到1 m2）由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3 m2，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为×32 m2，于是可求出草坪的面积为7 500+97528（ m2）（1）若空地呈四边形ABCD，如图（2），其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（2）若空地呈五边形ABCDE，如图（3），其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（3）若空地呈n（n3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请

17、你求出来考点：面积及等积变换808518 分析：（1）利用草坪面积为：S草=S矩形ABFE+S矩形BGHC+S矩形CMND+S矩形DPQA+4个小扇形的面积的和，求出即可；（2）利用空地呈五边形时，5个小扇形可以组成一个圆，即可得出；（3）根据空地呈n边形时，n个小扇形也可以组成一个圆，求出即可解答：解：（1）如图（2），空地呈四边形ABCD时，其草坪面积为：S草=S矩形ABFE+S矩形BGHC+S矩形CMND+S矩形DPQA+4个小扇形的面积的和4 个小扇形可以组成一个圆S草地=2 500×3+97 528（m2）（2）空地呈五边形时，5个小扇形可以组成一个圆S草地=2 500&#

18、215;3+97 528（m2）（3）空地呈n边形时，n个小扇形也可以组成一个圆S草地=2 500×3+97 528（m2）答：不论空地呈三角形、四边形还是五边形，还是n（n3）边形，其面积都是 7 528m2点评：此题主要考查了面积的等积变换，根据图形得出空地呈n边形时，n个小扇形也可以组成一个圆是解题关键4如图1，点P是ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有SABP=SBDP，如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，探究：（1）当AP=AD时，如图3，PBC与ABC和DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时，探究SPBC与SABC和SDBC之

19、间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究SPBC与SABC和SDBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD（01）时，直接写出SPBC与SABC和SDBC之间的关系考点：面积及等积变换808518 分析：（1）根据AP=AD，ABP和ABD的高相等，得出CDP和CDA的高相等，进而得出SPBC=S四边形ABCDSABPSCDP，整理求出即可；（2）仿照（1）的方法，只需把 换为 ；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；得到面积和线段比值之间的一般关系；（4）利用（3），得到更普遍的规律解答：解：（1）当AP=AD时（如图）：AP=AD，ABP和ABD的

20、高相等，SABP=SABDPD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）=SDBC+SABC（2）AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABD又PD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）=SDBC+SABCSPBC=SDBC+SABC（3）SPBC=

21、SDBC+SABC；AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABD又PD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四边形ABCDSABPSCDP=S四边形ABCDSABDSCDA=S四边形ABCD（S四边形ABCDSDBC）（S四边形ABCDSABC）=SDBC+SABCSPBC=SDBC+SABC（4）SPBC=SDBC+SABC点评：此题主要考查了面积以及等积变换，注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解是解题关键5锐角三角形ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：考点：面积及等积

22、变换808518 专题：证明题分析：延长AD交O于M，由于AD，BE，CF共点O根据SABC=SABO+SACO+SBCO、可以推知；然后由OD=RDM、AM=2R求得=1；同理；最后将其代入式求得解答：证明：延长AD交O于M，由于AD，BE，CF共点O，5则10而，15同理有，20代入得，所以 25点评：本题考查了面积以及等积变换解答本题时，通过作辅助线AM，将AD、OD、CO、CF、BO、BE的长度与半径R联系在一起，从而通过化简，证得结论6如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点若四边形ABCD的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求

23、阴影部分的面积之和考点：面积及等积变换808518 分析：首先连接BD，利用SABM=SBDM，SBDN=SCDN，得出S四边形BMDN=S四边形ABCD，进而得出S四边形ANCM=S四边形ABCD，再利用S四边形ANCM+S四边形BMDN=S四边形ABCD，即可得出S四边形MPNQ=SABP+SCDQ，即可得出阴影部分的面积之和解答：解：连接BDM、N是AD、BC中点，SABM=SBDM，SBDN=SCDN，（等底同高的两个三角形面积相等）S四边形BMDN=S四边形ABCD同理，S四边形ANCM=S四边形ABCDS四边形ANCM+S四边形BMDN=S四边形ABCD，S四边形MPNQ=SABP

24、+SCDQ，阴影部分的面积为：S阴影=S四边形ABCDS四边形MPNQ（SABP+SCDQ）=15050×2=50点评：此题主要考查了面积及等积变换，利用已知得出S四边形BMDN=S四边形ABCD与S四边形ANCM=S四边形ABCD是解题关键7设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？考点：面积及等积变换808518 分析：设直角边为a、b斜边c，然后根据周长数等于面积数可得到a、b之间的关系式，最后穷举代入，找到合适的a、b、c的值解答：解：设直角边为a、b斜边c，且c=，a周长数等于面积数，a+b+c=ab，即：ab=2a+2b+2，穷举代入，发现6

25、、8、10和5、12、13刚好合适，故此三角形的边长为6、8、10或5、12、13点评：本题主要考查面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据题意求出a、b之间的关系，进行穷举代入，此题是一道难度不大的习题8设直线，（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为Sn（n=1，2，32008），求S1+S2+S3+S2008考点：面积及等积变换808518 专题：规律型分析：分别求出直线 （n为自然数）与两坐标轴的交点，即（ ，0），（0，）；则Sn=，然后分别代入1，2，2008，最后求和即可解答：解：分别令x=0和y=0，得到直线 （n为自然数）与两坐标轴的交点，即（ ，0），（0，），则Sn

26、=，=，=，然后分别代入1，2，2008，则有S1+S2+S2008=1+，=1，=故答案为：点评：本题考查了一次函数的性质会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；熟悉三角形的面积公式；记住：=（n为自然数）9在直角三角形ABC中，A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且ABE，AED的面积分别为S1=30，S2=6，求ADC的面积S考点：面积及等积变换808518 专题：常规题型分析：设DE=a，则BE=5a，设CD=xa，只要求出x，根据同底等高三角形面积，6x就是三角形ADC的面积，根据射影定理和角平分线的知识点得到关于x的方程，解得x即可解答：解：设DE=a，则BE=5a，设C

27、D=xa，只要求出x，根据同底等高三角形面积，6x就是三角形ADC的面积（1）由射影定理，AC2=CDBC，AB2=BDBC，所以= （2）由角平分线性质，=（3）联立式得到：=这是个一元二次方程，解得x=或所以SADC=6x=9或4故答案为：9或4点评：本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练运用射影定理和角平分线的知识点，本题难度较大10如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达

28、式考点：面积及等积变换808518 专题：待定系数法分析：延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，由O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），得到四边形OABC，四边形CDEF都为矩形，并且点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，则直线l还必须过N（5，2）点，设直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式解答：解：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）四边形OABF为矩形

29、，四边形CDEF为矩形，点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又点N（5，2）是矩形CDEF的中心，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分直线MN即为所求的直线L，设直线l的解析式为y=kx+b，则2k+b=3，5k+b=2，解得k=，b=，因此所求直线l的函数表达式是：y=x+点评：本题考查了矩形的性质：过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积也考查了待定系数法求直线的解析式11已知ABCD中，若ADE、BEF、CDF的面积分别为5、3、4，求DEF的面积考点：面积及等积变换808518 专题：计算题分析：

30、过A作AHCD，垂足为H，设AH=x，过F作FMCD，垂足为M，MF的延长线交AB于N，设FM=h，（xh），根据ADE、BEF的面积公式用x、h分别表示AE、BE，根据CD=AB=AE+BE表示CD，再根据SCFD=CD×=4，列方程求x、h的关系，求ABCD的面积，用作差法求DEF的面积解答：解：过A作AHCD，垂足为H，设AH=x，过F作FMCD，垂足为M，MF的延长线交AB于N，设FM=h，（xh），依题意应有：SDAE=AE×=5，解得AE=，SEBF=EB×=3，解得BE=，SCFD=CD×=4，CD=AB=AE+BE=+，（+）×

31、=4，整理，得4x212xh+5h2=0，即（2xh）（2x5h）=0，xh，2x=h（舍去），2x=5h，CD=+=，S平行四边形ABCD=xCD=x×，=×，=20，SDEF=S平行四边形ABCDSDAESEBFSDCF，=20534，=8点评：本题考查了三角形面积的表示方法关键是构造每个三角形的高，用已知面积表示底，根据平行四边形的性质将底过渡12有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形问：第几个梯形的面积最大？（参看图思考时间 40秒）考点：面积及等积变换808518 分析：根据乘法交换律、

32、乘法分配律等知识计算三个梯形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以2，这样只须比较（上底+下底）×高的大小就行了解答：解：第一个梯形的面积的2倍是：（2.12+3.53）×2.71=2.12×2.17+3.53×2.71；第二个：（2.71+3.53）×2.12=2.71×2.12+3.53×2.12；第三个：（2.12+2.71）×3.53=2.12×3.53+2.71×3.53；先比较第一个和第二个两个式子

33、右边的第一个加数，一个是2.12×2.71，另一个是2.71×2.12由乘法交换律，这两个积相等因此只须比较第二个加数的大小就行了显然3.53×2.71比3.53×2.12大，因为2.71比2.12大因此第一个梯形比第二个梯形的面积大类似地，如果比较第一个和第三个，我们发现它们有边第二个加数相等，而第一个加数2.12×2.712.12×3.53因此第三个梯形比第一个梯形面积大综上所述，第三个梯形面积最大答：第三个梯形面积最大点评：本题考查了面积及等积变换，利用所学过的乘法交换律、乘法分配律等知识，而不应该直接计算面积很明显，直接计算三

34、个梯形的面积要浪费很多时间13如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）考点：面积及等积变换808518 专题：计算题分析：（1）连接CO，则AOC是直角三角形，ACO=90°，AOC=30，由AC=a，即可得到OA的长（2）大六角星形的面积是等边AMN面积的12倍，在RtACM中，由C

35、AM=30°，得到CM=AM，再根据勾股定理即可得到，然后根据三角形面积公式得到大六角星形的面积（3）大小六角星形相似，面积的比等于对应边的比的平方，而小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，由此得到大六角星形的面积与六个小六角星形的面积和的比值解答：解：（1）连接CO，AC=a，则AOC是直角三角形，ACO=90°，AOC=30°，所以AO=2AC=2a；（2）如图，大六角星形的面积是等边AMN面积的12倍，CAM=30°，CM=AM，在RtACM中，AM2=（

36、）2+a2，解得，所以大六角星形的面积；（3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3点评：本题考查了相似图形面积的比等于对应边的比的平方也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及三角形的面积公式14如图，是一块黑白格子布白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）考点：面积及等积变换808518 专题：探究型分析：先根据格子布的对称性把其分为面积相等的9块，求出一块中白色面积所

37、占的比例即可解答：解：格子布的面积是如图面积的9倍，格子布白色部分的面积也是图上白色面积的9倍我们只需计算图36中白色部分所占面积的百分比就行了×100%=58%故答案为：58%点评：此题是考查的面积及等积变换，解答此题的关键是看到格子布可以分割成9块如图35的正方形这实质上是利用了格子布的“对称性”：格子布图案是由一块图案重复地整齐排列而成的15如图，中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间48秒）考点：面积及等积变换808518 专题：几何图形问题分析：本题比较简单，仔细观察图形即可得出所求的面

38、积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积解答：解：由图形可得：每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面积的四分之一，整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积，又四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍，整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍，也就是2×2+×1×1×313.42（平方米）答：这个正方形和四个圆盖住的面积约是13.42平方米点评：本题考查面积及等积变换，难度不大，关键是根据图形得出所求面积的表达式，这需要仔细地观察图形才能做到16（）如图1，在正方形ABCD内，已知两个动圆O1与O2互相外切，且O1与边

39、AB、AD相切，O2与边BC、CD相切若正方形ABCD的边长为1，O1与O2的半径分别为r1，r2求r1与r2的关系式；求O1与O2面积之和的最小值（）如图2，若将（）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则O1与O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值考点：面积及等积变换808518 专题：计算题分析：（）连接AC，根据正方形的性质可知，AC平分BAD、BCD，而AB、AD为O1的切线，BC、CD为O2的切线，故O1与O2在AC上，解等腰直角三角形得，AC=，由两圆外切得O1O2=r1+r2，由AO1+O1O2+O2C=AC，列方程求关

40、系式；由面积之和S=（r12+r22）及，换元为关于r1的二次函数，根据r1的取值范围求S的最小值；（）如图2，作辅助线，得到RtO1O2P，用r1、r2分别表示O1O2P的三边，用勾股定理可求r1+r2的值，根据不等式求面积和的最小值解答：解：（）如图1，在正方形ABCD中，连接AC，显然O1与O2在AC上，且，O1O2=r1+r2，由，根据题意，r1，r2，可得，即r1O1与O2的面积之和S=（r12+r22），=，这里，当时，O1与O2是等圆，其面积和的最小值为；（）如图2，作辅助线，得到RtO1O2P，则O1O2=r1+r2，O2P=BCr1r2=1r1r2在RtO1O2P中，O1O2

41、2=O1P2+O2P2，即解得或由于，故不合题意，应舍去O1与O2的面积之和S=（r12+r22），而，当且仅当r1=r2时，等号成立，当r1=r2时，O1与O2面积和存在最小值，最小值为，即点评：本题考查了圆的面积计算，切线、圆与圆相切的性质关键是根据勾股定理将两圆半径与已知矩形边长联系起来17已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，ACD=60°，ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S考点：面积及等积变换；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形808518 专题：计算题分析

42、：过点A作CD的垂线，过点D作AB的垂线，取AC的中点G，连接EG，证出等边CGE和等腰直角BFD，根据勾股定理求出AC和DB的长度，利用面积公式即可求出四边形ABCD的面积解答：解：过点A作CD的垂线，E是垂足，过点D作AB的垂线，F是垂足，取AC的中点G，连接EG，在RtACE中，AEC=90°，CG=GE，又ACD=60°，GCE是等边三角形，CE=CG=，由勾股定理，得AC2=CE2+AE2，解得：，DFB=90°，ABD=45°，FBD=FDBFBD是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD，=BDAO+BDCO，=，=答：四

43、边形ABCD的面积S是16点评：本题主要考查了面积与等积变换，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，正确作辅助线求出AC和BD的长是解此题的关键18探索：在图1至图3中，已知ABC的面积为a，（1）如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA若ACD的面积为S1，则S1=a（用含a的代数式表示）（2）如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE若DEC的面积为S2，则S2=2a（用含a的代数式表示）（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到DEF（如图3）若阴

44、影部分的面积为S3，则S3=6a（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图3），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的7倍应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在ABC的空地上种红花，然后将ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花如果种红花的区域（即ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的

45、面积考点：面积及等积变换；三角形的面积808518 专题：计算题分析：（1）根据等底等高的三角形的面积相等得出即可；（2）连接AD，根据等底等高的三角形的面积相等求出ADE的面积即可；（3）根据等底等高的三角形的面积相等求出ADE、AEF、AFD的面积，相加即可；分别求出各个三角形的面积，相加即可；根据等底等高的三角形的面积相等求出每个三角形的面积，相加即可解答：解：（1）BC和CD上的高相等，BC=CD，根据等底等高的三角形的面积相等，得出S1=SACD=a，故答案为：a（2）连接AD，与（1）类似，根据等底等高的三角形的面积相等，得出SACD=SADE=a，S2=2a，故答案为：2a（3）

46、与（2）类似：得出SAFE=SBFD=SCDE=2a，S3=2a+2a+2a=6a，故答案为：6a（3）黄花区域的面积是6×10=60平方米，紫花区域的面积是6×（60+10）=420平方米；蓝花区域的面积是6×（420+60+10）=2940平方米点评：本题考查了三角形的面积，面积和等积变形等知识点的应用，能根据等底等高的三角形的面积相等求出每个三角形的面积和根据得出的结果得出规律是解此题的关键，培养学生分析问题的能力19某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四

47、块，种上相同种类的花四块地的面积分别为S1，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S3，S4两种需要花的棵数大致相等（1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明S3与S4之间关系的理由？）（2）请你用学过的知识探究S1，S2，S3三者之间的关系？考点：面积及等积变换808518 专题：常规题型分析：（1）先判断出SADC=SDCB，继而分别利用两者表示出S3、S4，继而可判断出S3与S4之间的关系（2）根据高相同的两三角形的面积之比等于底边之比可得出S1：S3，S2：S4，结合（1）的结论可得出S1，S2，S3三者之间的关系解答：解：（1）SADC=SDCB（等底等高）所以S3=S4（2）点评：此

48、题考查了面积及等积变换的知识，解答本题关键是掌握等底的两三角形面积之比等于高之比，难度一般在，注意仔细观察图形20如图，若长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，求阴影部分的面积是多少？考点：面积及等积变换808518 专题：计算题分析：设HQ交DN于O，根据长方形APHM，BNHP，CQHN的面积可求出各个线段之间的比，最终求出PH：HO的值，然后根据三角形面积公式求出阴影部分的面积解答：解：设四边形MHQD的面积为x，长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，7：4=x：6，x=10.5，四边形ABCD的面积为：4+7+6+10.5=27.5，SPDN=2

49、7.5SADPSPBNSDNC=27.5（4+7+10.5+6+10.5）=8.5点评：本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是根据长方形APHM，BNHP，CQHN的面积求出相关线段的比值，本题难度不是很大21已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米求图中阴影部分面积考点：面积及等积变换808518 专题：计算题分析：求出CF=BE，AE=DF，根据等底等高的三角形的面积相等求出SAOD=SDOF=SADF，SFGC=SCGB=SBCF，分别求出ADF和CGB的面积，求出DOF和FGC的面积，代入SECDSDOFSFGC即可求出答案解答：解：四边形ABC

50、D是正方形，ABCD，AD=DC=BC=AB=10厘米，AE=8厘米，CF=2厘米，DF=AE=8厘米，BE=CF=2厘米，ABCD，AOEFOD，=1，AO=OF，AOD的边OA上的高和DOF的边OF上的高相等，SAOD=SDOF=SADF=××10×8=20，同理SFGC=SCGB=SBCF=××10×2=5，SECD=×10×10=50，图中阴影部分的面积是SECDSDOFSFGC=50205=25，答：图中阴影部分的面积是25点评：本题考查了正方形的性质、三角形的面积、面积及等积变形的应用，关键是能把求不规

51、则图形的面积转化成求规则图形的面积，题目比较好22如图，ABC被分为四块，其中三块的面积分别为4，6，12平方厘米，求四边形AEDF的面积考点：面积及等积变换808518 专题：计算题分析：先连接EF，并设SAEF=x，由于DCF和BCD的高相等，那么SDCF：SBCD=6：12=DF：BD，易得DF：BD=1：2，同理，SDEF：SBDE=DF：BD，于是SDEF：SBDE=1：2，而SBDE=4，易求DEF的面积，同样可得SAEF：SBEF=AE：BE=x：6，SACE：SBCE=AE：BE=（2+6+x）：（4+12），等量代换可得x：6=（2+6+x）：（4+12），解可求x，进而可求

52、四边形AEDF的面积解答：解：如右图，连接EF，设SAEF=x，SDCF：SBCD=6：12=DF：BD，DF：BD=1：2，SDEF：SBDE=DF：BD，SDEF：SBDE=1：2，又SBDE=4，SDEF=2，SBEF=6，SAEF：SBEF=AE：BE=x：6，SACE：SBCE=AE：BE=（2+6+x）：（4+12），x：6=（2+6+x）：（4+12），解得x=4.8，S四边形AEDF=SAEF+SDEF=2+4.8=6.8点评：本题考查了面积以及等积变换，解题的关键是注意同高的两个三角形的面积比等于它们的底之比23如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？考点：面积及等积变换808518 分析：延长CE交DA的延长线于M，根据相似三角形性质得出=，=，求出BEC和DFC的面积，根据三角形的面积公式求出BGE和CFH的面积，相减即可求出答案解答：解：延长CE交DA的延长线于M，四边形ABCD是正方形，AB=CD=BC，ADCB，MAB