初等代数研究__第3章__方程

1、12一一方程的历史发展及其科学价值方程的历史发展及其科学价值二二方程的定义方程的定义三三同解方程同解方程四四几种常见方程的变形几种常见方程的变形五五解方程的常用方法解方程的常用方法（第五组报告）（第五组报告）六六一元三次、四次以及高次方程一元三次、四次以及高次方程七七韦达公式、方程根的性质韦达公式、方程根的性质八八不定方程与中国剩余定理不定方程与中国剩余定理九九有关方程的问题求解有关方程的问题求解（第六组报告）（第六组报告）3一一 方程的历史发展及其科学价值方程的历史发展及其科学价值1.1. 方程发展简史方程发展简史2.2. 方程在中学数学中的地位和作用方程在中学数学中的地位和作用 3.3.

2、方程的科学价值方程的科学价值41 1 方程发展简史方程发展简史n公元前公元前17001700年时期年时期数学著作数学著作记载：一个量，加上它的记载：一个量，加上它的1/71/7，等于，等于1919，求这个量。另一部古埃及数学著作求这个量。另一部古埃及数学著作上有一个题目是上有一个题目是“将一个面积为将一个面积为100100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的一个的3/4”3/4”。泥板书上也有类似的数学问题：泥板书上也有类似的数学问题：“两两数互为倒数，二者之差是数互为倒数，二者之差是7 7，求这两个数，求这两个数”。 n欧几里得欧几里得中则有

3、很多问题还要用中则有很多问题还要用到解二次方程。到解二次方程。5n中国古代数学著作中国古代数学著作中有中有“方程方程”章，章，包含了很多关于方程的问题。包含了很多关于方程的问题。n“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”n九章算术九章算术没有表示未知数的符号没有表示未知数的符号，而是用算，而是用算筹将筹将x x、y y

4、、z z的系数和常数项排列成一个（长）的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是方阵，这就是“方程方程”这一名称的来源。这一名称的来源。 6n解方程的关键算法叫解方程的关键算法叫“遍乘直除遍乘直除”，实质上是我实质上是我们今天使用的解线性方程组的们今天使用的解线性方程组的消元法消元法。西方文献。西方文献中称之为中称之为“高斯消去法高斯消去法”。方程术是世界数学史。方程术是世界数学史上的一颗明珠。上的一颗明珠。7n“勾股勾股”章第章第2020题：题：“今有邑方不知大小，各今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见

5、木。问邑方几折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？何？”1775x2014利用三角形相似可得方程利用三角形相似可得方程x2+34x=71000.8n希腊数学家希腊数学家算术算术中，讨论了一次方中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。但没给出一元二次方程的解法。的不定方程。但没给出一元二次方程的解法。n印度数学家印度数学家在在阿耶波多历数书阿耶波多历数书中中给出了二次方程的求解方法。给出了二次方程的求解方法。在公在公元元628628年完成的年完成的婆罗摩笈多修正体系婆罗摩笈多修正体系一书一书中，也给出了一般二次方程的求根公式

6、。中，也给出了一般二次方程的求根公式。的的代数学代数学一开头就指出：下列的一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。叙述。 9n1313世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。高次联立方程上有重大贡献。12471247年，年，给出了一般高次方程的数值解法。给出了一般高次方程的数值解法。创立的创立的“天元术天元术”（12481248年）和年）和使用的使用的“四元四元术术”（13031303

7、年）能够求解一大类的高次联立方年）能够求解一大类的高次联立方程。程。n1616世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。四次方程的求根公式。n15451545年，年，在在大衍术大衍术中给出了三次中给出了三次方程和四次方程的解法。方程和四次方程的解法。10n1919世纪世纪都证明了一般的五次或都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。表出。n18321832年，年，在临终前写下了方程的伽罗瓦在临终前写下了方程的伽罗瓦理论的短文，其中提供了理论的短文，其中提供了和和的判别法则。奠定

8、了群论的基础。的判别法则。奠定了群论的基础。n进入进入2020世纪：世纪：一般的线性方程组求解和实际一般的线性方程组求解和实际算法；算法；一般的多元高次方程求解；一般的多元高次方程求解；任意多任意多元高次方程的求解。元高次方程的求解。11秦九韶秦九韶拉格朗日拉格朗日阿贝尔阿贝尔122 2 方程在中学数学中的地位和作用方程在中学数学中的地位和作用n高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。与几何图形之间的密切关系。n具体包含以下几方面：函数与方程，直线与

9、方具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。程等等。133 3 方程的科学价值方程的科学价值n自学自学14二二 方程的定义方程的定义1. “1. “属属+ +种差种差”的逻辑定义方式的逻辑定义方式p 目前中学数学教科书中通用的方程定义是：目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。含有未知数的等式。p 好处：比较直观、形象，便于初学者理解和好处：比较直观、形象，便于初学者理解和掌握。掌握。p 缺点：无法从中获得方程思想

10、的实质；可能缺点：无法从中获得方程思想的实质；可能使方程概念的外延模糊。在中学，方程等许使方程概念的外延模糊。在中学，方程等许多概念都不能严格定义，只能加以形象描述。多概念都不能严格定义，只能加以形象描述。152. 2. 一个可以取代的定义：一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。 n好处在于：好处在于：它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；求未知数；陈述了陈述了“已知数已知数”的存在，解方程需要充分利的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之

11、间的关系；用已知数和未知数之间的关系；方程的本质是方程的本质是“关系关系”，而且是一个等式关系。，而且是一个等式关系。p方程的逻辑定义不必深究，需特别关注求未知方程的逻辑定义不必深究，需特别关注求未知数的思想。数的思想。16 3. 用解析式对方程定义：用解析式对方程定义： 形如形如 的等式叫做方的等式叫做方程，其中程，其中 是在它们是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。一个不是常函数。nnxxxgxxxf,2121 nnxxxgxxxf,2121 本质上没有给出更多有用信息，只是达到形式化的目本质上没有给出更多有用信息，只是达到

12、形式化的目的。好处是确定了未知数的取值范围。在实际教学中，不的。好处是确定了未知数的取值范围。在实际教学中，不必采用必采用“解析式解析式”的方程定义，只需采取适合中学的通俗的方程定义，只需采取适合中学的通俗定义加以说明就够了。定义加以说明就够了。17无理方程分式方程高次方程二次方程一次方程整式方程有理方程代数方程反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程方程根据解析式的不同形式对方程分类：根据解析式的不同形式对方程分类：18据方程的解集和定义域的关系对其分类：据方程的解集和定义域的关系对其分类：n解集是定义域的真子集解集是定义域的真子集n恒等方程恒等方程n矛盾方程矛盾方程 方程解的情况与所在数

13、域有关。方程解的情况与所在数域有关。19三三 一元同解方程一元同解方程n定义定义1 1 如果方程如果方程f f1 1(x)=g(x)=g1 1(x)(x)的任何一个解的任何一个解都是方程都是方程 f f2 2(x)=g(x)=g2 2(x)(x)的解，并且方程的解，并且方程的的任何一个解也都是方程任何一个解也都是方程的解，那么方程的解，那么方程和和称为同解方程。称为同解方程。n两个无解方程认为是同解方程。两个无解方程认为是同解方程。n解集相同，且相同的根具有相同的次数，才是解集相同，且相同的根具有相同的次数，才是同解方程。同解方程。n还要看数域还要看数域20n定理1 如果函数如果函数A(xA(

14、x) )对于方程对于方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )的定义域的定义域M M中的数都有意义，那么方程中的数都有意义，那么方程 f(x)=g(xf(x)=g(x) )与方程与方程 f(x)+A(x)=g(x)+A(xf(x)+A(x)=g(x)+A(x) )同解。同解。 证：设证：设x x0 0MM，且有，且有f(xf(x0 0)=g(x)=g(x0 0) ) ，从而有，从而有f(xf(x0 0)+A(x)+A(x0 0)=g(x)=g(x0 0)+A(x)+A(x0 0) ) ，即方程，即方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )的每的每一个解都是方程一个解都是方程f(x)+A(x)=

15、g(x)+A(xf(x)+A(x)=g(x)+A(x) )的解。的解。 如果如果f(xf(x0 0)+A(x)+A(x0 0)=g(x)=g(x0 0)+A(x)+A(x0 0) ) ，由，由f(xf(x0 0)+A(x)+A(x0 0) ) -A(x-A(x0 0)=g(x)=g(x0 0)+A(x)+A(x0 0)-A(x)-A(x0 0) ) ，可得，可得f(xf(x0 0)=g(x)=g(x0 0) ) ，即，即方程方程f(x)+A(x)=g(x)+A(xf(x)+A(x)=g(x)+A(x) )的每一个解也都是方程的每一个解也都是方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )的解。的解。

16、 这两个方程是同解方程。这两个方程是同解方程。21n定理2 如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域M中的数都有意义，并且不等于零，那么方程 f(x)=g(x)与方程 A(x)f(x)=A(x)g(x)同解。n定理定理3 3 如果如果 ，那么方程，那么方程 的解集等于下列各个方程：的解集等于下列各个方程： 的解集的并集，其中每一个解都属于这的解集的并集，其中每一个解都属于这k k个方个方程的定义域的交集。程的定义域的交集。 )()()(21xfxfxfxFk0)(, 0)(, 0)(21xfxfxfk 0 xF22定理定理4 4略略n解方程时，如果解方程时，如果按照上面定理将原方程变

17、形按照上面定理将原方程变形，或者在或者在不改变定义域的前提下做恒等变形不改变定义域的前提下做恒等变形后后所得到的方程与原方程是同解的，这样的变形所得到的方程与原方程是同解的，这样的变形称为解方程的称为解方程的同解变形同解变形。23四四 几种常见方程的变形几种常见方程的变形n在方程变形过程中，会出现定义域变化的情况。在方程变形过程中，会出现定义域变化的情况。n若新定义域相对于原定义域有扩大部分，可能若新定义域相对于原定义域有扩大部分，可能产生增根；产生增根；n若新定义域相对于原定义域有缩小部分，可能若新定义域相对于原定义域有缩小部分，可能会失去根。会失去根。24)()()()()()()()(1

18、2212211xgxfxgxfxgxfxgxf)()()()()()()()()()()()(222211112211xgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf)()()()()()()()()()(2121112211xgxgxfxfxgxfxgxfxgxf1 1：251212)()()()(nnxgxfxgxf)()()()(22xgxfxgxfnnnnxgxfxgxf22)()()()()()()()(1212xgxfxgxfnn2 2：26 )()() 1, 0(loglogxgxfaaxgxfaa)(log)(log)()()()(xuxfxgxuxfaaxg ) 1, 0(l

19、oglog)(log)(aaxfcxgcxgaaxf3 3：4：27)()() 1, 0()()(xgxfaaaaxgxf)(cos)(cos)()()(sin)(sin)()(xgxfxgxfxgxfxgxf5 5：6：28的解集的并集。个超越方程的解集为方程那么的根为如果方程令kixfttxftxftxfkxfkitttxf)(,)(,)(0)(F), 3 , 2 , 1(0)(F0)(F0)(F21)(7 7：29五五 解方程的常用方法解方程的常用方法n同学交流。30六六 一元三次、四次以及高次方程一元三次、四次以及高次方程1. 一元三次方程的解法一元三次方程的解法2. 一元四次方程的解

20、法一元四次方程的解法3. 五次及五次以上代数方程无求根公式五次及五次以上代数方程无求根公式4. 代数基本定理代数基本定理311 1 一元三次方程的解法一元三次方程的解法1023）（式：一元三次方程的一般形adcxbxax0)()()(1,23dkyckybkyakkyx：为待定常数，代入方程令0)()23()3(23223dckbkakycbkakybakay展开整理得：将其二次项系数化为将其二次项系数化为0：2,33ababyxk实质是对方程做变换：取320)3272()3(:0)3272()3(2332232323adabcabyacabyadabcabycabay得两边除以整理得：30:

21、3272,3323322qpyyadabcabqacabp得令任何一元三次方程都可以通过任何一元三次方程都可以通过式转换式转换成缺二次项的一元三次方程。成缺二次项的一元三次方程。33301003233qpyyadcxbxaxabyx）（0)()(:3,3qvupvuvuvuy为未知数，代入其中作变换40)(3(33vupuvqvu整理得：303,puvpuvvu：做一个满足方程的限定再对003433qvupuv340的两个根。0的两个根。27273 3p pqzqz2 2一元二次方程z一元二次方程z是是3 3，v，v3 3q.故uq.故u3 3v v3 3和u和u27273 3p p3 3v

22、v3 3即得：u即得：u652742,27423323323puvpqqvpqqu且解之得：.1.5213121的三次单位根是这里，的另外两个解分别为的任一解，则是设uuuuuu.,6133213231321321vvvvvvuuuupupup的三个解是相应的、得与由35.,2742274201213332112223323321113vuvuyvuvuypqqpqqvuyqpyy的三个解的公式是：从而。其中231,2312ii式。为一元三次方程的判别274D32pq36).(),(32742,27420D.11123112112133311231121211222111323323vuivu

23、vuvuyvuivuvuvuyvuypqqvpqqu）（）（根。有一实根和两个共轭虚程是不相等的两实数，方时，当）（.)(,)(223,20D).2(321123112133211231121232111133qqqvuivuyvuivuyuvuyqvu）（）（。有三个实根且两个相等时，当对实系数一元三次方程根的讨论：对实系数一元三次方程根的讨论：37333333,)3(pnniuzz27p27p4q4q27p4q2q27p4q2q27p4q2q由是共轭复数，27p4q2qv和27p4q2q0时，u当D3322323232323323共轭。和所以因为vuuupuupuuupupvp,33333

24、238为三相异实数根。）（）（因此的任一值，则是设. 3)(, 3)(2,11231121311231121211111tsvuivuytsvuivuysvuytisvutisu.sincossincos,sincos,sincos333333iriririr113333v，u于是vu设，是共轭复数v和0时，u当D另解：39),.cos(2sin3cos)(),cos(2sin3cos)(,cos2sincossincos33433333112311213323333311231121233333333111rrvuivuyrrvuivuyririrvuy）（）（有三相异实根：则4001133

25、123xxx：解方程例011) 1(3) 1(3) 11233yyyyyxab（变换：分析：对方程作. 0663 yy整理得：42, 22, 0127)6(46274D333232DqvDqupq31314,2vu)24(42)()24(42)(42332333211123112133323332111231121233111ivuivuyivuivuyvuy）（）（）（）（410162742742723xxx练习：解三次方程011126223xxx作业：解三次方程一般一元三次方程的解法的思路是化为缺一般一元三次方程的解法的思路是化为缺二次项的三次方程，再作变换转换为二次二次项的三次方程，再作

26、变换转换为二次方程来求解。方程来求解。422 2 一元四次方程的解法一元四次方程的解法n自学教材。自学教材。n一般四次方程的解法也是转换为缺项的四一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。的根。433 3 五次及五次以上代数方程无求根公式五次及五次以上代数方程无求根公式n一般五次及五次以上方程不能用根式一般五次及五次以上方程不能用根式求解。求解。n自学教材。自学教材。n4 代数基本定理代数基本定理44七七 韦达公式、方程根的性质韦达公式、方程根的性质n

27、韦达公式韦达公式n方程根的性质方程根的性质451 1 韦达公式韦达公式其根与系数的关系为：nnnnnnxxxxxxaxaxaxaxxf2112211)(.1)()()(213132131212211nnnljijinnnnxxxaljixxxajixxxxxxxxxxxxaxxxa462 2 方程根的性质方程根的性质 倍根变换倍根变换（例例1：负根变换：负根变换） 差根变换（差根变换（一元三次、四次方程消去一元三次、四次方程消去n-1次项次项） 倒根变换倒根变换 重根的含义重根的含义 正根个数的判定正根个数的判定（例例2）47倍。的各个根的的各个根分别是那么，）（表示成把的例子：推论2023)

28、(0)(022222301632166)(14135621641533563561xxxxxfxfxxxxxxxxxf48。的一个根是因此、三根是三根成等差数列，设这分析：由已知得32230)(, 23.01413189)(xfabaabaxxxxf。、的另外两根是可得37210)(),73)(1(743)23()(xfxxxxxxf列，解这个方程。三个根的倒数成等差数的例子：方程推论09181314323xxx49正根个数判定（笛卡尔）正根个数判定（笛卡尔）n设设f(xf(x)=a)=a0 0 x xn n+a+a1 1x xn-1n-1+a+a2 2x xn-2n-2+ +a+an-1n-

29、1x+ax+an n的根全为的根全为实根，假定实根，假定a a0 00,0,并写出方程的系数序列并写出方程的系数序列a a0 0、a a1 1、a a2 2、a an n，去掉其中等于零的那些项。，去掉其中等于零的那些项。n如果余下的序列中相邻的两个符号相反就叫做如果余下的序列中相邻的两个符号相反就叫做一个变号。一个变号。n变号数的总和叫做一个多项式的系数序列的变变号数的总和叫做一个多项式的系数序列的变号数。号数。 f(xf(x)=0)=0的正根个数就等于它的系数序列的正根个数就等于它的系数序列的的变号数变号数。50八八 不定方程与中国剩余定理不定方程与中国剩余定理1. 不定方程不定方程2.

30、中国剩余定理中国剩余定理511 1 不定方程不定方程n所谓不定方程，通常是指未知数的个数多于方所谓不定方程，通常是指未知数的个数多于方程的个数的整系数代数方程。程的个数的整系数代数方程。n一般地，不定方程有无穷多组解，有许多问题一般地，不定方程有无穷多组解，有许多问题可归纳为求不定方程的整数解。可归纳为求不定方程的整数解。n求不定方程的一切整数解的过程叫解不定方程。求不定方程的一切整数解的过程叫解不定方程。52定理定理1 设二元一次不定方程为 ，其中a，b，c都是整数且a，b都不是0，有一组整数解 ；又设 则一切整数解可以表示成： 其中 定理定理2 二元一次不定方程有整数解的充分与必要条件是

31、cbyax00,yyxx,),(11dbbdaadba,1010tayytbxx, 2, 1, 0tcba| ),(53n例1 求不定方程7x+4y=100的整数解n例2 求方程42x-29y=5的整数解n(x0=74,y0=107)n练习75321111yx542 2 中国剩余定理中国剩余定理 孙子算经孙子算经的题目的题目 解决方法解决方法 中国剩余定理中国剩余定理55孙子算经孙子算经中的题目中的题目 我国古代数学名著我国古代数学名著孙子算经孙子算经中有中有“物不知其数物不知其数”的的 题目：题目： 今有物不知其数，今有物不知其数， 三三数之剩三三数之剩2， 五五数之剩五五数之剩3， 七七数

32、之剩七七数之剩2， 问物几何？问物几何？56孙子算经孙子算经57解决方法解决方法 我们先对（我们先对（*）式作两个方面的简化：）式作两个方面的简化：一方面一方面是每次只考虑是每次只考虑“一个除式一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；另一方面另一方面是把余数都简化为最简单的是把余数都简化为最简单的1。这样得到三组方程。这样得到三组方程。1233253(*)72xnxnxn11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn58 （1）式意味着，在）式意味着，在5和和7的公倍数中（的公倍数中

33、（35，70，105，）寻找被）寻找被3除余除余1的数；的数； （2）式意味着，在）式意味着，在3和和7的公倍数中（的公倍数中（21，42，63，）寻找被寻找被5除余除余1的数；的数； （3）式意味着，在）式意味着，在3和和5的公倍数中（的公倍数中（15，30，45，）寻找被寻找被7除余除余1的数。的数。11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn59 对（对（1）式而言，这个数可以取）式而言，这个数可以取70，对（，对（2）式而言，这个）式而言，这个数可以取数可以取21，对（，对（3）式而言，这个数可以取）式而言，这个数可以取15。 于

34、是（于是（1）式两边同减）式两边同减70变为这样变为这样：第二式右边仍是第二式右边仍是5的倍数，的倍数，第三式右边仍是第三式右边仍是7的倍数，而第一式右边因为减的的倍数，而第一式右边因为减的70是是“用用3除除余余1”的数，正好原来也多一个的数，正好原来也多一个1，减没了。第一式右边也成为了，减没了。第一式右边也成为了倍数，是倍数，是3的倍数。的倍数。 11122233331335(1);51 (2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn60（2）式两边同减）式两边同减21变为变为 1112113703(23)703,5,7105705(14)10570,0,1,2,707(1

35、0)xnxkkxnxkkxn1222223213(7)213,5,7105215(4)10521,0,1,2,217(3)ynykkynykkyn61 （3）式两边同减）式两边同减15变为变为 于是得到于是得到 1332332153(5)153,5,7105155(3)10515,0,1,2,157(2)znzkkznzkkzn 123105701052110515xkykzk62 现在重复一下：所得的现在重复一下：所得的x是是被被3除余除余1，被，被5和和7除余除余0的数；的数；y是是被被5除余除余1，被，被3和和7除余除余0的数；的数；z是是被被7除余除余1，被，被3和和5除余除余0的数。

36、的数。63 那么，凑出那么，凑出 ， s 不就是我们需要求的数吗？不就是我们需要求的数吗？ 232sxyz64 因为，用因为，用3去除去除s时，除时，除y及除及除z均余均余0 除除3y及除及除2z均余均余0， 又除又除x余余1 除除2x余余2，用用3除除s时余时余2。 用用5去除去除s时，除时，除x及除及除z均余均余0 除除2x及除及除2z均余均余0， 又除又除y余余1 除除3y余余3，用用5除除s时余时余3。 用用7去除去除s时，除时，除x及除及除y均余均余0 除除2x及除及除3y均余均余0， 又除又除z余余1 除除2z余余2， 用用7除除s时余时余2。65 于是我们要求的数是于是我们要求的

37、数是 这就是这就是孙子算经孙子算经中中“物不知其数物不知其数”一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是23（ 时）。时）。1231232322(10570)3(10521)2(10515)(70221 3152)105(232)70221 31521052, 1,0,1,2,3,sxyzkkkkkkkk 2k 66 这里，（这里，（1），（），（2），（），（3）三式分别叫三个）三式分别叫三个“单因子构件单因子构件”，分别解得分别解得 每个单因子构件，都是用某一个数去除余每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均，用另两个数去除均余余0的情况。

38、再据题目要求余数分别是的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成的情况，凑成11122233331335(1);51(2);5(3)7771xnynznxnynznxnynzn232sxyz123105701052110515xkykzk67 所以，上述方法叫所以，上述方法叫“单因子构件凑成法单因子构件凑成法” 解决解决“由几个平行条件表述的问题由几个平行条件表述的问题”的方的方法法 （ 也称也称“孙子孙子华方法华方法”） 题：题： 有物不知其数，三三数之剩有物不知其数，三三数之剩a，五五数，五五数 之剩之剩b，七七数之剩，七七数之剩c，问物几何？，问物几何？ 答：答：解为解为 （ 的选取应使的选取应使 ）.702115105sabck,kkZ0s 68中国剩余定理中国剩余定理 1247年南