2019年北京市高考数学试卷(理科)和答案

1、2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个 选项中，选出符合题目要求的一项。1. （5分）已知复数z=2+i,则z£=（）D.C. 32. （5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. （5分）已知直线l的参数方程为fx=l+3t ,（t为参数），则点(1,0）到直线l的距离是（A.B 2B-百C 星C，54. （5分）已知椭圆4+,= 1 （a>b>0）的离心率为则（A. a2= 2b2B. 3a2= 4b2C. a=2bD. 3a= 4b5.（5分）若乂满足凶01-丫,且yn

2、 - 1,则3x+y的最大值为（）A. - 7 B. 1C. 5D. 76. （5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两第1页（共22页）颗星的星等与亮度满足 m2-mi=_|lg|i,其中星等为 mk的星的亮度为Ek （k=1, 2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1 D. 10 10.17. （5分）设点A, B, C不共线，则“菽与正的夹角为锐角”是“赫亚I>|前|”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. （

3、5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C: x2+y2= 1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 近；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是（）ATBYC. D.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. （5分）函数f （x） = sin22x的最小正周期是 .10. （5分）设等差数列an的前n项和为Sn,若&=-3, S5= - 10, 第2页（共22页）则a5=, 0的最小值为.11. （5分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所

4、得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为 1,那么该几何体的 l，m; m / %; l，以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个 正确的命题：.13. （5分）设函数f （x） =e<+ae x （a为常数）.若f （x）为奇函数， 则a=;若f （x）是R上的增函数，则a的取值范围 是.14. （5分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中 有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元/盒、65元/盒、80 元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一 次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客 网上支付成功后，李

5、明会得到支付款的 80%.第3页（共22页）当x= 10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或 证明过程。15. (13分)在4ABC 中，a=3, b c=2, cosB=一.(I )求b, c的值；(H)求 sin (B C)的值.16. (14分)如图，在四棱锥 P - ABCD中，PA，平面ABCD, AD ±CD, AD/BC, PA = AD=CD = 2, BC = 3. E 为 PD 的中点， 点F在PC上，且空=工.

6、PC 3(I )求证：CD，平面PAD;(II)求二面角F - AE - P的余弦值；(田)设点G在PB上，且兽=3.判断直线AG是否在平面AEF PB 3内，说明理由.17. (13分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A, B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(0, 1000(1000, 2000 大于 2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(I )从全校学生中随机抽取1人，估

7、计该学生上个月A, B两种 支付方式都使用的概率；(II)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以 X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布 列和数学期望；(m)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.18. (14分)已知抛物线 C: x2=-2py经过点(2, - 1).(I)求抛物线C的方程及其准线方程；(n)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M ,

8、N ,直线y= - 1分别交直线OM , ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.19. (13分)已知函数f（X）=-7X3 X2+X.(I)求曲线y=f (x)的斜率为1的切线方程;(II)当 xq 2, 4时，求证：x-6<f (x) <x；(m)设 F (x) =|f (x) - (x+a) | (a6R),记 F (x)在区间- 2, 4上的最大值为 M (a).当M (a)最小时，求a的值.20. (13分)已知数列an,从中选取第ii项、第i2项、第im项 (ii<i2< < im),若aq<aw<*Y a】,则称新

9、数列 君，料，, a“为an的长度为m的递增子列.规定：数列an的任意一项都 是an的长度为1的递增子列.(I )写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列； (II)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为 帆， 长度为q的递增子列的末项的最小值为 的> 若p<q,求证：郃。< a%；(m)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s- 1,且长度为s末项 为2s- 1的递增子列恰有2s1个(s= 1, 2,)，求数列an的通 项公式.第5页(共22页)2019年北京市高考数学试卷（理

10、科）答案与解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个 选项中，选出符合题目要求的一项。1 .【分析】直接由3力|2求解.【解答】解：.z= 2+i, z?s= |z I Wz"十产/二中故选：D.2 .【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构 计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变 量值的变化情况，可得答案.【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1, s=1s= 2不满足条件kA3,执行循环体，k = 2, s= 2不满足条件kA3,执行循环体，k = 3, s= 2此时，满足条件kA3,退出循环，输出s的值为2.故选：B.3

11、.【分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.【解答】解：由广三"灰（t为参数），消去t,可得4x- 3y+2 = 0. Iy=2+4t则点(1,0)到直线l的距离是d=#lTX0+2| V4联立产一111V解得A (2, - 1), x+y-l=O+(-3)令 z= 3x+y,化为 y= - 3x+z, 由图可知，当直线y=-3x+z过点A时，z有最大值为3X2-1 =故选：C.6.【分析】把已知熟记代入 m2- milg,化简后利用对数的运算性质求解.故选：D.4 .【分析】由椭圆离心率及隐含条件 a2= b2+c2得答案.222【解答】解：由题意，

12、3;上，得、二,则目工， a 2/ 4/4 4a2 4b2= a2,即 3a2= 4b2.故选：B.5.【分析】由约束条件作出可行域，令 z= 3x+y,化为直线方程的斜 截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答 案.【解答】解：由作出可行域如图，y>-lx-v-1:-y+l=O第#页(共22页)【解答】解：设太阳的星等是mi = - 26.7,天狼星的星等是 m2 =-1.45,由题意可得：-L 45-(-26. 7)得1年工, “音等皿，唱藐L7 .【分析】“正与正的夹角为锐角” ？ “|S+菽|函|"，“由而|就广? “彘与菽的夹角为锐角”，由此能求出结果

13、.【解答】解：点A, B, C不共线，BC= AC-AB, 丽1I/十彘J2立凝， i 2* 2 * 2当！§与菽的夹角为锐角时，正标=吃十色 一配0,. “标与正的夹角为锐角” ？ “屈+ 正|呢|”， “回+正|函？ “屈与的夹角为锐角”，设点A, B, C不共线，则“正与它的夹角为锐角”是“而江| | q”的充分必要条件.故选：C.8 .【分析】将x换成-X方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得.【解答】解：将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2= 1,.y=± 1,即曲线经过(0, 1), (0,-1)；当 x0

14、 时，方程变为 y2- xy+x2 - 1 =0,所以= x2 - 4 (x2 - 1) 第9页(共22页)A0,解得 x6 (0,罢,所以x只能取整数1,当X=1时，y2-y=0,解得y = 0或y=l,即曲线经过(1, 0), (1, 1),根据对称性可得曲线还经过(-1, 0), (-1, 1),故曲线一共经过6个整点，故正确.2 , 2当 x>0 时，由 x2+y2= 1+xy 得 x2+y2 1 =xy<x,(当 x=y 时取等),.x2+y2W2,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过6，根据对称性可得：曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过6；故正确.在x轴上图形面

15、积大于矩形面积=1X2=2, x轴下方的面积大于 等腰直角三角形的面积=一x2X1 = 1,因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1 = 3,故错误.故选：C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9 .【分析】用二倍角公式可得f (x)=985(4工)臼，然后用周期公式求出周期即可.【解答】解：f (x) =sin2 (2x), f (x)=.f (x)的周期T =故答案为:兀2第13页（共22页）10 .【分析】利用等差数列an的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出ai=-4, d=1,由此能求出的Sn的最小值.【解答】解：设等差数列an的前n项和为Sn, a2 = - 3,

16、 S5= - 10,a+d=_3；5X4，5%口一410解得 ai= - 4, d=1, . a5= ai+4d = 4+4 x 1=0,$=,5-一即+/得（n*） 2谭，.n = 4 或 n = 5 时，Sn取最小值为 S4=S5= - 10.故答案为：0, -10.11 .【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱 柱的体积作和求解.【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱,则该几何体的体积V =&x zx 2八(2+4)m2 m 4二4, 2故答案为：40.12 .【分析】由l, m是平面0c外的两条不同直线，利用线面平行的

17、 判定定理得若1，& l±m,则m / %.【解答】解：由1, m是平面0c外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若 1，, 1±m,则 m .故答案为：若1，& Um,则m / %.13 .【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f (-x) = -f (x),即e x+aex=- ( ex+ae x),变形可得分析可得a的值，即可得答 案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析 可得f (x)的导数f' (x) = ex-aexA0在R上恒成立，变形可 得：awe2x恒成立，据此分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数f

18、 (x) = ex+ae x,若 f (x)为奇函数，贝U f ( - x) = - f (x),即 e x+aex= (ex+ae X),变形可得a= - 1,函数 f (x) =ex+aex,导数 f' (x) = ex - ae x若f (x)是R上的增函数，则f (x)的导数f' (x) =ex- ae x A0在R上恒成立，变形可得：awe2x恒成立，分析可得a<0,即a的取值范围为(-°0, 0；故答案为：-1, （-8, 0.14 .【分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去 x,可得所 求值；在促销活动中，设订单总金额为 m元，可得（m-x）

19、x 80% >mX70%,解不等式，结合恒成立思想，可得 x的最大值.【解答】解：当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒，可得 60+80= 140 （兀），即有顾客需要支付140- 10=130 （元）；在促销活动中，设订单总金额为 m元，可得（m-x） X80%nmx70%,即有xw=恒成立， C由题意可得mn 120,可得xw号=15,则x的最大值为15元.故答案为：130, 15三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或 证明过程。15 .【分析】（I）利用余弦定理可得 b2=a2+c2- 2accosB,代入已知 条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（

20、H ） sin （B-C） = sinBcosC- cosBsinC,根据正弦定理可求出sinC,然后求出cosC,代入即可得解.【解答】解：（I） a=3, b-c= 2, cosB=-.由余弦定理，得 b2 = a2+c2 - 2accosB=9以5-2 ）匕2 * e-2）X （弓）， b = 7, . . c= b-2=5;（H）在 ABC 中，v cosB= -1, . sinB=2,由正弦定理有：FT，sinC sinB _，川: 2 _卬3SlnC 飞一飞 一 b>c,. B>C,.C 为锐角,，coT， .sin （B C） = sinBcosC cosBsinC7

21、16.【分析】（I）推导出PAXCD, AD LCD,由此能证明CD，平 面 PAD.（H ）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴， AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出二面角F-AE-P的余弦值.（田）求出正=假,0,二），平面AEF的法向量扁=（1, 1, - 1）, 嬴正=0,从而直线 AG在平面AEF内.【解答】证明：（I ） ; PA，平面ABCD ,PALCD,. ADCD, PAAAD=A,CD，平面 PAD.轴,AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系, A (0, 0, 0), E (0, 1, 1), F (|,日，|), P (

22、0, 0, 2), B (2, - 1, 0),耗=(0, 1, 1),凝=(三，圣 I), 平面AEP的法向量；=(1, 0, 0),设平面AEF的法向量=(x, y, z), *nf AE=y+z=OT),则221 ”取 x=1,得 IT= (1, 1,mAF至乂十日=0设二面角F-AE-P的平面角为0,贝U cos8=二面角F-AE-P的余弦值为保(m)直线AG在平面AEF内，理由如下:，在世上,且制阖怖T谓,斗(一，广平面AEF的法向量口 = (1, 1, - 1),0,故直线AG在平面AEF内.17.【分析】(I)从全校所有学生中随机抽取的 100人中，A, B两 种支付方式都不使用

23、的有 5人，仅使用A的有30人，仅使用B 的有25人，从而A, B两种支付方式都使用的人数有 40人，由 此能求出从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A, B 两种支付方式都使用的概率.(II)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以 X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能 取值为0, 1, 2,分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列和 数学期望E (X).(m)从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不 大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发 现他们本月的支付金额都大于 2000元的概率为p=4=.,不C|Q

24、 4060能认为认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于2000元的人 数有变化.【解答】解：(I)由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，第15页(共22页)A, B两种支付方式都不使用的有 5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，.A, B两种支付方式都使用的人数有：100- 5- 30-25 = 40,.从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率p=/!L= 0.4.100（II）从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,则X的可能取值为0, 1, 2,样本仅使用A的学生有30人，其

25、中支付金额在（0, 1000的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0, 1000的有10人，超过1000元的有15人,1325第19页（共22页）2625X01o且回P2525数学期望E (X) = 0乂今+1><|十2><条=1.ZDZD（田）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化,理由如下：从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于 2000元的概率为虽然概率较小，但发生的可能性为 嬴.故不能认为

26、认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.18 .【分析】（I）代入点（2, - 1）,解方程可得p,求得抛物线的 方程和准线方程；（II）抛物线x2=-4y的焦点为F （0, -1）,设直线方程为y = kx - 1,联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程， 求得A, B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x = 0,解方程, 即可得到所求定点.【解答】解：（I ）抛物线C: x2= - 2py经过点（2, - 1）.可得 4=2p,即 p = 2,可得抛物线C的方程为x2= - 4y,准线方程为y= 1;（II）证明：抛物线x2=-4y的焦点为F （0,

27、 - 1）,设直线方程为y = kx - 1,联立抛物线方程，可得x2+4kx -4 = 0, 设 M（X1, y） N（X2, y2）,可得 x1+x2= - 4k, X1X2= 4,直线om的方程为y=?x,即y=-口,直线on的方程为y=*,即y=-肾x,可得 A (Jk, - 1), b(土，- 1), 叼纥可得AB的中点的横坐标为2 (J+JL) =2?：坐= 2k, 勺| »-4即有AB为直径的圆心为(2k, - 1),半径为IMi=工巨-L| = 2?M'16k2+16 = 2j2,可得圆的方程为(x-2k) 2+ (y+1) 2 = 4 (1+k2),化为 x

28、2-4kx+ (y+1) 2=4,由x= 0,可得y=1或-3.则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0, 1), (0, -3).19 .【分析】(I)求导数f' (x),由f' (x) =1求得切点，即可 得点斜式方程；(H )把所证不等式转化为-6<f (x) - xW0,再令g (x) = f(x) -x,利用导数研究g (x)在-2, 4的单调性和极值点即可 得证；(田)先把F (x)化为|g (x) - a|,再利用(H)的结论，引进 函数h (t) =|t-a|,结合绝对值函数的对称性，单调性，通过对 称轴t = a与-3的关系分析即可.【解答】解：(I)

29、 f' (x) 号/七十1,由 f' (x) =1 得 x (x 1) =0,得町二0，工居.又f (0) =0, f (得)=3, y = x 和 y*二k-4，即 y=x 和 y = x - 2?(H )证明：欲证 x- 6<f (x) Wx,只需证-6<f (x) -x<0, g (x) =f (x) -x=/-, x6-2，4,4贝U g ( x)=旨”-2式一卷)，可知g' (x)在-2, 0为正，在(0,蒋)为负，在吟.4为正， IOg(x)在-2, 0递增，在0冬递减，在24递增，又 g ( - 2) = 6, g(0) =0, g 仔)篝"6，g =0,. . - 6<g (x) < 0,-. x - 6<f (x) < x;(m)由(n)可得，F (x) =|f (x) (x+a) |=|f (x) - x - a|=|g (x) - a|.在 - 2, 4上，6<g (x) < 0,令 t=g (x), h (t) =|t-a|,则问题转化为当tq-6, 0时，h (t)的最大值