《高等数学》电子课件（自编教材）：第五章 第5节广义积分

1、1反常积分（广义积分）反常积分（广义积分）第五节第五节一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分四、小结三、函数的介绍2定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间), a上上连连续续，如如果果极极限限 babdxxf)(lim存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间), a上上的的广广义义积积分分，记记作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .一、无穷限的广义积分无穷限广义积分无穷限广义积分adxxf,)(

2、bdxxf,)(,)(dxxf3 bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .类似类似 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim称积分称积分时时当右端两个积分都收敛当右端两个积分都收敛,dxxf)(;收敛收敛.否则成为发散否则成为发散:说明说明 dxxf)(.作中间限也可作中间限也可定义中用任意定义中用任意c41例例dxex0dxebxb0limbxbe0lim)(lim1bbe1几何意义几何意义5例例2 2 计算广义积分计

3、算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 6例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 7例例 4 4 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛， 当当1 p时时发发散散. 证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln

4、x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.8例例 5 5 证证明明广广义义积积分分 apxdxe当当0 p时时收收敛敛， 当当0 p时时发发散散. 证证 apxdxe bapxbdxelimpepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.96例例dxxx031)(dxxx03111)(dxxx0321111)()(0212111)(xx2110 badxxf)(0lim( )baf x dx当当极极限限存存

5、在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .二、无界函数的广义积分11当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .12设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上除点外上除点外 c 连续，连续， )(limxfcx, ,如果两个广义积分如果两个广义积分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收敛，则定义都收敛，则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中C为为瑕点瑕点，

6、以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.13例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa221lim,xaax ax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx0222200limadxax00lim arcsinaxa0lim arcsin0aa.2 14例例 2 2 证明广义积分证明广义积分 当当1 q时收敛，时收敛，当当1 q时发散时发散. 证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义

7、积分发散时广义积分发散. 101dxxqdxxq10115例例3 3 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx210limlndxxx210(ln )limlndxx210lim ln(ln )x0lim ln(ln2)ln(ln(1). 故原广义积分发散故原广义积分发散.16例例4 4 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx23100lim(1)dxx3 3132)1(xdx23310lim(1)dxx, 233 3032)1(xdx).21(33 175例例dx

8、x10)sin(ln解解dxx1 )sin(ln1 xxlnsindxx1 lncos1lncoslnsinxx1 xdxlnsindxx1 )sin(ln21lnsinlncos21dxx10)sin(ln21lim0186例例04)(xxdx104)(xxdx14)(xxdx102 arctanlimxbbx12arctanlim2 197例例证明证明041xdxdxxx042122 证明证明则则令令,tx1041xdxdttt)(2041111dttt0421dttt0421dxxx04210412xdx041xdxdxxx0421dxxx0421120dxxxx022211102211

9、)()(xxxxd02121xxarctan)(2221 2 041xdx22 dxxx0421218例例dxxxn02111)(dttttntx)()(2021111111dttttnn0211)(dttttnn021111)(dtt0211dtttn02111)(dxxxn02111)(dtt0211214 dtt0211dxxxn02111)(22三、函数介绍函数：)0()(01sdxexsxs特点：（1）积分区间为无穷。（2）当s-10时收敛，且连续、可导。 函数的性质： (2) 递推公式：) 0()()1(ssss23事实上，0)1(dxexsxs0 xsdex0 xsex01dse

10、xsxs)(ss当s取正整数n+1时,)()1(nnn)2() 1(nnn) 1 (!n , 1)1 (0dxex!)1(nn而所以由此可以把函数看成阶乘在正实数上的推广.24（3）函数： )(s另外一种形式:（4）)(s01222dtetts022)21(dtet例例7 计算)25(.43)21(2123)25(解：25无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(三、小结练习与思考题练

11、习与思考题261、积分、积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx解答解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x272、判断反常积分11dxx x 的敛散性，解：解：11lim1xxx则这个积分既是无界函数，又是无穷区间上的反常积分.若收敛求其值。令ududxuxxu2112111dxx x 2021duuuarctan20228221xxdxududxuxxu2112令：221xxdx1212uduuarctan212)42(221222929,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求)(20 xfxx为与