《高等数学》电子课件（同济第六版）：第十二章 第5节 函数的幂级数展式的应用

1、2一、近似计算一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误差误差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.3常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1.10,5 使使其其误误差差不不超超

2、过过的的近近似似值值计计算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得4余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 5例例2 2.,9sin! 3sin03并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 00

3、0646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 .510 6二、计算定积分二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数7第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算dxxx 642!71!

4、 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数8三、求数项级数的和三、求数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4.21arctan12的和的和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 9181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan1

5、2 nn故故,1arctan1kksk 假设假设221arctan1arctankkksk ,1arctan kk102.2.阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级数法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)例例4 4.2121的和的和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 11 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(l

6、im1xsx , 3 . 32121 nnn故故12例例5 5.2!12的和的和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 1、一阶微分方程问题、一阶微分方程问题 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数即为定解问题在收

7、敛区间内的解. 设所求解为本质上是待定系数法nnxxa)(0四、微分方程解法四、微分方程解法: 例例1. 2yxy求方程解解:根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 52201xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、二阶齐次线性微分方程、二阶齐次线性微分方程 0)()( yxQyxPy定理定理. nnnxay0则在R x 4

8、 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 为常数n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ内都可在)1 , 1(求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann整理后得:0) 1

9、)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得勒让德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 10, aa可以任意取, 它们是方程的

10、两个线性无关特解. 21五、欧拉公式五、欧拉公式复数项级数复数项级数:)()()(nnivuivuivu2211.), 3 , 2 , 1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .22复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x绝对收敛绝对收敛)()()(nnivuivuivu221123的幂级

11、数展开式的幂级数展开式由由xenixixnixixe)(!)(!12112)!()(!()!()(!(121312121112322nxxxinxxnnnnxixsincosxcosxsin24xixeixsincosieexeexixixixix22sincosxixeixsincos又又 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyiyeexiyx25六、小结六、小结、近似计算,求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法求数项级数的和，欧拉公式的证明；求数项级数的和，欧拉公式的证明；26293512P习题习题)(),)(),(),)(142131242127一、一、 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值: : 1 1、3ln ( (精确到精确到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精确到精确到0001. 0).).二、二、 利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分 5 . 00arctandxxx ( (精确到精确到001. 0) )的近似值的近似值 . .三