《高等数学》电子课件（自编教材）：第十二章 第1节 微分方程的基本概念

1、1 微分方程引言微分方程引言 高等数学高等数学课程的教学内容到现在我们已经学习了哪些内课程的教学内容到现在我们已经学习了哪些内容？一元函数微积分、多元函数微积分、向量代数和空间解容？一元函数微积分、多元函数微积分、向量代数和空间解析几何以及无穷级数，下面我们将学习高等数学的最后一部析几何以及无穷级数，下面我们将学习高等数学的最后一部分内容分内容微分方程。微分方程。 第十二章 微分方程 通过前面的学习我们知道，微积分的研究对象是函数关系，通过前面的学习我们知道，微积分的研究对象是函数关系，利用微积分可以解决许多实际问题，但是，在现实生活及科学利用微积分可以解决许多实际问题，但是，在现实生活及科学

2、研究中，仍有大量的实际问题往往很难直接得到所研究变量的研究中，仍有大量的实际问题往往很难直接得到所研究变量的函数关系，却能比较容易建立起这些变量与他们的导数或微分函数关系，却能比较容易建立起这些变量与他们的导数或微分关系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，这就关系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，这就是微分方程。通过求解这种方程同样可以得到指定未知量的函是微分方程。通过求解这种方程同样可以得到指定未知量的函数关系。因此微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要数关系。因此微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各学科进行科学研究的强有力的工具途径和桥梁，是

3、各学科进行科学研究的强有力的工具2本章我们主要介绍微分方程基本概念、几种特殊一阶微分本章我们主要介绍微分方程基本概念、几种特殊一阶微分方程及二阶方程求解方法及简单的应用。方程及二阶方程求解方法及简单的应用。下面我们学习第一节内容：微分方程的基本概念。下面我们学习第一节内容：微分方程的基本概念。第一节 微分方程基本概念 在这节中，我们首先给出两个引例，然后给出微分方程在这节中，我们首先给出两个引例，然后给出微分方程的基本概念，重点是通过引例对微方程基本概念的理解。的基本概念，重点是通过引例对微方程基本概念的理解。3第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 引例引例1: 一平面曲线通过点

4、(1,2) 处,且该曲线上任意点P(x, y)处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxdyd2xdxy2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1 ,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得引例引例2. 列车在平直线路上以sm20的速度行驶,制动时获得加速度,4 . 02sma求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .已知4 . 022tdsd,00ts200ttdds由前一式两次积分,可得2122 . 0CtCts( 为任意常数 )21, CC利用后两式可得

5、,0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02问题: （1）能否求出制动后多少时间列车才能停住 ？ （2）制动后行驶了多少路程 . 54 . 022tdsd,00ts200ttdsd1、含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程微分方程 ,3、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶. .引例引例1引例引例2xxdyd221xy:几个基本概念几个基本概念,2xyy 如如0 ydxxdy。分分方方程程称称为为常常微微分分方方程程、只只有有一一个个自自变变量量的的微微2022 yyxyx)(二阶二阶04 xyyy)(三阶三阶64、若函数代入方程能使方程成为恒等式 , 则称此函

6、数为微分方程的解。解。（1）解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数特解的条件称为初始条件初始条件;Cxy22122 . 0CtCtstts202 . 02相同 , 这样的解称为微分方程的通解通解 ;5、用来确定4 . 022tdsd,00ts200ttdsd引例引例1引例引例2xxdyd221xy12 xy（2）不含任意常数的解称为特解。76、微分方程解的图形称为方程的积分曲线积分曲线 .) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy对 n 阶方程有n个初始条件,线族线族通解的图形就是积分曲通解的图形就是积分曲,的曲线的曲线线族中的一条确定线族中的一条确定特解的图形就是积

7、分曲特解的图形就是积分曲如例如例1中。中。xxdyd2微分方程微分方程通解通解Cxy2特解特解12 xy积分曲线族见黑板所示：积分曲线族见黑板所示：21xy初始条件初始条件8例例1. 验证函数是微分方程t kCt kCxsincos2122tdxd的解 , 并求满足初始条件,0Axttdxd的特解 . 解解: tdxdtkkCcos222tdxdt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解 .显然 是两个独立的任意常数 , 故它是方程的通解21,CC21,(CC为常数)tkkCsin1t kkCcos2102xk0t09例例1

8、. 验证函数是微分方程t kCt kCxsincos2122tdxd的解 , 并求满足初始条件,0Axttdxd的特解 . tkCtkCxsincos2121,(CC为常数)02xk0t0是方程的通解 .利用初始条件易得 ,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C10求该曲线满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为Q , 且线段PQ 被 y 轴平分,PQxyox解解: 如图所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxXxyyx即02xyy点 P(x,y) 处的法线方程为11微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结12练习与思考题练习与思考题解答：解答：,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.13132、二阶微分方程034 yyy试问下列函数xxececy321. 1是否是方程的解,是通解还是特解?解解: 分别将四个函数代