《高等数学》电子课件（自编教材）：第四章 第3节 第二类换元积分法VIP

1、1第三节 第二类换元法一、第二类换元公式一、第二类换元公式二、第二类换元举例二、第二类换元举例三、总结三、总结2问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果） 第二类换元法3其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单

2、调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 24第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,5例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t6例例2

3、 2 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 7例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 8说明说明(1)(1) 以上几

4、例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 9 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例4 4 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdtt

5、t 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解10例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx11说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解12例例7 7 求求解解

6、.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dtttt22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 13 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 14说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例8 8 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(

7、6235 dttt221615 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 16基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 17;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 189例例dxxxx52322dxxxx5

8、21222dxxxdxxxx521522222) 1(2) 1(152)52(2222xdxxxxxdcxxx21arctan21)52ln(21910例例xxdxsin22sin) 1(cossin2xxdx2cos2sin2413xxxd2cos2tan2tan412xxxd2tan2tan2tan1412xdxxCxx2tanln412tan81220总总 结结1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22x

9、xaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec第四节讲21(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6(xafx令xat 说明说明:被积函数含有22ax 时, 除采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式 ,所得结果一致 . taxch或22ax 或三角代换外, 还可利用公式22练习与思考题练习与思考题分子分母同除以1.解解: 令,sin1122txttxdcosd 原式ttdsin112tttandtan2112tttand)tan2(112Ct )tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222.d1)1 (122xxx,sintx ttttdcos)