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文档简介
1、习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分:(1),其中为圆周, ;(2),其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界;(3),其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;(4),其中为折线,这里、依次为点、;(5),其中为摆线的一拱,.2.有一段铁丝成半圆形,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量。解 曲线的参数方程为 依题意,所求质量习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分:(1),其中是抛物线上从点到点的一段弧;(2),其中为圆周(按逆时针方向绕行);(3),其中是从点到点的一段直线;(4),其中为有向闭折线,这里、依次为点、;
2、2.计算,其中是:(1)抛物线上从点到点的一段弧;(2)从点到点的直线段;(3)先沿直线从点到点,然后再沿直线到的折线;(4)曲线,上从点到点的一段弧。3.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中为:(1)在面内沿直线从点到点;(2)沿抛物线从点到点;(3)沿上半圆周从点到点.4.设为曲线,上相应于从变到的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。习题11-3 格林公式及其应用1. 利用曲线积分,求星形线,所围成的图形的面积。2.计算曲线积分,其中为圆周,的方向为逆时针方向。3. 证明曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值。.4.利用格林公式,计算下列曲线积分:(1),其中为三顶
3、点分别为、和的三角形正向边界;(2),其中是在圆周上由点到点 的一段弧。5.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求这样的一个:(1);(2)6.计算,其中为由点到点的曲线弧解 原积分与路径无关, 故原式 习题11-4 对面积的曲面积分1. 计算曲面积分,其中为抛物面在面上方的部分。2. 计算,其中是锥面被平面和所截得的部分。3.计算下列对面积的曲面积分:(1),其中为平面在第一卦限中的部分;(2),其中为球面上的部分;4.求抛物面壳的质量,此壳的面密度为.5.计算,其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。解 , ,在上,在面的投影为在上,在面的投影为 习题11-5 对坐标的曲面积分1
4、.计算下列对坐标的曲面积分:(1),其中为球面的下半部分的下侧:(2),其中为连续函数,是平面在第四卦限部分的上侧;2.把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分,其中(1)是平面在第一卦限的部分的上侧;(2)是抛物面在面上方的部分的上侧;3.计算,其中为球面在第一挂限部分曲面块的上侧,为正数。解 由对称性, 在面上的投影域为所以习题11-6 高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分:(1),其中为平面,所围成的立体的表面的外侧;(2),其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧;(3),其中为平面,所围成的立方体的全表面的外侧;2.计算曲面积分,其中是曲面的外侧.解 添加平面,取上侧,使构成封闭,应用
5、高斯公式地习题11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式,计算下列曲线积分:(1),其中为圆周,若从轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向;(2),其中为圆周,若从轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;(3),其中为圆周,若从轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;复习题十一1.计算下列曲线积分:(1),其中为圆周;(2),其中为摆线,上对应从到的一段弧;(3),其中为上半圆周,沿逆时针方向;2.计算下列曲面积分:(1),其中是界于平面及之间的圆柱面;(2),其中为锥面的外侧;(3),其中为半球面上侧;3.证明:在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数。4. 计算曲线积分,其中是边长为4,原点为中心的正方形边界,方向为逆时针方向。解法一 在内作一圆:,方向逆时针 由
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