《锐角三角函数》全章复习与巩固-- 巩固练习(提高带答案)

1、锐角三角函数全章复习与巩固-知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4通过锐角三角函数的学习，进一步认识函

2、数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在RtABC中，C=90°，如果锐角A确定： (1)sinA=，这个比叫做A的正弦. (2)cosA=，这个比叫做A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示A三个三角函数

3、值，书写时习惯上省略符号“”， 但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成sinBAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样，cosA、tanA也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是0°A90

4、6;，函数值的取值范围是0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如A+B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函数关系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30°、45°、60°角的三角函数值A30°45°60°sinAcosAtanA130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借

5、助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即A+B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模

6、型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1解直角三角形的常见类型及解法已知条

7、件解法步骤RtABC两边两直角边(a，b)由求A，B=90°A，斜边，一直角边(如c，a)由求A，B=90°A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90°A，锐角、对边(如A，a)B=90°A，斜边、锐角(如c，A)B=90°A，2用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要

8、求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解3锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：【典型例题】类型一、锐角三角函数1在RtABC中，C90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值是( ) A扩大2倍 B缩小2倍 C扩大4倍 D不变【答案】 D；【解析】根据知sinA的值与A的大小有关，与的比值有关当各边长度都扩大为原来的2倍时，其的比值不变故选D.【总

9、结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系举一反三：【变式1】已知，如图，中，求cosA及tanA【答案】易证点B、C、D、E四点共圆，ADEABC，cosA= tanA=变式2】如图所示，已知ABC是O的内接三角形，ABc，ACb，BCa，请你证明 1 2 【答案】 证明：O是ABC的外接圆，设圆的半径为R，连结AO并延长交O于点D，连结CD，则BDAD是O的直径，ACD90°即ADC为直角三角形，同理可证：，类型二、 特殊角三角函数值的计算2已知a3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于( ) A6 B7 C8 D9【答案】A；【解析】根据题意知 解

10、得 所以a3，b4，c5，即，其构成的三角形为直角三角形，且C90°，所以【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错举一反三：【变式】计算：60°【答案】原式= =类型三、 解直角三角形3如图所示，在等腰RtABC中，C90°，AC6，D是AC上一点，若，则AD的长为( )A2 B C D1【思路点拨】 如何用好是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直

11、角三角形中的边或角替代所要求的元素等【答案】 A；【解析】 作DEAB于点E因为ABC为等腰直角三角形，所以A45°，所以AEDE又设DEx，则AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4如图所示，直角ABC中，C90°，AB，sin B，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP， (1)

12、求AC，BC的长；(2)设PC的长为x，ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值【思路点拨】 (1)在RtABC中，由AB，sin B，易得AC2，再由勾股定理求BC(2)，只要把AD用x表示即可求出ADP的面积y，由PDAB可得，从而求出，则【答案与解析】 (1)在RtABC中，由，AC2，由勾股定理得BC4(2)PDAB，ABCDPC，PCx，则，当x2时，y有最大值，最大值是1【总结升华】 近几年，锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率越来越大如圆中的垂径定理，直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形在函数中，在直角坐标系中求点的坐标

13、，离不开求直角三角形两直角边的问题，相似三角形中可将有些元素进行转换或替代举一反三：【变式】如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，于点E，于F，求的值 【答案】如图，sin1= sin2= 由矩形ABCD知1=2，则 PE=PAsin1，PF=PDsin2,sin1=，所以PE+PF= PAsin1+ PDsin2=（PA+PD）sin1= 类型五、三角函数与实际问题5某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A处测得塔尖M的仰角为，塔座N的仰角为；乙在一楼B处只能望到塔尖M，测得仰角为(望不

14、到底座)，他们知道楼高AB20 m，通过查表得：0.572 3，0.2191，0.7489，请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN的值【答案与解析】 如图所示，设地平线BD、水平线AE分别交直线MN于D、E，显然AEBD，不妨设为m，则在RtAEM中，MEmtan，在RtAEN中，NEmtanMNm(tantan)在RtBDM中，MDmtan，而ABDEMDMEm(tantan)，将AB20(m)，0.5723，0.2191，0.7489代入得MN40(m)可测得铁塔的高度MN40m.【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.6如图所示，帆船A和帆船B在太湖湖面上训

15、练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点训练时要求A，B两船始终关于O点对称以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴，y轴的正方向分别表示正东、正北方向设A，B两船可近似看成在双曲线上运动湖面风平浪静，双帆远影优美训练中当教练船与A，B两船恰好在直线yx上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变，A，B，C三船可分别用A，B，C三点表示) (1)发现C船时，A，B，C三船所在位置的坐标分别为A(_，_)，B(_，_)和C(_，_)； (2)发现C船，三船立即停

16、止训练，并分别从A，O，B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A，B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3:4，问教练船是否最先赶到?请说明理由【思路点拨】 作ADx轴，在等腰直角三角形ADO中 结合点A在上，不难求出A点坐标，而B与A关于原点对称注意到ABC为等边三角形，连OC，作CHx轴解直角三角形，求出CH、OH的长，即可求出点C坐标在求点A、B、C坐标过程中，可求出AC、OC的长再根据两船速度比，分别用含字母的式子表示所用的时间，再比较大小【答案与解析】(1)A(2，2)；B(-2，-2)；C(，)(2)作ADx轴于D，连接AC，BC和OC如图所示 A的坐标为(2，2)，AOD45&

17、#176;，AO C在O的东南45°方向上， AOC45°+45°90° AOBO， ACBC又 BAC60° ABC为正三角形， ACBCAB2AO OCBC·cos30° 由条件设：教练船的速度为3m，A、B两船的速度均为4m则教练船所用的时间为：，A、B两船所用的时间均为 教练船不是最先赶到【总结升华】（1）一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可；（2）从问题本身的条件中不知道变量之间是什么函数关系，在这种情况下和列方程解实际问题一

18、样找出等量关系，把变量联系起来就得到函数的表达式.锐角三角函数全章复习与巩固-巩固练习（提高）一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°2cos 30°的结果是( ) A2 B C D12如图所示，ABC中，AC5，则ABC的面积是( )A B12 C14 D213如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到，则tan的值为( )A B C D 第2题图 第3题图 第4题图4如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得BAD30°，在C点测得BCD60°，又测得AC50米，那么小岛B到

19、公路的距离为( ) A25米 B米 C米 D米5如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( ) A10 cm B20 cm C30 cm D35 cm6如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( ) A15° B20° C30° D45° 第5题图 第6题图 第7题图7如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )A4 m B6 m Cm D8因为，所以；因为，所以，由此猜想，推理知：

20、一般地，当为锐角时有sin(180°+)-sin，由此可知：sin240°( ) A B C D二、填空题9如图，若AC、BD的延长线交于点E，则= ；= 10如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30°，则AD的长为 ；CD的长为 . 第9题图 第10题图 第11题图11如图所示，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则_12如果方程的两个根分别是RtABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为_ _13. 已知，则锐角的取值范围是_ _14. 在ABC中，AB8，ABC30°，AC

21、5，则BC_ _15. 如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC 的余弦值为 . 16. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)CDE的正切值为 . 第15题图 第16题图三、解答题17如图所示，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，BOE60°，cos C，BC (1)求A的度数；(2)求证：BC是O的切线；(3)求MD的长度 18. 如图所示，要在木里县

22、某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上 (1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：1.732) (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25，则原计划完成这项工程需要多少天? 19如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC

23、·CDPC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S 20. 如图所示，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy (1)求点D到BC的距离DH的长； (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点P，使PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 【答案与解析】一、

24、选择题1.【答案】C；【解析】tan 60°+2sin 45°2cos 30° 2.【答案】A；【解析】过A作ADBC于D，因为，所以B45°，所以ADBD，因为，所以， BDAD3，所以，所以BCBD+DC7，. 3.【答案】B；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得BB，然后将B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，B的对边为1，邻边为3，tan BtanB4.【答案】B；【解析】依题意知BCAC50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的垂线，即是BE的长，在RtBCE中，BEBC·sin 60°50×(米)

25、，因此选B5.【答案】D；【解析】如图，ABD是等腰直角三角形，过A点作ACBD于C，则ABC45°，ACBC，则所求深度为552035(cm)6.【答案】C；【解析】， 7【答案】D；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)，则地毯的总长至少为m8【答案】C；【解析】sin 240°sin(180°+60°)-sin 60°二、填空题9【答案】cosCEB=；tanCEB=【解析】如图，连结BC，则ACB=90°，易证ECDEBA， cosCEB= tanCEB= 第9题答案图 第10题答案图10【答案】5+10；

26、10+5.【解析】过B点分别作BEAD，BFCD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF. 在RtAEB中，A=30°，AB=10， AE=AB·cos30°=10×=5， BE=AB·sin30°=10×=5. 又在RtBFC中，C=30°，BC=20， BF=BC=×20=10， CF=BC·cos30°=20×=10. AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11【答案】；【解析】设AB边与直线的交点为E， ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则

27、E为AB的中点，在RtAED中，ADE，AD2AE设AEk，则AD2k， 12【答案】或； 【解析】由得x11，x23当1，3为直角边时，则tan A；当3为斜边时，则另一直角边为 13【答案】030°； 【解析】由题意知，故，即sinsin 30°，由正弦函数是增函数知030°14【答案】或；【解析】因ABC的形状不是唯一的，当ABC是锐角三角形时，如图所示，作AHBC于H，在RtABH中AHAB·sinABC8×sin30°4，BH，在RtAHC中，HC BC当ABC是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC15【答案】； 【解析】连接CA并延长到圆上一点D，CD为直径，COD=yOx=90°，直径为10的A经过点C（0，5）和点O（0，0），CD=10，CO=5，DO=，B=CDO，OBC的余弦值为CDO的余弦值，cosOBC=cosCDO= 16【答案】（1）BE=5；（2）tanCDE=【解析】（1）由题意得BFEDFE，DE=BE. 又在BDE中，DBE=45°， BDE=DBE=45°，即DEBC. 在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8， EC=(