《高等几何》复习大纲、样题及答案全

1、高等几何复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考试内容1.单比的定义和求法。2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。射影平面一、要求1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。4.理解线坐标、点方程的概念

2、和有关性质。5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核内容1.中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。2.笛萨格（Desargues）定理应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。3.齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。4.线坐标线坐标的计算及其应用。5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。射影变换与射影坐标一、要求1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。5

3、.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。二、考试内容1.交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。2.完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。3.一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。4.二维射影变换5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。6.射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。7.一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。变换群与几何学一、要求1.了解变换群的概念。2.理解几何学的群论观点。3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系

4、及其各自的研究对象。二、考试内容1.变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。二次曲线的射影理论一、要求1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4.了解二阶曲线的射影分类。二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。3.二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和

5、度量性质一、要求和考试内容1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。(一)一、填空题（每题2分，共10分）1、平行四边形的仿射对应图形为： ；2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为： ；3、直线上的无穷远点坐标为： ；4、设(AB,CD)= ，则点偶 调和分割点偶 ；5、两个射影点列成透视的充要条件是 ；二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。三、计算题（每题10分，共30分）1、 求仿射变换式使直线x2y10上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）2、 求射影变换的固定元素。3、叙述二次曲线的中心、直径，共

6、轭直径渐近线等概念，并举例说明。四、证明题（每题12分，共24分）1、叙述并证明布利安桑定理。2、设（AB、CD）=-1，O为CD的中点，则OC2=OA·OB（此题为有向线段） 参考答案一、填空题1、平行四边形2、3、（2，-3，0）4、 AC , BD5、保持公共元素不变二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。 对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。 对偶图形 就是自己三、计算题1解 设所求仿射变换为在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得 ， 由以上方程

7、联立解得：2 ，=2 ,=-1 , =- ,=-2 ,= 故所求的仿射变换为：解 由题设的射影变换式，得 把它们代入射影变换的固定方程组6.5公式(2), 即得 由此得特征方程为:=0, 即(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根） ,u=1 将u=1代入固定点方程组，即得固定点为（1，0，0） 将u=1代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线A2A3上的每一点都是固定点。把的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式（5），即得则特征方程为=0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。 将v=-1代入固定直线方程组，即得固定直线为（1，0，0）。 将v=1代入

8、固定直线方程组，得u1=0,即通过点（1，0，0）3、 见课本四、证明题1、见课本2、证明 这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）=-1，得=-1 即 AC·BD+AD·BC=0 （1）把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2） 由（2）去括号，移项，分解因子，得2（OA·OB+OC·OD）=（OA+OB） （OC+OD） 2（OA·OB- OC2）=（OA+OB）·0 OA·OB-OC2=0即 OC2

9、=OA·OB （二）一、 填空题（每小题4分，共20分）1、设(1)，(-1)，()为共线三点，则 1 。2、写出德萨格定理的对偶命题：如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=_2_。4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群5、 二次曲线的点坐标方程为，则其线坐标方程为是 二、 选择题（每小题2分，共10分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？( D )A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2. 表示

10、( C )A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( B )A.一次B.两次C.三次D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A )：A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为( B )A.4类B.5类C.6类D.8类三、判断题（每小题2分，共10分）1.仿射对应不一定保持二直

11、线的平行性。（ × ）2.两直线能把射影平面分成两个区域。（ ）3.当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相异的点。（× ）4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此射影变换一定是对合。（ ）5. 配极变换是一种非奇线性对应。（ ）四、作图题（8分）已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据）作法过程：1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分）2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）根据：完全四点形的调和共轭性

12、（2分）五、证明题（10分）如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。 在三点形BTS与三点形DQP中（4分）对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定理知，（2分）对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上六、计算题（42分）1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP) 解：设P点的坐标为（x0

13、，yo）（分割比）， （2分） 且P在直线x+3y-6=0上， 解得=1， （2分）即P是AB中点，且（ABP）=1 2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求（1）l的齐次坐标方程；（2）l上无穷远点的坐标；（3）l上无穷远点的方程。（1） （2分）（2）（1，1/2，0） （2分）（3） 3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？解：（i）由定义 =（P*P0，EP）=（2 0，3x）= （4分）(ii) 若有一点它的两种坐

14、标相等，即x=则有，即3x27x=0，当x=0及x=时两种坐标相等。4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。设射影变换的方程为： （2分）由题意知：a+, ,6a+3b+2c+d=0 得到：故射影变换方程为： （4分）二重元素满足： 得=7/3或=1 5. (6分)求由两个射影线束，所构成的二阶曲线的方程。解：由题意： （2分）由上式得： （2分）故所求方程即为6. (8分) 试求二次曲线：+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x310x2x3=0

15、，二次曲线为常态的，设中心 则中心为 （4分）求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x，Y=y。 从X2+3XY4Y2=0 （X+4Y）（XY）=0.X+4Y=(x)+4 (y+)=05x+20y+18=0， （2分）XY=(x)(y+)=05x5y8=0。 （三）一、填空题(每空2分，共20分)1.经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.2.共线三点的简比是_仿射_不变量.3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_仿射变换_.4.点坐标为(1，0，0)的方程是_u1=0_.5. =0代表点_(1，1，0)、(1，-1，0)_的方

16、程.6.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_-1_.7.对合由_两对不同的对应元素_唯一决定.8.二阶曲线就是_两个射影线束对应直线交点_的全体.9.证明公理体系的和谐性常用_模型_法.10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_分散_直线.二、计算题(每小题6分，共30分)1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。1.解：化为齐次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2= 无穷远点坐标为(2，1，0)2.求仿射变换的不变点.2.解：由 得 解此方程，得不变点为3. 求四点(2，1，-1)，(1，

17、-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，则(2，1，-1)+1(1,-1,1)相当于(1，0，0) 得 1=1又 (2，1，-1)+2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)得 2=-所求交比为 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-x3=0与x2-x3=0 (=)所决定的.4.解：= (1)将x1-x3=0, x2-x3=0中的，代入(1)得 得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程 5.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.5.解： 系数行列式 A31=, A

18、32=, A33=-,因此中心坐标 =-,=- .由 2X2+XY-3Y2=0，即 (2X+3Y)(X-Y)=0.得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)将 X=x+ Y=y+ 代入(1)得 2x+3y+1=0 x-y=0即为所求的渐近线方程三、作图题(每小题6分，共18分)1.给定点A、B，作出点C，使(ABC)=4. 作法： (ABC)=， ,即 =3 .在AB延长线上，作点C，使BC=AB2.过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：2.作法：(利用代沙格定理)：任取线束S，设束中两条直线交a于A，C，交b于A，C；连直线PC，PC分别交线束S的第三条直线于B，B；

19、直线BA和BA的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.注：1°文字，2°也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.3.如图，求作点P关于二次曲线的极线 作法：3.作法：过P点任引两直线，使与分别交于A、B及C、D，设Q=AC×BD，R=AD×BC，那么直线QR即为所求的极线.四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明：

20、1.证明：在ABC及PQR中，AP、BQ、CR共点S.对应边的交点C1=AB×PQ， B1=CA×RP, A1=BC×RQ三点共线2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l，证明ll. 证明：2.证明：已知F为焦点，l，l为由F所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.从而 (FI，FJ，l，l)=-1，所以 ll3.将ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。证明(按以下程序作业)：第一步：将ABC仿射变换为等边ABC(图乙)，为什么这样变换存在?第二步：在图乙中，画

21、出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?3.第一步，任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形.第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.第三步：由A作BC边上的高线AS，ABC是正三角形，由对称性可知K，N在AS上.同理J、M与PL也分别在过点B、C所作的高线上，因为ABC的三高线共点，所以六边形JKLMNP的三对顶点的连线共点.正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是

22、仿射不变性，所以原命题也成立. （四）1、 填空题（2分12=24分）2、 1、平行四边形的仿射对应图形为： 平行四边形 ；2、直线上无穷远点坐标为： （5，-1，0） 3、已知,则 3 -2 4、过点A(1, ,2)的实直线的齐次方程为： 5、方程表示的图形坐标 （1,2,0） （1,3,0） 6、已知轴上的射影变换式为，则原点的对应点 -7、求点关于二阶曲线的极线方程8、为平行四边形，过引与对角线平行，则= -1 9、一点列到自身的两射影变换a）：，； b）：， 其中为对合的是： b 10、求射影变换的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件是 底的交点自对应 12、直线上的三点，的单比= 1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：与 且 。 解：射影对应式为。由两线束的方程有：。将它们代入射影对应式并化简得，此即为所求二阶曲线的方程。三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。证明：三点形ABC和三点形内接于二次曲线（C），设 AB=D