线性代数应该这样学

1、线性代数应该这样学陈建华 （扬州大学 数学科学学院 江苏 扬州 225002）摘要本文从线性代数的教学内容组织、重点难点分析、常见错误剖析等方面探讨应该怎样学习线性代数关键词线性代数 基本概念 基本计算 常见错误中图分类号 O151.2 G642.0文献标识码A“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了”然而，对于该课程的学习，初学者总会感到“概念多，且许多概念看书整不明白”、“从课本上，许多解题步骤不能理解”、“线性代数的知识点衔接很紧密，知识间的联系不好掌握”、“考试时，经常算错”那么,如何学习线性代数课程呢?本文谈一些看法，供读者参考文章标题大胆地借用美的著作的书名,但

2、从内容到思想完全无关，只是吸引读者来读完下面的文字.一、 弄清课程的内容和结构线性代数课程所讨论的核心问题是线性方程组的求解、矩阵可对角化判定和二次型的化简针对要解决的问题，自考教材1从知识准备的角度首先介绍行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程的基础内容，循着知识发展的轨迹，再逐一介绍线性代数课程三大问题，从而形成基础知识+问题解决+应用的结构框架（如下图）基础篇（矩阵代数）问题篇（核心问题）应用矩 阵线性方程组求解问题行列式矩阵对角化判定问题向 量二次型化标准形问题知识模块顺序及关系图学习该课程的过程中，要时刻关注这三个课程核心问题，思考在解决这三个问题的过程中引进了哪些基本概念，形成了哪些

3、基本理论，得到了哪些重要结论，用到的工具和方法又有哪些掌握了从问题的提出、展开到解决的过程，就能抓住课程的“纲”，就能学得主动，做到既知树木，又见森林3行列式和矩阵是解决线性代数问题的工具，它是带有浓厚的代数和计算色彩的理论，是线性代数课程的基础和重点4了解行列式的定义和性质，掌握简单行列式的计算方法；理解矩阵、可逆矩阵、初等矩阵和矩阵的秩的概念，掌握矩阵的运算、矩阵秩的求法，能用矩阵的初等变换求矩阵的等价标准形是学习这部分内容的基本要求向量的线性相关性理论是线性代数的蕴涵几何意味的一种理论一个线性方程、矩阵的一行（列）都可以看作一个向量线性方程组的各个方程、矩阵的行（列）之间的诸多关系实质上

4、就是向量之间的线性关系分析这种关系对于剖析线性方程组解的结构，矩阵的行（列）的线性结构，具有关键的意义4当然，这部分内容的概念较多，推理逻辑性较强、较抽象，比较难学，但它是线性代数理论的基础和精髓，通过它的学习可以培养我们的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学素养理解向量、向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组及向量组的秩的概念，能够判断向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性证明的基本方法，会求向量组的秩、极大线性无关组并用所求的极大线性无关组表示其余向量是学习这部分内容的基本要求线性方程组求解是线性代数的基本问题之一和发展的源泉，有极其广泛的应用线性方程组可以用它的系数矩阵和增广矩阵来表

5、示线性方程组的解的存在性和解的结构集中反映在这两个矩阵上，线性方程组有解的充分必要条件是，等价于可以由的列向量组线性表示矩阵的秩是刻画其行（列）的线性相关性和众多子式的特征的一个最重要的数量指标，是线性代数课程中最深刻的概念之一能够借助于矩阵的秩和简化行阶梯形矩阵求齐次线性方程组的基础解系，求非齐次线性方程组的通解是课程大纲提出要达到“综合应用”最高要求标准的内容矩阵（线性变换）的特征值和特征向量是线性代数中有着广泛应用的一部分内容，也是数值代数讨论的一个主题，其几何背景是平面或空间上的变换在一组基下的矩阵以及在不同基下矩阵的关系特征值和特征向量的概念、性质和计算是线性代数课程的基本概念和基本

6、计算，也是考核的一个重点矩阵的相似对角化问题是线性代数的三大问题之一，在向量空间中引进内积概念后，矩阵（特别是实对称矩阵）的正交相似对角化方法是重要且特别实用的方法这部分内容是本课程综合性最强的一部分内容，容易出现较灵活的考题实二次型是定义在实向量空间上的系数是实数的二次齐次函数，化实二次型为标准形并判定其正定性，是线性代数课程的又一有广泛应用背景的课题从几何上看，平面上有心二次曲线，空间的有心二次曲面的标准方程即为对应二次型的标准形掌握配方法和正交相似变换法化实二次型为标准形并判定其正定性，是线性代数课程中学习这部分内容的基本要求12二、 知晓课程的重点和难点要学好线性代数，首先必须注重它的

7、基本概念，掌握基本计算，这是基础其次，还必须在各个部分知识的内在联系上下工夫，提高分析、综合能力第三，对定理的条件、结论，概念的理解要清晰，要注意推理论证时逻辑的正确性具体地：1.注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算（1）基本概念注重对基本概念的理解与把握线性代数的概念很多，重要的有： 行列式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合（线性表出），线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换等学习

8、线性代数的抽象概念，需要我们逐字逐句慢读定义，结合课本及具体例子仔细琢磨，反复体会，弄清定义中的关键词语的作用如线性相关定义中的“不全为零”，特征向量定义中的“非零向量”，正交矩阵定义的前提是“实数方阵”，正定矩阵定义的前提是“实对称矩阵”等线性代数的许多概念源自于解析几何，学习时，尽可能借助几何直观来理解抽象概念如线性相关概念可借助于向量的平行、共面理解子空间的几何背景是“过原点的平面”，二次型的几何背景是平面二次曲线或空间二次曲面等我们不仅要准确把握住概念的内涵，还要注意相关概念之间的区别与联系7如，矩阵的等价、相似、合同三个概念都是用来研究矩阵之间的关系的它们的定义分别是：设都为矩阵，若

9、存在可逆矩阵，使，则称是等价的，记为设都为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称是相似的，记为设都为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称是合同的，记为关于这三个概念的理解，由定义可见：（a）矩阵的等价关系存在于同型矩阵中矩阵的相似、合同关系存在于同阶方阵中特别地，我们常对于对称矩阵研究合同关系（b）等价的矩阵不一定相似或合同，但相似或合同的矩阵一定等价（c）相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵不一定相似反例：由于即，但它们不合同，因为与对角阵合同的必是对称阵，而不是对称阵又如：所以与合同但它们不相似这是因为相似的矩阵特征值必相同，而这里的两个矩阵的特征值不同（d）如果存在正交矩阵，使，则既相似又合同这是因为

10、对于正交矩阵，有从而此时由可得，反之亦然(e) 设是实对称矩阵，若，则事实上，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使，要实现这一点，关键是二次型的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似，则A与B有相同的特征值，从而它们的正、负惯性指数相同，所以它们合同反过来，正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同因此对于实对称矩阵，相似仅为合同的充分条件 二次型矩阵的几何背景是解析几何中的有心二次曲线或二次曲面（中心在坐标原点时，方程中不含一次项）此时，曲线的方程的一般形式是，为了判别曲线的类型，可以旋转坐标系，使曲线在新坐标系下的方程不含的交叉乘积项，而只含的平方项这个过程就是用正交替换化二次型为标准形的

11、过程正交替换不改变图形的形状，且原二次型的矩阵的特征值此时就是标准形中的平方项的系数因此，可以根据特征值的正、负及其大小，来确定曲线的类型平面曲线是等号左边的二次型的矩阵的特征值，经正交替换化为标准形从而曲线方程化为=1，即，这是两个半轴长分别为 （即）的椭圆对应于特征值2，8的特征向量分别是所作正交替换的矩阵的列向量：，值得注意的是原坐标系顺时针旋转了，此时两个新坐标轴的方向与特征向量的方向一致对于三元的二次型也可作类似的理解（2）基本计算熟练运用基本方法进行运算线性代数中运算法则多，应整理清楚，熟练运用基本方法进行运算重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的

12、幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式，基础解系法），判断与求相似对角形矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）等 行列式的重点是计算，利用性质熟练准确地计算出行列式的值余子式和代数余子式是线性代数课程的重要概念，利用行列式按行（列）展开定理计算行列式是基本方法与基本运算比如：计算行列式的值可以用性质化为上三角形行列式，可以按第三行用展开定理计算等，方法多样灵活一点理解展开定理，本题可以改编为求中元素的代数余子式之和，或求余子式之和.这需要我们深刻领会的涵义，才能顺利

13、，快速解题矩阵中运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果矩阵的求逆（包括简单的分块阵，或抽象，或具体）或用定义，或是用公式，或用初等行变换，A和的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一初等变换在线性代数中具有重要地位，初等变换方法几乎贯穿全程，计算行列式、求矩阵的秩和矩阵的逆、解线性方程组，讨论线性相关性等等，都要用到它，运用该方法要注意培养运算能力，认真细心是非常必要的如用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法如：设向量组，采用“竖排行变换”方法，化矩

14、阵为简化行阶梯形矩阵“一石三鸟”求向量组的秩，极大线性无关组，并用这个极大线性无关组表示其余向量在中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该做到概念清楚，计算熟练特别要高度重视施密特（）正交化方法标准正交基是解析几何中直角坐标系的代数抽象和推广从线性无关，到两两正交，再到标准正交，作为生成子空间相等：是该方法的重要特征关于特征值、特征向量首先要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程及即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用其次是有关相似矩阵和相似对角化的

15、问题，一般矩阵相似对角化的条件（充要条件，充分条件）实对称矩阵的特征值、特征向量性质，相似对角化及正交变换相似于对角阵方法反过来，可由A的特征值，特征向量来确定A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出A第三是相似对角化后的应用，如计算行列式，方幂及模型应用等 将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是同一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数

16、值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件别指望读数学书能象读小说一样，要是你不到一小时就读完一页的话，那就可能读得太快当遇到“你应该验证”这样的话时，你的确需要自己动笔来验证一下，教材中有些证明步骤被省略了，你要将其补充完整对每个定义都要仔细琢磨，用心体会对每一个定理都要试着举例说明为什么定理中的假设都是必要的9建议在学习过程中写出自己的感受，可以在书上以题注的形式或者就是做笔记，尽量深挖例题内涵，这一点很重要如，当阶矩阵可以相似对角化，用分块矩阵处理可知有

17、个线性无关的特征向量，就是由的线性无关的特征向量所构成再由特征向量与基础解系间的联系可知，此时若是的重特征值，则齐次方程组的基础解系由个解向量组成，进而可知秩如果不能相似对角化，则的特征值必有重根，且有特征值使秩若是实对称矩阵，则因必能相似对角化，从而知对每个特征值必有，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化，其中的道理需要我们仔细揣摩（3）基础证明注重推理证明的逻辑性与叙述表述线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力复习整理时，我们应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意

18、语言的叙述表达应准确、简明线性代数中常见的证明题型有：证；证向量组的线性相关性，亦可引伸为证是齐次方程组的基础解系；证矩阵可逆，证关于矩阵秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即能否由线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性等关于矩阵可逆的证明，基本思想是“和化积”如：设都是可逆矩阵，证明：可逆，并求逆矩阵.只要将矩阵的加减运算转化为乘积，就可以方便地得到结论：所以，另一种“和化积”的意思是构造比如：设方阵满足，证明可逆，并求逆矩阵.这里是将转化为，从而.关于向量，证明

19、（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表示等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一这类题的基本形式是“设线性无关，证明线性无关”我们可以利用线性无关的定义证明，还可以利用分块矩阵运算证明，即故线性无关（相关）秩可逆（不可逆，即）这里方法二迅速、简洁该题有如下变形或引伸：（a）设线性无关，判断的线性相关性（b）设是的一个基础解系，证明也是基础解系对于正定二次型与正定矩阵判别法，复习时请记住下列等价条件：n元实二次型为正定二次型；Û

20、;为正定矩阵Û的标准形平方项的个数为，且系数全大于零；Û的正惯性指数；Û与单位矩阵合同；Û的特征值全大于零；Û的顺序主子式全大于零无论是计算或证明，一定可以从其中一个条件找到突破口2注重知识点的衔接与转换，编织知识成网，努力提高综合分析能力 线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点，那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、

21、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性. 如向量的线性相关性理论是代数课程中的蕴涵几何意味的理论，作为线性代数的理论基础和精髓，通过它的教学，对培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，促进学生的数学养成是有益的8只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易. 以可逆矩阵为例，可逆矩阵是矩阵集合中十分重要的一类，在矩阵理论和矩阵运算中起“桥梁”作用阶矩阵可逆的常用的充分必要条件有：阶矩阵可逆 存在矩阵，使得（定义）；行列式（即非奇异矩阵）；存在矩阵，使得或； 矩阵的伴随矩阵可逆； 存在可逆矩阵，使得； 秩； 矩阵的列（行）向量组线性无关； 存在初

22、等矩阵，使得； 矩阵，； 矩阵的特征值全不为零； 线性方程组只有零解； 线性方程组总有唯一解； 的列（行）向量组是的一个基； 可以是某两个基之间的过渡矩阵； 这种相互之间的联系为综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸8 利用上述等价命题，证明阶矩阵可逆的常用方法有（a）用定义，只需要找阶矩阵，使得或对于判断抽象矩阵的可逆,常常采用该方法(b) 行列式，或秩，或矩阵的列（行）向量组线性无关(c) 线性方程组只有零解，或线性方程组总有唯一解(d) 零不为矩阵的特征值(e)证明矩阵是正定矩阵又如，对于阶行列式我们知

23、道：若，则必有非零解，而没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当时，可用克莱姆法则求的惟一解；可用证明矩阵是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变同学们复习整理时要注重串联、衔接与转换学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了请考虑下面的问题： 设为何值时，？线性方程组有非零解？线性方程组有无穷多组解？线性方程组无解？线性方程组有两个不等的解？线性相关？秩？秩

24、？零是矩阵的一个特征值？矩阵是半正定矩阵？（答案是一个，但蕴涵的知识点、知识点个数不同，对学生的能力要求也不同）三、观过知仁，反思解题错误线性代数学习过程中必然会犯错误，出现错误，通常回以为是粗心造成的美国学者莫瑞指出“现代研究表明，许多被认为是由于不小心造成的错误，事实上都是由于系统性的错误应用或错误推广所导致的”现代认知科学中，人们把“程序性错误”与疏忽造成的错误明确加以区分所以，我们要认真的对待自己学习和解题中产生的错误，反思形成错误的原因，防止基于错误的认知心理形成错误的认知结构下面举例说明线性代数学习中常见的错误1. 概念不清导致的错误如果没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念

25、之间的区别与联系，容易导致做题时出现错误例如，已知，求错解一：矩阵各元素的代数余子式为，且，故错解二：构造矩阵，并作如下初等变换：故方法一有两个错误，第一，没有注意代数余子式的符号，从而均相差一个符号，正确的是第二，将写成了方法二的错误是没有注意到用求时，只能进行初等行变换，在第二步做了初等列变换实际上，关于二阶矩阵求伴随矩阵，记住口诀“主对调，副相反”即可得，求逆永远不会错矩阵等价与向量组等价也是容易弄错的一组概念矩阵与等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩与秩是否相等，而向量组与等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不

26、能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组与等价，可知矩阵与等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价矩阵运算过程中经常出现，等错误2. 性质不熟导致的错误对每个定理、性质或公式应理解它的条件和结论，并通过例题来掌握它们的用法，特别要分清充分必要条件，充分条件和必要条件，以免盲目使用产生错误如，利用性质计算行列式将第1，2行均乘以（-1）加到第3行，并同时把第1，3行均乘以（-1）加到第2行得到产生错误的原因是没有在完成上一步的基础上再做下一步对于线性方程组与导出方程组的解的关系上，由于定理理解不深刻，经常会有“若有非零解，则有无穷多组解”错误结论出现关于矩阵

27、的秩，我们有 “设是m阶矩阵，且，则” 对于该命题，曾经出现过下列错误证法：若或，那么结论显然成立若均不为零，那么由，则有或，于是或，即有证明的错误在于由得不出这个错误不难被发现，因为由必有另外一处错误，若均不为零，那么由，则有且，而不是或事实上，若，则与矛盾该命题可用分块矩阵可知的列向量都是齐次方程组的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有，从而3. 法则混淆导致的错误将矩阵运算与数的运算混淆是线性代数学习中常见的错误主要有以下几类错误：（1）关于实数，若，则或而若，则或是常犯的错误造成该错误的原因是忽略了矩阵乘法运算存在零因子这个错误有很多表现形式，例如（）若， 且，

28、则；（）若，即，则或；（）若，且，则；（）若，即，则或（2）关于实数，但是常犯的错误矩阵乘法不满足交换律这个错误表现形式有：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）若可逆，则等（3）一般地，设是阶矩阵，则注意是常犯的错误(4) 关于分块矩阵运算，设是方阵，也是常犯的错误解题是培养数学思维能力的一个重要环节，是一种训练手段反思是重要的思维活动，它是思维活动的核心和动力（弗赖登塔尔）.解题后思考是否有疏漏和错误的地方，答案是否与题中隐含条件相抵触，是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题目本身是否有误等，对数学学习是大有裨益的找出导致错

29、误的原因，扫除或纠正思维中的盲点和错误，能够让自己从错误中悟理，借以发展思维能力，提高分析能力 四、巧言令色，跟踪命题趋势考试是教学评价的重要手段学生要在考试中充分展示自己的学习情况，复习过程中应该分析考试大纲，考量近几年试题知识点选取、题型配置、难易比例、能力要求等情况，跟踪命题趋势根据2008和2009两年自学考试高等教育自学考试线性代数试卷分析可以得到4次考试中涉及到的知识点为：解求由阶行列式确定的方程；矩阵的行列式；代数余子式；伴随矩阵；矩阵运算；逆矩阵；矩阵的幂；解矩阵方程；初等变换与初等矩阵；求矩阵的秩；向量的线性表示；线性相关判断；线性无关判断；求向量的极大无关组；利用解的性质求

30、解线性方程组；线性方程组解的讨论；利用初等行变换解线性方程组；求特征值和特征向量；对称矩阵；相似矩阵；合同矩阵；正交向量；正交阵与正交变换；实二次型；正定矩阵等根据出现频次统计，试卷中出现较多的知识点主要集中在教材中的以下章节：1.3矩阵的运算；1.5行列式；1.6逆矩阵； 2.2向量组的线性相关性；2.3向量组的秩；3.3齐次线性方程组解；3.4非齐次线性方程组；4.1特征值与特征向量；4.2相似矩阵与矩阵的对角化；4.4实对称矩阵的对角化；52化二次型为标准形；5.3 正定二次型与正定矩阵综合分析四套试题，我们以为线性代数复习中努力做到以下几点：归纳整理重点章节，记忆常用结论特别注意逆矩阵

31、、正交阵、相似矩阵、对称矩阵、合同矩阵和正定矩阵的概念、判定和性质掌握线性相关和线性无关的定义、判定掌握线性方程组解的判定记忆一些常用结论，比如：n个n维向量线性相关（无关）当且仅当奇数阶反对称矩阵的行列式为零；反对称矩阵的特征值之和为零；反对称矩阵有特征值等于零设是n阶矩阵，则分别是对称和反对称矩阵矩阵的秩是用中非零子式的最高阶数来定义的，若，则中阶子式全为0设是n阶矩阵，的每行元素之和为，则是的一个特征值，是对应的一个特征向量；若可逆，则的每行元素之和为求矩阵的特征值，可以通过计算行列式，若是的特征值，则行列式实对称矩阵的特征值为实数；属于不同特征值的特征向量正交；实对称矩阵可对角化二次型的正定性当且仅当顺序主子式全大于零* O/ L. l/ 1 l5 Y, o2 x; 将知识分块理解，掌握核心方法第二章和第三章的计算可以矩阵的初等变换为工具，解决求已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的秩，判断向量的线性相关与无关，进行线性方程组解的讨论，解线性方程组等问题以行列式和矩阵的运算为工具，解决第四章和第五章其他有关计算问题，如求特征值和特征向量