《连续体力学》习题及解答8

1、8 粘性物质(一) 概念、理论和公式提要 粘性是指物质的力学行为与时间相关的属性。这种属性表现在(1)物质的响应与干扰施加的快慢有关，即应变率相关性，(2)物质的响应与干扰的持续时间有关(后效)。8-1 粘性流体 流体区别于固体的主要特征有二：(1)流体是可流动的物质，只在静水应力(或称为各向同性应力，记作)状态下才能维持平衡；(2)流体可在没干扰的情况下随容器改变自己的形状，只要体积不变，无论形状如何变化，流体的力学状态不变。因此流体的应力状态与没有直接关系。但是=当体积不变时，亦不变；所以可以认为，、是通过与应力相关，从而对于流体常用代替应变作为基本状态变量。 (1) 线性粘性流体 剪应力

2、与变形率成线性关系的流体称为线性流体，或称为Newton流体。Newton流体是常见流体的最好近似。Newton流体的本构方程可写作 (8-1-1)是反映流体性质的四阶张量。当流体处于静止状态，；于是式(8-1-1)变为 (8-1-2)这是流体静力学的本构方程。由此可见，流动流体的应力(式8-1-1)可分为两部分，(a)各向同性应力，这是准保守应力，可逆的应力，即；(b)与变形率相关的应力，称为粘性应力，是总应力中的耗散部分，即。为明确计，将。于是式(8-1-1) 可写成 (8-1-3) (8-1-4) 式(8-1-3)应满足客观性原理；其中都客观的Euler型张量，于是必须是各向同

3、性四阶张量，即有式中的函数。将上式代入式(8-1-3)，得到 (8-1-5)称为粘性系数。上式是各向同性张量函数，所以线性粘性流体必定是各向同性的，毋需引入“流体是各向同性”的假设。 将，式(8-1-5)又可写成 (8-1-6)其中 (8-1-7)式中分别表征畸变和体胀的粘性效应。由式(8-1-6)可求出运动中流体的平均应力为 (8-1-8) 当时，得到Navier-Stocks流体的本构方程 (8-1-9) (8-1-10) 当时，流体中的应力状态是各向同性的，本构方程变为 (8-1-11)这时常常假设，即认为流体中平均应力等于静水压力，称为Stocks假设。 当流体不可压缩时，为常数，但存

4、在不确定应力，将它并入静水压力，得到 (8-1-12)式中是不定值，。当，即流体是非粘性的，式(8-1-5)简化为 (8-1-13)即非粘性流体中的应力，无论是在运动中或是静止，总是静流体应力。如果非粘性流体又是不可压缩的，则式(8-1-12)简化为 (8-1-14)为不确定值。 (2) 非线性粘性流体 非线性粘性流体常称为非Newton流体，设将此类流体对应于粘性应力的本构方程写作 (8-1-15)式中不是客观量，但本构方程应是客观的，因此式(8-1-15)应改为客观性原理要求响应函数满足下式 (8-1-16)式中是任意的正常正交张量，于是上式又是响应函数为各向同性函数的条件。由此可见，如果

5、假定流体的应力只与速度梯度、密度和温度有关，则客观性原理必然导致流体是各向同性的，毋需引入各向同性的假设。 已经证明，对称张量函数为各向同性函数的充要条件是 (8-1-17)或者 (8-1-18)式中的不变量及的函数。 对于不可压缩流体，的不变量为 (8-1-19)则的球张量(或称的各向同性应力)为 (8-1-20)这部分应力在可实现变形运动上的功率为零(因流体不可压缩)，因此可以作为准保守应力并入之中成为非确定应力的一部分。于是剩下的粘性应力成为偏张量，为此不失一般性，可令这相当于在应力中已扣去了平均应力；于是代入式(8-1-17)和(8-1-18)，分别得到的偏张量及为 (8-1-21)

6、(8-1-22)式(8-1-22)是将分解为球张量和偏张量之和。对应于上列本构方程的流体称为Reiner-Rivlin流体；式中的函数。 将展开成级数 (8-1-23) (8-1-24)系数的幂次。按所需精度将级数截断，就可得到式(8-1-21)不同次数的近似式。例 (8-1-25) (8-2-26) (8-2-27)式(8-1-25)是粘度的不可压缩Newton流体的本构方程。 如果将不可压缩Newton流体的本构方程的不变量的函数，于是得到如下的本构方程 (8-1-28)这便是准线性粘性流体的本构方程。显然，在式(8-1-21)中令，也得到式(8-1-28)。 对于流体，比内能不变时(等容

7、)，有 (8-1-29)为等容比热。于是热力学第一定律可写成 (8-1-30)8-2 粘性流体的耗散函数 此处假定内禀耗散和热耗散不耦合，且记为内禀耗散，则粘性流体的热力学第二定律可归结为 (8-2-1) (1) Newton流体 (8-2-2)考虑到 (8-2-3)于是又可写成 (8-2-4)上式对任意的都成立，因此要求 (8-2-5) 不可压缩Neuton流体 (8-2-6) Navier-Stocks流体，。 (8-2-7) (2) 非Newton流体 (8-2-8)上式表明，必须满足上列不等式。 不可压缩非Newton流体 (8-2-9)函数应满足上式。 (3) 热耗散 热力学第二定律

8、的分离形式要求 (8-2-10)对于实用的目的，设 (8-2-11)是足够的；而对于导热能力有限的物质，有为线性关系时，设 (8-2-12)于是式(8-2-10)变为 (8-2-13)当，上式恒大于零。所以要满足热力学第二定律(式8-2-10)，必须是对称正定张量。 对于各向同性物质，式(8-2-12)和(8-2-13)分别简化为 (8-2-14) (8-2-15)式中为物质的导热率，它可以是状态变量的函数，但一般假定为常数。式(8-2-14)称为Fourier定律，为了满足不等式(8-2-15)，要求8-3 粘弹性物质 在恒应力作用下应变随时间而增长的现象称为蠕变；在恒应变作用下应力随时间而

9、减小的现象称为松驰。与弹性物质相比较，弹性物质的弹性模量和弹性柔量都是常数，粘弹性物质的松驰模量是时间的函数。一般地说是时间的递减函数，是时间的递增函数。 设对试样施加干扰；另方面，设对试样施加干扰，响应记为；此处为阶跃函数。 在恒应力作用下，应变随时间的变化曲线称为蠕变曲线，如果蠕变曲线在任意时刻的应变值施加的恒应力成正比，则称该物质是线性粘弹性的。在常温下当应力水平不太高时，物质的行为可以用线性粘弹性模型来模拟。但当应力水平高时，则需采用非线性粘弹性模型。8-4 线性粘弹性本构方程的微分算子表述 (1) 比拟模型 由机械元件组合成的系统称为比拟模型，它代表一个材料单元体：弹性元件(弹簧)，

10、本构方程为；粘性元件(粘壶)，本构方程为为粘性常数；角标分别表示弹性和粘性，另外还有塑性元件(见下章)。施加于模型上的力为应力，模型的变形则表示应变。图8-1 Maxwell模型(图8-1a) Maxwell模型由一个弹性元件和一个粘性元件串联而成，其本构方程为 (8-4-1) 设，上式的解为 (8-4-2)上式表明，Maxwell模型的蠕变(柔量)曲线为一直线(图8-1，b)；当大，所以Maxwell模型不能用来模拟粘弹性固体。 设(8-4-2)的解为(初始条件) (8-4-3)其图形(即Maxwell模型的松驰曲线)如图(8-1,c)所示。图8-2 Kelvin模型(图8-2,a)Kelv

11、in模型又称为Voigt模型，它由一个弹性元件和一个粘性元件并联而成，其本构方程为 (8-4-4) 设，可得蠕变曲线(初始条件) (8-4-5) 设，由式(8-4-4)可得解 (8-4-6)为Dirac函数。，当，所以。这表明Kelvin模型的松驰函数无界，它不能用来模拟应力松驰。图8-3 四元模型(图8-2,a)。这个模型的本构方程为 (8-4-7)四元模型的蠕变柔量可直接由式(8-4-2)和(8-4-5)相加得到 (8-4-8)蠕变曲线如图(8-3,b)所示。 (2) 线性粘弹性本构方程的微分算子表述 为了更好地模拟线性粘弹性物质的行为，宜于增加模型的元件，其结果将是增加本构方程中的项数及

12、的时间导数的阶数；于是提出了这类物质的本构方程的微分算子表述 (8-4-9)式中 (8-4-10)为物质的特性系数，它们可以是时间的函数。对于无老化物质，则与时间无关。前节所介绍的三种比拟模型是式(8-4-9)的特殊情况。例如，对于四元模型，。 设有函数则有如下的Laplace变换关系 (8-4-11)式中及其各阶时间导数变换为，其中是参数；于是可以将关于时间的微分方程转变为代数多项式。例如：将式(8-4-9)Laplace变换后，得到 (8-4-12)或者写为 (8-4-13)此处及以下均将。例如Kilvin模型和Maxwell模型经Laplace变换后的本构方程分别为 (8-4-14) (

13、8-4-15)式中。于是易于得到个Maxwell模型并联(图8-4,a)和个Kelvin模型串联(图8-4,b)经Laplace变换后的本构方程分别为图8-4(图8-4,a) (8-4-16)    (图8-4,b) (8-4-17)式中下标Maxwell模型或第个Kelivn模型的参数。 (3) 线性粘弹性本构方程的对应原理 线性粘弹性本构方程和线性弹性本构方程有如下的对应关系 (8-4-18) (8-4-19)式中都是线性算子，其中对应，对应。 线性弹性本构方程又可写成 (8-4-20) (8-4-21)对应的线性粘弹性本构方程为 (8-4-22)式

14、中为下列线性算子 (8-4-23)于是式(8-4-22)最后应写成 (8-4-24)类似地下列本构方程相互对应 (8-4-25)8-5 线性粘弹性本构方程的积分表述 (1) Boltzman叠加原理 设在时刻分别施加应力，则当物质无老化时，时刻的应变为 (8-5-1)此即线性粘弹性力学的Bolfzman叠加原理。 如果应力史是连续曲线，式(8-5-1)变为 (8-5-2)称为核心函数或物质的特征函数，此处是物质的蠕变柔量。上式称为粘弹性力学的Voltera遗传积分。 设，上式变为 (8-5-3) 当则有 (8-5-4)设函数定义为则定义的卷积分如下 (8-5-5)则式(8-5-4)可写成卷积分

15、 (8-5-6)上式的Laplace变换为 (8-5-7) 类似地有 (8-5-8)为应力松驰模量。当，则有 (8-5-9) (8-5-10)由式(8-5-7)和(8-5-10)可得 (8-5-11)对于线性弹性物质，则有。 以上结果可推广到一般应力状态 (8-5-12)是应力松驰函数，它具有对的对称性，因此有36个独立的松驰函数。 对于各向同性物质，令 (8-5-13)代入式(8-5-12)得到 (8-5-14)为应力松驰函数。也可令 (8-5-15)代入式(8-5-12)，得到 (8-5-16) 如果，则可分别得到 (8-5-17) (8-5-18) 对上列两式进行Laplace变换，分别

16、得到 (8-5-19)对应的线弹性式为 对应的线弹性式为 类似地可以导出以下各式 (8-5-20)是蠕变柔量，共有36个独立的分量。对于各向同性物质， (8-5-22)式(8-3-21)变为 (8-5-23)为蠕变函数。如令 (8-5-24)则式(8-5-21)变为 (8-5-25) 如果，则可得到下列各式 (8-5-26) (8-5-27)对上列二式进行Laplace变换，分别得到 (8-5-28)对应的线性弹性本构方程为及 (8-5-29)对应的线性弹性本构方程为 由式(8-5-20)及(8-5-29)，可得 (8-5-30)(二) 习题和解答 8-1 试用自由能方法求四元模型(见图8-5

17、)的本构方程；设系统是线性的及不考虑温度的影响。图8-5 解 由附图可见下列的关系 (a) (b)对于线性系统，设自由能为于是(参阅第5章的概念、理论和公式提要) (c)耗散函数为对于线性系统，有 (d)将式(c)和(d)代入(b)，得到 (e)由式(a)可得 (f)由式(e)及(f)，最后得到经整理后得到四元模型的本构方程为 8-2 设不可压缩Stockes流体的本构方程为式中为常数。已知速度场为求应力证明只当时该速度分布才是可能的。 解 由题给速度场可以求出的分量矩阵分别为：于是应力的分量矩阵为 当时，。如果不计体力，则易于证明只当时，才能满足，为质点的加速度。如果不计惯性力，则。 8-3

18、 设不可压缩非Newton流体的本构方程为式中。若流体的速度分布为，。 (1) 求的分量；(2) 证明速度场符合不可压缩条件； (3) 为要满足运动方程(不计体力)，应满足式中为比推力，为任意常数；为使有界，。 解 (1) 根据题给的速度场，可求出的分量矩阵分别为将有关式代入本构方程，得到非零应力分量为 (2) 由的分量矩阵可见，表明题给速度场满足不可压缩条件。 (3) 将应力分量代入运动方程(圆柱坐标系内)分别得到 (a) (b) (c)由式(b)可知，由式(a)可得于是式(c)可写成 (d)式中为比推力。由式(d)可解出上式就是应满足的方程。 8-4 设粘性流体的本构方程为为正整数。设此流

19、体经历在两平行板(相距)间的简单剪切流动，即一板静止，一板以常速在自身平面内运动；设速度沿线性分布，且平行于方向。试求每单位平板面积上的剪切力及宏观粘度。 解 题给速度场为：。于是可以求出于是应力的分量矩阵为单位板面积上的剪切力为宏观粘度为 8-5 Rivlin-Ericksen二次流体的本构方程为式中张量。设不可压缩单轴拉伸流动的速度分布为 (a)式中为常数。求应力。 解 首先求张量，只需到二阶为止。积分式(a)，初始条件设为时，得到 (b)在另一时刻，质点的位置为 (c)由式(b)和(c)，易于求得相对于时刻流动参考构形的运动方程(记)于是可以求出的分量矩阵 (d)当在的邻域内展开 再将式

20、(d)在领域内展开，并与上式进行比较，可得将上列各式代入式(a)，可求出非零应力分量为对于Newton流体，此时为剪切粘度，前者是后者的三倍。此时且有 本题所示的问题对分析纤维纺丝过程有实际意义。 8-6 设当杆的材料为(1)线弹性的；(2)线性粘性的；(3)Maxwell模型；(4)Kelvin模型时，求杆的应变。 解 (1) 对于线弹性杆，应变为 (2) 对于线性粘性杆，本构方程为积分上式，应变为(设) (3) 对于Maxwell模型。已知在杆上施加应力史时，应变为于是对于题给应力历史，有 (4) 对于Kelvin模型。已知在杆上施加应力史时，应变为所以，对于题给的应力史，有 8-7 将个

21、Kelvin模型串连就得到广义Kelvin模型。当施加一阶跃应力时，如何确定具有离散谱的蠕变函数中的参数。 解 已知当施加应力于Kelvin模型时，它的应变是于是对应于应力史，广义Kelvin模型将是各个Kelvin单元的应变之和，即脚标Kelvin单元的参数。称为具有离散谱的蠕变函数。 设，得到 (a)如果第一个Kelvin单元的，上式则变为 (b)式中的可在感兴趣的范围内取值。由式(b)可得 (c)由式(b)、(c)得到 (d) 以水泥为例，一般可选取然后测定值，从而由式(d)得到以下三式 (e)根据测定的，便可由式(c)及(e)解出和。再由选定的可求。 8-8 设积分表述的粘弹性本构方程

22、为 (a)证明其等价的微分表述为式中为Dirac函数。 解 当时，有于是式(a)可写成将上式对求导，得到证毕。 8-9 一般地蠕变柔量是时间的减函数。证明。 解 由于的减函数和增函数，所以有当应变史为，即有当应力史为即有将以上两式相减，得到已知于是上式变为证毕。 8-10 设在时间间隔时，应力为零。证明 (1) 若 (2) 若则材料不能恢复到初态，存在永久应变。 解 设应力变化规律为，则应变为将上式右侧第二项分部积分，最后得到 (a)已知于是式(a)变为(当) (b)当，式(b)变为于是 (1) 当 (2) 当证毕。 8-11 求Maxwell和Kelvin模型的蠕变柔量。 解 设则应变响应为

23、 (a) (1) Maxwell模型的本构方程为，积分上式，得到与式(a)比较之后，可知Maxwell模型的蠕变柔量为 (2) Kelvin模型的本构方程为当与式(a)比较后，得到Kelvin模型的蠕变柔量为从而 8-12 设材料经受循环载荷作用，且设给定应变史，式中是虚数，是应变幅值。证明 (1) 应力响应可写成 (2) 可写成称为材料的动态模量或复模量，它只是速度的函数。 (3) 应力和应变不同相，其相位角差为 (4) 当，。当。式中见下面说明。 解 (1) 按粘弹性本构方程的积分表述，有 (a)此处令所以。 将上列有关式代入式(a)，得到此处用到了。变换变量，令，则上式变为上式表明，当应

24、变史时，应力响应可写作 (b)r 的确良的的的函数，与时间和应变幅值无关。 (2) 式(b)中，将它代入式(b)，且令可得 (c) (3) 应用以上分析结果，应力响应又可写成此处为了书写方便，都省略了。令则上式可改写成上式表明，应力响应的复应力复值为 (d)如果将应力幅值分为实部，即则可得到以上分析表明，应力不同相，其相位角差愈大，应力和应变的相差也愈大，表明材料的粘滞性愈大。当，应力和应变同相，材料的行为是弹性的、可逆的。因此，称为存贮模量或贮能模量，它与可逆的弹性能相关；则称为损耗散模量或耗能模量，它与粘滞性导致的能量耗散相关。 (4) 经分部积分后，又可写成(注意) (e) 当或运动非常缓慢时，由式(c)可得当时或运动非常快，且有界时，由式(e)可得 在快速变形时，聚合物粘弹性体呈玻璃态特性，具有很高的模量；在缓慢变形时，聚合物则呈橡胶状态，弹性