《连续体力学》解答1

1、1 欧氏矢量空间 正交 变换 张量(一) 概念、理论和公式提要1-1 欧氏矢量空间 基和基矢 (1) 欧氏矢量空间 满足下列条件的矢量集合称为实的矢量空间，记作中的每一个矢量，例如的一个元素： (a) (b) ，存在一个反元素，使得 (c) 对于任意实数，有 满足下列条件的实矢量空间称为欧氏矢量空间(Euclidean vector space)，记作： (a) 对，它具有下列性质： (1-1-1) (1-1-2)等号只当时成立。 (b) 对任意实数等，有 (1-1-3)(c) ，并定义为 （1-1-4）的正方根。如果为单位矢量。 如果正交。 (2) 基 正交基 (a) 空间内线性无关矢量的最

2、大个数记为。由于连续体占有三维物理空间，所以我们一般地是在三维物理空间内讨论问题。 (6) 在内，定义 (1-1-5) (1-1-6)式中的方向；通常采用右手螺旋法则确定符合右手法则，且所在平面；所以的矢量，其指向由右手法则确定。称的叉积。由式(1-1-6)可得 (1-1-7) (1-1-8) (c) 当三个相互正交的单位矢形成右手三元系时，有 (1-1-9)其中左侧三式的角标按顺序1、2、3排列，称为顺循环；右侧三式的角标为逆1、2、3顺序排列，称为逆顺环。 (d) ，构成一个基(或基矢系)，记作都可表示成的唯一的线性组合 (1-1-10)内可以选取无限多个基，各个基之间有一定的变换关系，因

3、此只有一个基是独立的。 (e) 在应用中，选用的基总是同选定的坐标系相关连的，不同的坐标系有不同的基。在中，最简单的基是与笛卡尔坐标系相关连的，它由三个相互正交的单位基矢构成，而且是固定不变的。今后我们用表示笛卡尔坐标系的基。1-2 字母指标法 (1) 在力学中有很多量要用一组标量才能描述，这组量中的每一个称为该力学量的分量。这些分量都与所选用的空间的基密切相关，亦即与所选用的坐标系密切相关。在张量表述中，将力学量的所有分量用同一个符号或字母表示，而用指标区分各个分量。例如，在内点的坐标用表示，简记为等，此处是用字母表示的指标，称为字母指标；这种表示力学量的方法称为字母指标法。 (2) 哑指标

4、 求和约定 同项中重复出现二次的字母指标称为哑指标，它表示将该指标依次取值1、2、3(设在内)时所得各项之和，而省去求和记号这就是求和约定。哑指标简称为哑标，又可称为求和指标或伪标；哑标可任意改变字母，例如可以写作等。 (3) 自由指标 同项中只出现一次的指标称为自由指标。自由指标表示一般的项，该指标可取1、2、3中的任何一个。同一方程中各项的自由指标必须相同。1-3 Kronecker    置换符号 (1) Kronecker    符号表示九个数，并且规定 (1-3-1)如上规定的称为Kronecker

5、60; 。同另一带字母指标的量(包括自身)相乘，且有哑标时，则将中的自由指标代换被乘量中的哑标。例如 (1-3-2) (1-3-3) (1-3-4)点的坐标彼此独立，所以有 (1-3-5)为9个量，则有 (1-3-6)当时，上式变为 (1-3-7)对于笛卡尔坐标系的基，按式(1-1-5)，有 (1-3-8)上式也可作为的定义。 (2) 置换符号 置换(或排列)符号用表示，它共有27个量，并规定 (1-3-9)在指标中，每相邻2个互换一次位置，改变一次正负号。由于相邻指标互换偶次位置不改变指标的循环性质，所以不改变的值；反之，相邻指标互换奇次位置，将改变正负号。例如 (1-3-10)

6、设是笛卡尔坐标系(右手)的基，则按式(1-1-9)，并结合式(1-1-8)及(1-3-9)，可按基矢的叉积缩写成 (1-3-11)上式是式(1-1-9)的缩写式，式(1-1-9)则是上式的展开式。 应用置换符号，可以得到以下各式二矢量的叉积： (1-3-12)或 (1-3-13)三矢量的混合积： (1-3-14) (1-3-15)矩阵： (1-3-16) (1-3-17) 关系 (1-3-18) (1-3-19) (1-3-20)以及 (1-3-21)1-4 余弦变换矩阵 设是两个笛卡尔坐标系的基，且设 (1-4-1)式中 (1-4-2)夹角的余弦。式(1-4-1)可写成矩阵形式 (1-4-3

7、) (1-4-4)称为余弦变换矩阵。又设 (1-4-5)或 (1-4-6) (1-4-7)由于逆，由式(1-4-3)可解出 (1-4-8)比较式(1-4-6)、(1-4-8)，并结合式(1-4-7)，可得 (1-4-9)为单位矩阵。上式表明为正交矩阵，即余弦变换矩阵是正交矩阵。由式(1-4-9)可得 (1-4-10)时，称为正常正交变换矩阵，它对应于基同为右手(或左手)系；时，称为非正常正交变换矩阵，它对应于分别是右(左)和左(右)手系。 由，易得 (1-4-11)1-5 张量及其坐标变换 (1) 阶基 笛卡尔坐标系的基为，称为一阶基。记、分别为二阶基、三阶基，。设有双指标量，如果它们与二阶基

8、矢的线性组合是坐标系无关的，即有 (1-5-1)则称的分量。照上类推，设 (1-5-2) (1-5-3)则分别称为三阶、四阶、阶张量；为张量的直接记法，或抽象记法或坐标系不变性记法，而其分量与基矢的线性组合称为张量的分量记法。 (2) 张量的坐标变换公式 设，则张量相对于不同基的分量之间存在的关系为 (1-5-5)上式称为张量分量的坐标变换式。矢量(一阶张量)、二阶张量的坐标变换式可写成矩阵形式 (1-5-6)式中的分量所构成的矩阵，称为相对于基的分量矩阵。 满足式(1-5-5)坐标变换式的张量称为卡氏张量，。实际上，卡氏张量只是一种界定或约定的名称，就张量本身来说，它们是坐标系不变性的。与卡

9、氏张量相对应的是普遍张量，这是指在非笛卡尔基上张量的分量表示以及有关的运算法则。(二) 习题和解答 1-1 已知 (a)试用指标表示法证明由上式可解出 (b) 解 由题给关系式(a)，令，可得由上式可得将上式代入式(a)，得到由上式可解出证毕。 1-2 试写出下式的展开式 解 上式的展开式为 1-3 试写出下列各式的缩写(指标)式 (a) (b) (c)(d) 解 上列四式的缩写式分别为 (a) (b) (c) (d) 1-4 设是直角坐标，说明下列方程的几意义 (a) ，  (b)  ，(c)   解 (a) ，这是一个平面 (b)

10、 的展开式是式中，所以上式是一个半轴为的椭球，中心位在坐标原点。 (c) 的展开式是这是半径为的球，球心在坐标原点。 1-5 。试证在证明时可应用下列两个公式 (a) (b)式中的分量。 解 令矢量，则按式(b)有 (c)又由式(a)，有 (d)由式(c)和(d)，得到又，由此可证 1-6 试证 解 已知。现在将的列作任意的调动，从行列式理论可知，这不会改变的绝对值，只可能改变其正负号。只要改变后的列的顺序为1、2、3的顺循环，则符号不变，反之符号改变；或者说，相邻列调换偶次，符号不变，调换奇次，符号改变；因此可用符号的改变，从而有用，即得 1-7 若矩阵，试用上题结果证明 解 ；于是 1-8

11、 证明 解 由习题1-5式(b)及，可得式中，得到利用上题结果，可得证毕。在上式中令，易得有用公式在上式中令，得到最后可得 利用以上结果，可证 如果是二维空间，则可将置换符号写作，。 1-9 试推导矩阵的计算公式，并证明式中的元素。 解 记矩阵，则有 (a)又由为单位矩阵，可得 (b)比较式(a)与(b)可见，如果令 (c)则式(b)恒能满足，因此式(c)就是求矩阵之逆的公式。式中的可表示成如下的代数余因子式所在的行和列后的行列式。又于是证毕。 1-10 写出下列三种情况所对应的坐标变换矩阵 (a) 坐标系绕角(逆时针为正，下同)； (b) 坐标系绕角； (c) 先按(b)变换，再按(a)变换 解 图1-1 图1-2 (a)