级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系

1、级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好具有适当敛散性的级数，而利用d'Alembert判别法或Cauchy判别法总有一些级数不能判断其敛散性，如，其原因在于作为“标尺”的几何级数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系。2.级数

2、收敛速度的定义在关于级数的论著中对正项级数敛散快慢问题，通常有下列三种定义。(分别由下面的定义1、2与3、4以及定义5组成）定义1 设正项级数与都收敛，分别是它们的余式，如果，就称比收敛较慢。定义2 设正项级数与都发散， ，分别是它们的部分和，如果，就称比发散较慢。定义3 设正项级数与都收敛，如果，就称比收敛较慢。定义4 设正项级数与都发散，如果，就称比发散较慢。定义5 设正项级数与都收敛（发散），并有自然数N,使时，有（），则说比收敛（发散）较慢。3几种常用判敛法定理1（比较判别法）（1）（2）是两个正项级数，如果当n充分大时，总有不等式成立，则由级数（2）收敛可推出级数（1）收敛，而由级数

3、（1）发散可推出（2）发散。定理2 如果存在自然数N，对一切有（3）则由级数（2）收敛可知级数（1）收敛，而由级数（1）发散可知级数（2）发散。定理3（达朗贝尔比值判别法）若为正项级数，且（4）则当时级数收敛，而当时级数发散。定理4（柯西根值判别法）设为正项级数，且则当时级数收敛，而当时级数发散。定理5（拉贝判别法）设为正项级数，且则当时级数收敛，而当时级数发散。定理6（高斯判别法）对正项级数，如果有 （5）式中有界：，则当或者而时级数收敛;当或者而时级数发散。定理7（柯西积分判别法）如果 是非负的不增函数，则级数与积分同敛散。以下几个主要的判别法大致可分为三类：第一类是把所论正项级数的项与一

4、个已知其敛散性的正项级数的项加以比较后得到原级数的敛散性，这一类包括定理1、2中的判别法。第二类从形式上看是考察所论正项级数通向或相邻项的量值与变化趋势，其本质仍是把所给级数与某些典型而基本的收敛（发散）级数（几何级数、P-级数等）加以比较。定理3、4、5、6属于这一类，定理7属于第三类，是通过建立正项级数与无穷积分的联系把问题转化为广义积分的计算与敛散性判定。4探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因其中达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法在其形式及证明上有诸多相似，并且都存在着自身的不足，但它们的适用范围却是逐渐扩大的。下面从这三种判别法出发，探究产生缺陷的根本原因。对于正项级数，首

5、先看达朗贝尔判别法的极限形式，当的极限值等于1时达朗贝尔判别法就失效了，对于简单的级数，如也不能用此法来判定，我们就来分析一下产生这种缺陷的根源。通过达朗贝尔判别法和柯西判别法的证明过程，知道这两者实际上是用等比级数来同给定的级数进行比较的。这里主要以达朗贝尔判别法为例（由于柯西判别法简单，其比较级数是）。当时，给定的正项级数的一般项小于某一收敛得等比级数的对应项，其中，是与1之间的某一实数，于是判断收敛。由上可知：；而；由此可知比收敛得快。那么，反过来，如果给定的正项级数虽然收敛，但比任何收敛得等比级数收敛的都慢。这时，达朗贝尔判别法及其极限形式对的敛散性判断就无能为力了。例如：.对于任意的

6、等比级数，其中，（）收敛得快。此时，不能用达朗贝尔判别法。其次，若，给定的级数的一般项不趋于0，于是判断发散。可是如果给定的正项级数虽然发散，但一般项趋于0。这时，达朗贝尔判别法对也无能为力。例如：。综上所述，凡是比任何收敛的等比级数收敛的速度都慢的收敛的正项级数，以及一般项趋于0的发散的正项级数，都不能用达朗贝尔判别法及其极限形式来判断其收敛或发散。可见，用达朗贝尔判别法、柯西判别法来判定级数收敛时，都受到几何级数收敛速度的严格限制。再分析拉贝判别法的证明过程，不难发现是用广义调和级数（p>0）来作为比较级数。对于任何及任何，考虑 收敛即:可见任何收敛的（）的一般项比任何收敛的（）的一

7、般项在趋于0时要慢得多。此外，对于，广义调和级数虽然发散，但它的一般项却趋于0。如果设、是满足定理2中（3）式的两个收敛级数，由前面定理1、2容易知道，对于任何正项级数，如果用作标准能判定它收敛，那么用作标准时也一定能判定它收敛。但反过来则不一定。5几项正项级数收敛速度的比较另外我们又知道，正项级数敛散性判别法中著名的比值判别法、拉贝判别法、高斯判别法实际正是分别以下列级数 ，（）（1）作为比较标准由比较原则导出的，现在利用上述后两种定义证明下面结论：当（1）中三类级数都收敛时，在收敛速度上是后一个总比前一个慢。命题一 设 ，则p级数总比几何级数收敛得慢。 证明：（利用定义3）设，则为求上式右

8、边极限，可先求相应连续变量时的极限，而利用洛必达法则不难求得该极限值为0，从而，由定义3，命题得证。命题二 设，则级数总比级数收敛得慢。证法1：（利用定义3）设，显然只需就情形证明，先设，于是与以上类似，先求时极限，应用洛必达法则q次得当时，有 =···· 如果q>p>1,而，则利用刚才证明的结论，此时有 同样可得，因此由定义3，命题2成立。证法2 （利用定义5）设，要证对任意的p>1及q>1，当n 充分大时总有也即证明或证明 （2） 为此设，（） 对和在区间（）上应用柯西中值定理得 因此只要，即当时就有（2）式成立，从而由定义5

9、，命题2得证。由知级数又比p级数收敛得慢。 从而我们有：以P级数为标准建立的判别法（如d'Alembert判别法、Cauchy判别法）有效；而以级数为标准建立的判别法（Gauss判别法、拟对数判别法）又较以P级数为标准建立的判别法有效。沿着这种思路下去，我们又有级数较级数敛散得慢，从而可以建立更精密、更有效的判别法。这一过程还可以继续下去。一般地，级数串（），·····收敛的速度渐慢；下面证明没有收敛得最慢的级数。设是收敛得最慢的正项级数，现构造级数，其中是的第n-1项余式，即：先证是收敛的。由积分中值定理，有 ，故： 可见级数收敛，由

10、比较原则，有：也收敛。其次，由，知较收敛得慢。同理可证，也无发散得最慢的级数。因此，无法找到一个最有效的正项级数判敛法。根据上面的分析不难知道，以上判别法都是基于把所要判断的级数与某一收敛级数相比较而得到的，只有那些级数的通项收敛于0的速度比某一收敛级数收敛快的级数，这些判别法才有效，如果级数的通项收敛速度较慢，这些判别法就无能为力，但可以寻求通项收敛速度更慢的收敛级数作比较，获得判别范围更大的正项级数判别法。选择收敛（发散）较慢的级数作比较标准，相应的判别法所能判定的级数就比较广泛（即该判别法应用范围较广）。这时，我们也该说该判别法比采用收敛（发散）较快的级数为比较标准的判别法更强或更精确。

11、在上面判别法中，高斯判别法强于拉贝判别法，而后者又强于比值判别法，并且较弱判别法又是较强判别法的特殊情形，或者说后者是前者的推广，例如，拉贝判别法的极限式可写为因此，当时，显然当时有，而时，这两种情形下，分别收敛与发散。由此可见，比值判别法仅是拉贝判别法当时的特例，但是一般来说，较弱判别法未必是较强判别法的特例。例如比值判别法并非是根值判别法的特例，后者也不是拉贝判别法的特例。例：讨论级数当时的敛散性。解：无论哪一值时，对此级数的比式极限都有 所以用比式判别法无法判断级数的敛散性，现在利用拉贝判别法来讨论当时，由于 可知此级数发散当时，由于 可知此级数发散从上面可以看到，比式判别法有其局限性，

12、拉贝判别法虽然判别的范围比它更广泛，但当时仍无法判断，我们还可以建立比拉贝判别法更有效的方法，但是这个过程是无限的。6.正项级数的其他一些敛散性判别法定理8（对数判别法）设是正项级数，如果则当时级数收敛；当时级数发散。定理9（隔项比值判别法）设正项级数的项递减，如果则当时级数收敛；当时级数发散。定理10（双比值判别法）对正项级数，如果则当时级数收敛；当时级数发散。定理12（厄尔马可夫判别法）设为递减的正值连续函数，又设如果，则收敛；，则发散。定理13（推广厄尔马可夫判别法）设为递减的正值连续函数，为递增可导函数，并满足，如果若，则收敛；，则发散。例：判断级数的敛散性解：令， 故级数发散。例：判

13、断级数 的敛散性解：令， 故当时，收敛，当时，发散7.结束语正因为不能找到一个敛散得最慢的级数，使得级数敛散性的判别法灵活多变。即任何收敛的正项级数都存在着比它收敛得慢的正项级数，任何发散的正项级数都存在着比它发散得慢的正项级数。因此，企图用选择级数作为“比较标准”的方法，来建立对所有的正项级数敛散性判别都有效的判别法是不可能的。因此，对于级数敛散性的判别还在于灵活运用。8.致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师胡松林教授。胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导，还不惜把自己的研究成果让我参考、借鉴，细心地纠正论文中的错误并给予指导。如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难。除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础。最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！9.参考文献:1 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.2 吉米多维奇，李荣冻译.数学分析习题集M.北京：高等教育出版社，1958.3 关红钧.正项级数判敛法的强弱